高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)7.5正态分布-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第三册)(原卷版+解析)

7.5正态分布备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：正态密度曲线；概率分布曲线的认识；正态分布曲线的性质；标准正态分布的应用；特殊区间的概率；指定区间的概率；根据正态曲线的对称性求参数；3原则的应用；正态分布的实际应用课堂知识小结考点巩固提升知识归纳密度函数的概念：在频率分布折线图中，当样本容量取得足够大，组距取得足够小的时候频率分布折线图会变成一条光滑的曲线，我们就把这样的曲线叫做连续性随机变量的密度曲线；把他的解析式叫做密度函数；显然，如果连续型随机变量的密度函数是，则：；；；；2、正态分布的定义：如果连续型随机变量的密度函数是：；则称随机变量服从正态分布，记为：；3、正态分布曲线的特点：（1）整条曲线都在轴的上方，即对恒成立；（2）是他的对称轴，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；在时取得最大值；（3）正态分布曲线的两个主要参数的几何学意义：参数决定对称轴的位置，也决定整条曲线的位置，所以也称为位置参数；参数决定数据的离散程度，也就决定了曲线的高矮胖瘦；具体规律是：越大，数据越离散，曲线越矮越胖；越小，数据越集中，曲线越高越瘦；于是我们习惯于把参数称为形状参数；正态分布的期望与方差：若期望：；方差：；正态分布的原则：（1）；（2）；（3）；3、标准正态分布：若，则称随机变量服从标准正态分布；4、正态分布与标准正态分布之间的转化关系：考点讲解若，则；考点讲解考点1：正态密度曲线例1．设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（

）A．， B．，C．， D．，【方法技巧】由正态分布密度函数的概念即得.【变式训练】1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且，则这个正态总体的均值与标准差分别是（

）A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与102．设随机变量，X的正态密度函数为，则______.考点2：概率分布曲线的认识例2．某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（

）A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性【方法技巧】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解.【变式训练】1．随机变量服从正态分布，则标准差为（

）A．2 B．4 C．10 D．142．如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（

）.A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②考点3：正态分布曲线的性质例3．随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（

）附：概率P(μ－σ≤X＜μ＋σ)P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)近似值0.68270.95450.9973A．0.8186 B．0.4772 C．0.84 D．0.9759【方法技巧】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【变式训练】1．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．2．已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取3位同学的数学成绩，则这3位同学的数学成绩都在内的概率为_____．考点4：标准正态分布的应用例4．若随机变量X的密度函数为，在区间和内取值的概率分别为，则的关系为（

）A． B．C． D．不确定【方法技巧】根据密度函数可得，然后结合正态分布曲线的对称性可得曲线关于对称，即可判断得.【变式训练】1．已知随机变量，且，则（

）A．0．25 B．0．3 C．0．75 D．0．652．已知两个随机变量，满足，且，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1考点5：特殊区间的概率例4．设随机变量，且，则___________.【方法技巧】根据正态分布的对称性可直接求解.【变式训练】1．疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（

）.附：随机变量服从正态分布，则，.A．12 B．16 C．30 D．322．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为（

）（附：若随机变量服从正态分布，则）A．27.1% B．34.5% C．13.55% D．17.08%考点6：指定区间的概率例6．某生产线生产的零件尺寸X（单位：）都服从正态分布，且，在生产线上随机取一个零件，尺寸在区间的概率为___________.【方法技巧】根据正态曲线的对称性即可得出答案.【变式训练】1．已知随机变量，且，则（

）A． B． C． D．2．某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为___________.考点7：根据正态曲线的对称性求参数例7．小强对重力加速度做n次实验，若以每次实验结果的平均值作为重力加速度的估值．已知估值的误差，为使误差在内的概率不小于0.6827，至少要实验___________次．（参考数据：若，则）．【方法技巧】直接由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.【变式训练】1．已知随机变量服从正态分布，若，则（

）A． B．1 C． D．22．设随机变量服从正态分布，若，则实数（

）A． B．4 C．1 D．2考点8：3原则的应用例7．（多选）某工厂生产的零件外直径（单位：cm）服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.82cm和10.31cm，下列说法正确的是（

）A．上午生产情况正常 B．上午生产情况异常C．下午生产情况正常 D．下午生产情况异常【方法技巧】利用原则求出正常零件外直径的范围，再判断零件是否正常即可.【变式训练】1．某工厂生产的零件的尺寸（单位:）服从正态分布.任选一个零件，尺寸在的概率为（

）附:若，则，，.A．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.95452．曲靖一中2023届高二年级春节学期4月份月考中，理科考试学生人数为820人，假设数学成绩，那么全年级数学成绩在80-127.4分之间的理科学生人数大约是________人．参考统计数据：，，．考点9：正态分布的实际应用例9．已知随机变量，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且.(1)求参数，的值．(2)求．附：若，则，.【方法技巧】(1)结合已知条件和所给数据，利用正态曲线的对称性即可求解；(2)结合所给数据，并利用正态曲线的性质即可求解指定区间的概率.【变式训练】1．某种品牌摄像头的使用寿命服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为，使用寿命不少于6年的概率为，某单位同时安装了5个这种品牌的摄像头，则满4年时至少还有4个摄像头能正常工作的概率为（

）A． B． C． D．2．“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数，，则（

）A．该地杂交水稻的平均株高为100cmB．该地杂交水稻株高的方差为10C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大知识小结知识小结正态分布的期望与方差：若期望：；方差：；正态分布的原则：（1）；（2）；（3）；3、标准正态分布：若，则称随机变量服从标准正态分布；4、正态分布与标准正态分布之间的转化关系：若，则；巩固提升巩固提升一、单选题1．已知，且，则（

）A． B． C． D．2．已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（

）A．， B．，C．， D．，3．已知随机变量服从正态分布，且，则（

）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.24．某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c近似服从N（90，），若，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（

）A．5 B．10 C．15 D．305．已知随机变量X服从正态分布，且，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.46．在某地举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有14名．参加此次数学竞赛的学生数大约为（

）参考数据：；；A．1200 B．900 C．600 D．3007．已知两个随机变量，其中，若，且，则（

）A． B． C． D．8．已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布N，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（

）A．477人 B．136人 C．341人 D．131人二、多选题9．已知正态密度函数，，以下关于正态曲线的说法正确的是（

）A．曲线与轴之间区域的面积为1B．曲线在处达到峰值C．曲线关于直线对称D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”10．阳山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培历史，产于中国著名桃乡江苏无锡阳山镇.水蜜桃果形大、色泽美，皮韧易剥、香气浓郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美誉，阳山水蜜桃早桃品种5月底开始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也将大量上市.已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量（单位：斤）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示则下列说法正确的是（

）A．乙品种水蜜桃的平均质量B．甲品种水蜜桃的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C．甲品种水蜜桃的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数三、填空题11．已知随机变量X服从正态分布，且，则_______.12．首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有______株．（若，，）13．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人.14．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取1000个零件，并测量其尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布，则可估计所抽取的1000个零件中尺寸高于24的个数大约为__________.（附：若随机变量服从正态分布，则.四、解答题15．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果：坐公交车：平均用时30min，方差为36骑自行车：平均用时34min，方差为4(1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.(2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和Y的概率密度曲线如图（a）所示，如果某天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由.（提示：（2）中X和Y的概率密度曲线分别反映的是X和Y的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图（b）中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.）16．为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了掷实心球测试，测试结果表明所有男生的成绩（单位：米）近似服从正态分布，且.(1)若从高三男生中随机挑选1人，求他的成绩在内的概率.(2)为争夺全省中学生运动会的比赛资格，甲､乙两位同学进行比赛.比赛采取“五局三胜制”，即两人轮流掷实心球一次为一局，成绩更好者获胜（假设没有平局）.一共进行五局比赛，先胜三局者将代表学校出战省运会.根据平时训练成绩预测，甲在一局比赛中战胜乙的概率为.①求甲代表学校出战省运会的概率.②丙､丁两位同学观赛前打赌，丙对丁说：“如果甲获胜，你给我100块，如果甲获胜，你给我50块，如果甲获胜，你给我10块，如果乙获胜，我给你200块”，如果你是丁，你愿意和他打赌吗？说明你的理由.7.5正态分布备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：正态密度曲线；概率分布曲线的认识；正态分布曲线的性质；标准正态分布的应用；特殊区间的概率；指定区间的概率；根据正态曲线的对称性求参数；3原则的应用；正态分布的实际应用课堂知识小结考点巩固提升知识归纳密度函数的概念：在频率分布折线图中，当样本容量取得足够大，组距取得足够小的时候频率分布折线图会变成一条光滑的曲线，我们就把这样的曲线叫做连续性随机变量的密度曲线；把他的解析式叫做密度函数；显然，如果连续型随机变量的密度函数是，则：；；；；2、正态分布的定义：如果连续型随机变量的密度函数是：；则称随机变量服从正态分布，记为：；3、正态分布曲线的特点：（1）整条曲线都在轴的上方，即对恒成立；（2）是他的对称轴，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；在时取得最大值；（3）正态分布曲线的两个主要参数的几何学意义：参数决定对称轴的位置，也决定整条曲线的位置，所以也称为位置参数；参数决定数据的离散程度，也就决定了曲线的高矮胖瘦；具体规律是：越大，数据越离散，曲线越矮越胖；越小，数据越集中，曲线越高越瘦；于是我们习惯于把参数称为形状参数；正态分布的期望与方差：若期望：；方差：；正态分布的原则：（1）；（2）；（3）；3、标准正态分布：若，则称随机变量服从标准正态分布；4、正态分布与标准正态分布之间的转化关系：考点讲解若，则；考点讲解考点1：正态密度曲线例1．设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】由正态分布密度函数表达式知，.故选：D.【方法技巧】由正态分布密度函数的概念即得.【变式训练】1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且，则这个正态总体的均值与标准差分别是（

）A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与10【答案】B【分析】结合正态密度函数的定义和解析式，即可求解.【详解】由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值，方差，即.故选：B.2．设随机变量，X的正态密度函数为，则______.【答案】0【分析】由正态密度函数结构直接可得.【详解】由正态密度函数结构特征可知，.故答案为：0考点2：概率分布曲线的认识例2．某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（

）A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性【答案】C【详解】由随机变量均服从正态分布，，，结合正态概率密度函数的图象，可得，，即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性.故选：C.【方法技巧】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解.【变式训练】1．随机变量服从正态分布，则标准差为（

）A．2 B．4 C．10 D．14【答案】A【分析】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差.【详解】因为服从正态分布可知:方差为4，故标准差为2，故选：A2．如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（

）.A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②【答案】A【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.【详解】由题意，得，，，因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且，所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.故选：A.考点3：正态分布曲线的性质例3．随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（

）附：概率P(μ－σ≤X＜μ＋σ)P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)近似值0.68270.95450.9973A．0.8186 B．0.4772 C．0.84 D．0.9759【答案】A【详解】由题意可得：∴故选：A.【方法技巧】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【变式训练】1．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正态分布的性质即可求解.【详解】解：由题意可知，则，故图中阴影部分的面积为.故选：C.2．已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取3位同学的数学成绩，则这3位同学的数学成绩都在内的概率为_____．【答案】【分析】根据正态分布的对称性可得，进而可求3位同学成绩均在的概率.【详解】由题意得，该正态曲线的对称轴为，∵，∴，∴3位同学的数学成绩都在的概率为．故答案为：考点4：标准正态分布的应用例4．若随机变量X的密度函数为，在区间和内取值的概率分别为，则的关系为（

）A． B．C． D．不确定【答案】C【详解】根据随机变量X的密度函数可得，然后结合正态分布曲线的对称性可知，曲线关于对称，所以.故选：C.【方法技巧】根据密度函数可得，然后结合正态分布曲线的对称性可得曲线关于对称，即可判断得.【变式训练】1．已知随机变量，且，则（

）A．0．25 B．0．3 C．0．75 D．0．65【答案】C【分析】利用正态分布的图像和性质求解即可.【详解】由题得，所以.故选C【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知两个随机变量，满足，且，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】结合正态分布的方差，以及方差的性质求解即可【详解】由题，，则，又，，故选：D考点5：特殊区间的概率例4．设随机变量，且，则___________.【答案】【详解】正态曲线关于直线对称，所以.故答案为：【方法技巧】根据正态分布的对称性可直接求解.【变式训练】1．疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（

）.附：随机变量服从正态分布，则，.A．12 B．16 C．30 D．32【答案】B【分析】根据正态分布的对称性求出每天学习时间超过10小时的概率,进而可求人数.【详解】由题意可知，所以,所以每天学习时间超过10小时的人数为，故选：B2．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为（

）（附：若随机变量服从正态分布，则）A．27.1% B．34.5% C．13.55% D．17.08%【答案】C【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】由测量体温误差服从正态分布可知，所以故选:C考点6：指定区间的概率例6．某生产线生产的零件尺寸X（单位：）都服从正态分布，且，在生产线上随机取一个零件，尺寸在区间的概率为___________.【答案】【详解】解：因为X服从正态分布，所以.故答案为：.【方法技巧】根据正态曲线的对称性即可得出答案.【变式训练】1．已知随机变量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正态分布的对称性求解即可.【详解】因为随机变量，且，所以,故选：A.2．某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为___________.【答案】300【分析】根据正态分布的对称性即可成绩在130分以上的概率，进而可求人数.【详解】由正态分布曲线的对称轴为，以及可得，因此,故130分以上的人数为.故答案为：300考点7：根据正态曲线的对称性求参数例7．小强对重力加速度做n次实验，若以每次实验结果的平均值作为重力加速度的估值．已知估值的误差，为使误差在内的概率不小于0.6827，至少要实验___________次．（参考数据：若，则）．【答案】6【详解】，∴，∴，至少要实验6次.故答案为：6.【方法技巧】直接由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.【变式训练】1．已知随机变量服从正态分布，若，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.【详解】由于随机变量服从正态分布，且，而，所以，所以.故选：B2．设随机变量服从正态分布，若，则实数（

）A． B．4 C．1 D．2【答案】D【分析】根据正态分布的性质计算可得；【详解】解：因为随机变量服从正态分布，密度函数曲线关于对称，因为，所以，则，故选：D．考点8：3原则的应用例7．（多选）某工厂生产的零件外直径（单位：cm）服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.82cm和10.31cm，下列说法正确的是（

）A．上午生产情况正常 B．上午生产情况异常C．下午生产情况正常 D．下午生产情况异常【答案】AD【详解】因为零件外直径服从正态分布，根据原则，当零件外直径在cm和cm之外时为异常，因为上、下午生产的零件外直径分别为9.82cm和10.31cm，，所以下午生产的产品异常，上午产品正常.故选：AD.【方法技巧】利用原则求出正常零件外直径的范围，再判断零件是否正常即可.【变式训练】1．某工厂生产的零件的尺寸（单位:）服从正态分布.任选一个零件，尺寸在的概率为（

）附:若，则，，.A．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.9545【答案】B【分析】由题意可得，代入计算即可.【详解】解：由题意可知，且图象关于对称，所以＝＝.故选：B.2．曲靖一中2023届高二年级春节学期4月份月考中，理科考试学生人数为820人，假设数学成绩，那么全年级数学成绩在80-127.4分之间的理科学生人数大约是________人．参考统计数据：，，．【答案】672【分析】根据数学成绩，得到曲线关于对称，根据原则知，然后求解数学成绩在80-127.4分之间的学生人数【详解】．，数学成绩在80-127.4分之间的理科学生人数大约是672人．故答案为：672考点9：正态分布的实际应用例9．已知随机变量，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且.(1)求参数，的值．(2)求．附：若，则，.【答案】(1)，；(2)0.1359.【详解】(1)因为正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且正态曲线关于对称，所以正态曲线关于直线对称，即，因为，所以，，解得，；(2)因为正态曲线关于对称，所以，因为，所以，故，又，所以，【方法技巧】(1)结合已知条件和所给数据，利用正态曲线的对称性即可求解；(2)结合所给数据，并利用正态曲线的性质即可求解指定区间的概率.【变式训练】1．某种品牌摄像头的使用寿命服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为，使用寿命不少于6年的概率为，某单位同时安装了5个这种品牌的摄像头，则满4年时至少还有4个摄像头能正常工作的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知结合正态分布的对称性先求得使用寿命不少于4年的概率，然后由二项分布的概率公式可得.【详解】记摄像头的使用寿命为X，则，由题知所以，所以，所以记满4年时还能正常工作的摄像头个数为Y，则所以.故选：B2．“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数，，则（

）A．该地杂交水稻的平均株高为100cmB．该地杂交水稻株高的方差为10C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大【答案】AC【分析】由正态分布密度函数可知，，则可判断出AB选项，再由正态曲线的特征即可判断出CD选项.【详解】因为正态分布密度函数为，所以，，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知函数关于轴对称，所以该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多，故C正确，随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大.故D错误．故选：AC.故.知识小结知识小结正态分布的期望与方差：若期望：；方差：；正态分布的原则：（1）；（2）；（3）；3、标准正态分布：若，则称随机变量服从标准正态分布；4、正态分布与标准正态分布之间的转化关系：若，则；巩固提升巩固提升一、单选题1．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正态分布的对称性求解指定区间的概率.【详解】因为，所以，又，所以，所以，故选：B.2．已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由正态分布密度函数图像的性质，观察图像可得结果.【详解】解：由正态分布密度函数图像的性质可知：越大，图像对称轴越靠近右侧；越大，图像越“矮胖”，越小，图像越“瘦高”.所以由图像可知：，.故选：A.3．已知随机变量服从正态分布，且，则（

）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【答案】D【分析】根据随机变量服从正态分布，求得其图象的对称轴，再根据曲线的对称性，即可求解答案．【详解】解：由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为，又由，则，则，故选：D．4．某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c近似服从N（90，），若，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（

）A．5 B．10 C．15 D．30【答案】B【分析】由已知可得正态分布曲线的对称轴，再由已知条件结合对称性求得，即可求得该班体能测试成绩低于85分的人数.【详解】由c近似服从N（90，），可知正态分布曲线的对称轴为，则，所以,则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为人，故选：B.5．已知随机变量X服从正态分布，且，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】D【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】随机变量X服从正态分布，所以正态分布的对称轴为，根据对称性可知：故选：D6．在某地举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有14名．参加此次数学竞赛的学生数大约为（

）参考数据：；；A．1200 B．900 C．600 D．300【答案】C【分析】利用正态曲线的对称性即可求解.【详解】用表示参赛学生的竞赛成绩，由已知可得全体参赛学生的竞赛成绩,所以，，则，即，则参加此次数学竞赛的学生数大约为，故选：C.7．已知两个随机变量，其中，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二项分布求得期望，从而得正态分布的值，然后由正态分布的对称性求概率．【详解】因为，所以，又因为，所以，所以.故选：D．8．已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布N，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（

）A．477人 B．136人 C．341人 D．131人【答案】B【分析】求得此次考试成绩在区间的概率，再求在此区间的人数即可.【详解】根据题意，，则，故此次考试成绩在区间内的学生大约有人.故选：B.二、多选题9．已知正态密度函数，，以下关于正态曲线的说法正确的是（

）A．曲线与轴之间区域的面积为1B．曲线在处达到峰值C．曲线关于直线对称D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”【答案】ABC【分析】根据正态分布的性质结合解析式依次判断即可得出.【详解】因正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1，则A正确；因，有，因此，当且仅当时取“=”，即曲线在处达到峰值，B正确；因为，所以，即曲线关于直线对称，故C正确；当越小，曲线越“瘦高”，故D错误.故答案为：ABC10．阳山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培历史，产于中国著名桃乡江苏无锡阳山镇.水蜜桃果形大、色泽美，皮韧易剥、香气浓郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美誉，阳山水蜜桃早桃品种5月底开始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也将大量上市.已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量（单位：斤）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示则下列说法正确的是（

）A．乙品种水蜜桃的平均质量B．甲品种水蜜桃的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C．甲品种水蜜桃的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数【答案】ABC【分析】根据图像以及正态密度曲线的性质即可逐一分析四个选项得到结论.【详解】对于选项A：，故A对；对于选项B：甲图像相对乙更高瘦，故B对；对于选项C：，故C对；对于选项D：乙图像的最高点为1.99，故对称轴取值为，所以，故D错.故选：ABC.三、填空题11．已知随机变量X服从正态分布，且，则_______.【答案】0.1【分析】利用正态分布对称性可求解.【详解】由正态分布密度曲线对称性可知，，所以，所以，故答案为:0.1.12．首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有______株．（若，，）【答案】1359【分析】先根据正态分布的对称性得到株高在的概率，再求出株高在的株数.【详解】根据题意可知，，所以，，所以，所以株高在的约有株.故答案为：1359.13．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人.【答案】8【分析】正态曲线关于对称，计算，得到答案.【详解】因为考试的成绩X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，因为，所以.所以该班数学成绩在120分以上的人数为.故答案为：814．为了监控某种零件的一条生产