高中数学人教A版（2019）必修第一册 5 诱导公式 教案

第五章三角函数

5.3诱导公式

教学设计

一、教学目标

1.能借助单位圆推导诱导公式二、三、四、五、六.

2.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.

3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.

二、教学重难点

1、教学重点

诱导公式的意义和作用.

2、教学难点

诱导公式的应用.

三、教学过程

1、新课导入

前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系.我们知道，

圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质.由此

想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性.这节课我们借助单位圆的

对称性探究一下三角函数的诱导公式.

2、探索新知

知识点1诱导公式二

sin（7r+«）=-sina；

cos（兀+。）=-cosa；

tan（7r+a）=tancr.

知识点2诱导公式三

sin（一=-sin（z；

cos(-tz)=cosa；

tan(—a)=—tana.

知识点3诱导公式四

sin(7i一a)=sina；

cos(兀-a)=-cosa；

tan(兀一a)=-tana.

例题点拨

例1利用公式求下列三角函数值:

(1)cos225°；(4)tan(-2040°).

V2

解:(1)cos225°=cos(l80°+45°)=—cos45°=

2

(2)

(4)tan(-2040°)=-tan2040°=-tan(6x360°-120°)=tan120°

=tan(l80°-60°)=_tan60°=-右.

利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般

可按下面步骤进行:

例2化简辞"翳*r

解：tan(-a-180°)=tan[-(l80°+a)]=-tan(l80°+a)=-tana,

cos(-l80°+a)=cos[-(l800-a)]=cos(180°-cr)=-cosa,

~一i、一cosasina

所以原式=彘必（-8s不

知识点4诱导公式五

71

sina=cosor；cos=sina.

2

知识点5诱导公式六

7171

sin---FCC=cosor；cos---FCC=一sina.

22

3兀

例3证明：（1）sin--6Z=-cosa：

3兀

(2)cos----Fa=sina

2

证明：(1)sinf^-aj=sin兀+=-sinH=.cosa：

3711兀+(]+]71

(2)cos----\-a=cos=-cos---FCt=sina

2J2

例4化简

71

(一sina)(-cos°)(—sina)cos5兀+-—a

解：原式=

(兀

(-cosa)sin(7i-a)[-sin(7i+a)]sin4ji+\—+a

-sin2acosa-cos

sina

-------_tana.

cosa

(-cosa)sincr[-(-sina)]sinI—+tz

例5已知sin(53°—tz)=g,且—270。<。<—90°,求sin(37°+。)的值.

解：因为（53。―0+（37。+0=90。，

所以由诱导公式五，sin(37°+«)=sin[90°-(53°-«)]=cos(53°-«).

因为-270°<a<-90°,所以143°<53°-a<323°.

由sin(53°-«)=1>0,得143°<53°-«<180°.

所以cos(53°-a)=-^/l-sin2(53°-6z)=-Jl-2A/6

所以sin(37°+a)=

3、课堂练习

.已知乎，则cos71

1sin(i+£a=()

A

下厂亚

4BVz.-2----

55。•-半

答案：C

71n71

解析：cos-—oc=cos---FCt=sin---FCt.故选C.

266

2.（多选）下列化简正确的是（）

A.tan(兀+1)=tan1B.--------------二cosa

tan(2兀一①

-sin（兀一a）_cos（7i-a）tan（-7i-a）.

C.---------=tanaD.-------------------二1

cos（兀+a）sin（2兀-a）

答案：AB

解析：对于A,tan（?i+l）=tanl,故A正确;

g工「sin（—o）—sinasina田「丁瑞

对于B,-=------=———=cosa,故B正确;

tan（2兀一a）-tanasma

cosa

对于C,包=皿幺=_tana,故C不正确；

cos（兀+a）-cosa

sma

cosa,----

cos（兀-a）tan（一兀一a）-coscif•（-tana）

对于D,-----能四=一1,故D不

sin（2兀一a）-sinasina

正确.故选AB.

sin（a-3TI）+cos（7t-a）+sin-2cos-+a

（2

3.已知tan（37t+o）=2,则

-sin（-a）+cos（7i+a）

答案：2

解析：由tan（37t+0=2,可得tana=2,

sin（a-37i）+cos（7i-a）+sin-aJ-2cos+aj

"-sin（-CK）+cos（7i+a）

-sintz-costz+cos（z+2sincrsincrtancr2

sin«-costzsina-cosatana-12-1

4、小结作业

小结：本节课学习了诱导公式及其应用.

作业：完成本节课课后习题.

四、板书设计

5.3诱导公式

诱导公式二：sin（兀+a）=-sina；cos（7i+a）=-cosa；tan（兀+a）=tane.

诱导公式三：sin（—。）=一sina；cos（-cif）=cosa；tan（—a）=—tana.

诱导公式四：sm（兀一a）=sma