高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题61函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用(原卷版+解析)

专题61函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用知识点一函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义(1)简谐运动的振幅就是A.(2)简谐运动的周期T＝eq\f(2π,ω).(3)简谐运动的频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).(4)ωx＋φ称为相位．(5)x＝0时的相位φ称为初相．知识点二函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质题型一已知函数图象求解析式1．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，求此函数的解析式．2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则φ的值为()A．－eq\f(π,3)B.eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6) D.eq\f(π,6)3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)，且图象如图所示，求其解析式．4．如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，则函数的一个解析式为()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)x－\f(π,6)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))等于()A.eq\f(1,2)B．0C．2D．－27．已知函数f(x)＝|Acos(x＋φ)＋1|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则()A．A＝2，φ＝eq\f(π,6)B．A＝3，φ＝eq\f(π,6)C．A＝2，φ＝eq\f(π,3) D．A＝3，φ＝eq\f(π,3)8．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3)，则f(0)＝________.9．已知函数f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\r(2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\r(2)))，则f(0)＝________．10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，则()A．A＝4B．ω＝1C．φ＝eq\f(π,6) D．B＝411．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4B．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4C．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2 D．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋212．某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)x＋\f(3π,5)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x－\f(2π,5)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x＋\f(3π,5)))D．y＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)x＋\f(3π,5)))13．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______________．14．下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点()A．向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变B．向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变D．向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的图象上相邻的最高点和最低点的距离为2eq\r(2)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，则函数解析式为f(x)＝______________.16．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差eq\f(π,4)，且图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，求这个函数的解析式．17．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的一个对称中心到相邻对称轴的距离为eq\f(π,4)，且图象上有一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－3)).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．18．已知定义在(－∞，＋∞)上的函数f(x)，对任意x∈R，恒有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)成立．(1)求证：函数f(x)是周期函数，并求出它的最小正周期；(2)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0＜φ＜\f(π,2)))在一个周期内的图象如图所示，求出f(x)的解析式，并写出它的对称轴方程．19．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为eq\f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．20．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)如何由函数y＝sinx的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．21．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,6)))时，求f(x)的取值范围．22．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，A>0，|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的值域．23．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个周期内的图象．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]的值域．24．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一段图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？25．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\r(2)))，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，若φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)试求这条曲线的函数解析式；(2)写出函数的单调区间．26．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个周期内的图象．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式及g(x)的最小正周期．27．已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ－\f(π,6)))＋1(ω＞0,0＜φ＜π)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为eq\f(π,2).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．28．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的一系列对应值如下表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,3)eq\f(5π,6)eq\f(4π,3)eq\f(11π,6)eq\f(7π,3)eq\f(17π,6)y－1131－113(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为eq\f(2π,3)，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．题型二三角函数图象与性质的综合应用1．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的对称中心是___________，对称轴方程是__________________．2．函数y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象的一条对称轴是()A．x＝－eq\f(π,2) B．x＝eq\f(π,2)C．x＝－eq\f(π,6) D．x＝eq\f(π,6)3．将函数f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))4．若将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移eq\f(π,6)个单位，则所得函数g(x)图象的一个对称中心为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))5．在函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．6．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称；③在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递增”的一个函数是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6))) B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝eq\f(π,6)时，有最大值2，当x＝eq\f(2π,3)时，有最小值－2，则ω＝________.8．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，以下命题中为假命题的是()A．函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,12)对称B．x＝－eq\f(π,6)是函数f(x)的一个零点C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度得到D．函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))上是增函数9．函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C关于直线x＝eq\f(π,12)对称；②图象C关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))对称；③函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))内是增函数；④由y＝3sin2x的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度可以得到图象C.10．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x＝eq\f(π,6)，则φ的值为________．11．函数f(x)＝cos(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象()A．关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))对称B．关于直线x＝－eq\f(π,6)对称C．关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))对称D．关于直线x＝eq\f(π,12)对称12．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝()A.eq\f(2,3)B.eq\f(14,3)C.eq\f(26,3)D.eq\f(38,3)13．已知函数f(x)＝eq\f(\r(3),2)sinxcosx＋eq\f(1,2)cos2x＋1.(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))对称，且在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是单调函数，求φ和ω的值．15．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq\f(π,6)个单位长度得到y＝sinx的图象．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝eq\f(π,12)时，f(x)取得最大值3；当x＝eq\f(7,12)π时，f(x)取得最小值－3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．17．已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2eq\r(3)sinωxcosωx(0＜ω＜1)，直线x＝eq\f(π,3)是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移eq\f(2π,3)个单位长度得到的，若geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝eq\f(6,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求sinα的值．18．设m为实常数，已知方程eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝m在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β.(1)求m的取值范围；(2)求α＋β的值．专题61函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用知识点一函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义(1)简谐运动的振幅就是A.(2)简谐运动的周期T＝eq\f(2π,ω).(3)简谐运动的频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).(4)ωx＋φ称为相位．(5)x＝0时的相位φ称为初相．知识点二函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质题型一已知函数图象求解析式1．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，求此函数的解析式．[解析]解法一：逐一定参法：由图象知A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在函数图象上，且是上升趋势的零点，∴－eq\f(π,6)×2＋φ＝2kπ，得φ＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)．∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).解法二：待定系数法由图象知A＝3.∵图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，且由图象的上升及下降趋势，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(πω,3)＋φ＝π，,\f(5πω,6)＋φ＝2π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝\f(π,3).))∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).解法三：图象变换法由A＝3，T＝π，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移eq\f(π,6)个单位长度而得，所以y＝3sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，即y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则φ的值为()A．－eq\f(π,3)B.eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6) D.eq\f(π,6)[解析]由图象知T＝eq\f(2π,ω)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＝π，所以ω＝2，2×eq\f(π,6)＋φ＝2kπ(k∈Z)，又因为－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3).故选A.3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)，且图象如图所示，求其解析式．[解析]法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又由点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－eq\f(π,6)×2＋φ＝0得φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋φ))＝0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋φ))＝0，－eq\f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜eq\f(π,2)，所以k＝0，φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin2x向左平移eq\f(π,6)个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).4．如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，则函数的一个解析式为()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)x－\f(π,6)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))[解析]由图象知A＝2，eq\f(T,2)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，∴T＝π＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝2，∵图象过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2))，∴2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝1，∴eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，∴φ＝eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，又∵0<|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).∴函数解析式y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))[解析]由图知T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2.又x＝eq\f(π,12)时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．[答案]D6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))等于()A.eq\f(1,2)B．0C．2D．－2[解析]解法一：由图可知，eq\f(3,2)T＝eq\f(5π,4)－eq\f(π,4)＝π，即T＝eq\f(2π,3)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝3.∴y＝2sin(3x＋φ)，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))代入上式得，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＝0，又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，0))是图象上升的趋势的点，∴eq\f(3π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－eq\f(3π,4).∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,4)＋2kπ－\f(3π,4)))＝0.解法二：由图可知，eq\f(3,2)T＝eq\f(5π,4)－eq\f(π,4)＝π，即T＝eq\f(2π,3).又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝0，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(T,2)))＝0.∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝0.[答案]B7．已知函数f(x)＝|Acos(x＋φ)＋1|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则()A．A＝2，φ＝eq\f(π,6)B．A＝3，φ＝eq\f(π,6)C．A＝2，φ＝eq\f(π,3) D．A＝3，φ＝eq\f(π,3)[解析]由题图知：A＝eq\f(3－（－1）,2)＝2，又f(0)＝|2cosφ＋1|＝2，所以cosφ＝eq\f(1,2)或cosφ＝－eq\f(3,2)(舍)，因为|φ|<eq\f(π,2)，即－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，由图象知φ>0，所以φ＝eq\f(π,3)，故选C.8．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3)，则f(0)＝________.[解析]由图象可得最小正周期为eq\f(2π,3).所以f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))，注意到eq\f(2π,3)与eq\f(π,2)关于eq\f(7π,12)对称，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(2,3).9．已知函数f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\r(2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\r(2)))，则f(0)＝________．[解析]由函数图象可知函数f(x)的周期T＝eq\f(3π,2)－eq\f(π,2)＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2cos(π－φ)＝－2cosφ＝eq\r(2)，则cosφ＝－eq\f(\r(2),2).因为φ∈[0，π]，所以φ＝eq\f(3π,4)，所以f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))，则f(0)＝－eq\r(2).10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，则()A．A＝4B．ω＝1C．φ＝eq\f(π,6) D．B＝4[解析]由图象可知，A＝2，eq\f(1,4)T＝eq\f(5π,12)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,4)，T＝π，ω＝2.因为2×eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，故选C.11．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4B．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4C．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2 D．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2[解析]由函数f(x)的最大值和最小值得A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，函数f(x)的周期为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))×4＝4π，又ω＞0，所以ω＝eq\f(1,2)，又因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，6))在函数f(x)的图象上所以6＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＋4，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝1，所以eq\f(π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，又|φ|＜eq\f(π,2)所以φ＝－eq\f(π,4)，所以f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))＋4.12．某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)x＋\f(3π,5)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x－\f(2π,5)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x＋\f(3π,5)))D．y＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)x＋\f(3π,5)))[解析]eq\f(T,4)＝eq\f(3π,4)－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,12)，于是eq\f(2π,ω)＝eq\f(5π,3)，即ω＝eq\f(6,5)，排除A、D.不妨令该函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由题图知A＝1，于是eq\f(6,5)·eq\f(π,3)＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋eq\f(3π,5)(k∈Z)，所以φ可以是eq\f(3π,5)，故选C.13．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______________．[解析]由题图得A＝2，eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(π,2)，即T＝π.由ω>0，T＝eq\f(2π,ω)＝π得ω＝2.又当x＝eq\f(π,3)时，ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即2×eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6).因此f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))(x∈R)．14．下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点()A．向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变B．向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变D．向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变[解析]由图象可知A＝1，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2.∵图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴eq\f(2π,3)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋2kπ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).故将函数y＝sinx先向左平移eq\f(π,3)个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，可得原函数的图象．[答案]A15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的图象上相邻的最高点和最低点的距离为2eq\r(2)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，则函数解析式为f(x)＝______________.[解析]由函数图象上相邻最高点和最低点距离为2eq\r(2)，得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))2＋1＋12)＝2eq\r(2).解得T＝4，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,2)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋φ)).又∵函数图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，∴f(2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)×2＋φ))＝－sinφ＝－eq\f(1,2).又∵－eq\f(π,2)≤φ≤eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6))).16．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差eq\f(π,4)，且图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，求这个函数的解析式．[解析]由题意知A＝5，eq\f(T,2)＝eq\f(π,4)，所以T＝eq\f(π,2)＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝4，所以y＝5sin(4x＋φ)．又因为图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，所以eq\f(5,2)＝5sinφ，即sinφ＝eq\f(1,2)，所以φ＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)或φ＝eq\f(5π,6)＋2kπ(k∈Z)，又因为0<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，所以这个函数的解析式为y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))).17．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的一个对称中心到相邻对称轴的距离为eq\f(π,4)，且图象上有一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－3)).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．[解析](1)由函数f(x)的一个对称中心到相邻对称轴的距离为eq\f(π,4)，可知函数f(x)的周期为π，所以ω＝eq\f(2π,π)＝2.又函数f(x)图象上有一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－3))，|φ|<eq\f(π,2)，所以A＝3，2×eq\f(7π,12)＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，可得kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)，k∈Z，又x∈[0，π]，则可得单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，π)).18．已知定义在(－∞，＋∞)上的函数f(x)，对任意x∈R，恒有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)成立．(1)求证：函数f(x)是周期函数，并求出它的最小正周期；(2)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0＜φ＜\f(π,2)))在一个周期内的图象如图所示，求出f(x)的解析式，并写出它的对称轴方程．[解析](1)因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)＋\f(π,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是周期函数，它的最小正周期为π.(2)由(1)知f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.由题中图象知A＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．又2×eq\f(π,3)＋φ＝π，所以φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).由2x＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)(k∈Z)，所以它的对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)(k∈Z)．19．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为eq\f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．[解析]由最低点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.在x轴上两相邻交点之间的距离为eq\f(π,2)，故eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，即T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))在图象上得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，故eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝2kπ－eq\f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,6).故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).20．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)如何由函数y＝sinx的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．[解析](1)由图象知A＝1.f(x)的最小正周期T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)－\f(π,6)))＝π，故ω＝eq\f(2π,T)＝2，将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))代入f(x)的解析式得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝1，又|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).故函数f(x)的解析式为f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)变换过程如下：y＝sinx图象上的eq\o(→,\s\up15(所有点的横坐标缩小为原来1/2倍),\s\do15(纵坐标不变))y＝sin2x的图象，再把y＝sin2x的图象,向左平移eq\f(π,12)个单位y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象．21．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,6)))时，求f(x)的取值范围．[解析](1)由函数图象得A＝1，eq\f(T,4)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以T＝2π，则ω＝1.将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))代入得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝1，而－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，因此函数的解析式为f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).(2)由于－π≤x≤－eq\f(π,6)，－eq\f(2π,3)≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,6)，所以－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\f(1,2)，所以f(x)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).22．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，A>0，|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的值域．[解析](1)由图象可知A＝1，eq\f(T,4)＝eq\f(2π,4ω)＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,4)，所以ω＝2.又由图象知2·eq\f(π,3)＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))时，2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，所以函数f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).23．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个周期内的图象．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]的值域．[解析](1)由题图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,8)＝eq\f(π,4)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ)).将点(－1，0)代入，得0＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋φ)).因为|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,4)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).(2)因为－1≤x≤2，所以0≤eq\f(π,4)x＋eq\f(π,4)≤eq\f(3,4)π，所以0≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))≤1，所以0≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))≤2.所以函数f(x)的值域为[0，2]．24．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一段图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？[解析](1)A＝3，eq\f(2π,ω)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π－\f(π,4)))＝5π，ω＝eq\f(2,5).由f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋φ))过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)＋φ))＝0.又∵|φ|<eq\f(π,2)，故φ＝－eq\f(π,10)，∴f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x－\f(π,10))).(2)由f(x＋m)＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋m－\f(π,10)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋\f(2m,5)－\f(π,10)))为偶函数(m＞0)，知eq\f(2m,5)－eq\f(π,10)＝kπ＋eq\f(π,2)，即m＝eq\f(5,2)kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z∵m＞0，∴mmin＝eq\f(3π,2).故把f(x)的图象向左至少平移eq\f(3π,2)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．25．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\r(2)))，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，若φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)试求这条曲线的函数解析式；(2)写出函数的单调区间．[解析](1)依题意，得A＝eq\r(2)，T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\f(π,2)))＝4π，∵T＝eq\f(2π,|ω|)＝4π，ω＞0，∴ω＝eq\f(1,2).∴y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋φ)).∵曲线上的最高点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\r(2)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＝1.∴φ＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∵－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4).∴y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4))).(2)令2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴4kπ－eq\f(3π,2)≤x≤4kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(3π,2)，4kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．令2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，∴4kπ＋eq\f(π,2)≤x≤4kπ＋eq\f(5π,2)，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ＋\f(π,2)，4kπ＋\f(5π,2)))(k∈Z)．26．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个周期内的图象．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式及g(x)的最小正周期．[解析](1)由图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,8)＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ)).将点(－1,0)代入，得0＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋φ)).∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).(2)作出与f(x)的图象关于直线x＝2对称的图象(图略)，可以看出g(x)的图象相当于将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－2＋\f(π,4)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4)))，∴g(x)的最小正周期为eq\f(2π,\f(π,4))＝8.27．已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ－\f(π,6)))＋1(ω＞0,0＜φ＜π)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为eq\f(π,2).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．[解析](1)∵f(x)为偶函数，∴φ－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．又0＜φ＜π，∴φ＝eq\f(2π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,2)))＋1＝2cosωx＋1.又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为eq\f(π,2)，∴T＝eq\f(2π,ω)＝2×eq\f(π,2)，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos2x＋1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)))＋1＝eq\r(2)＋1.(2)将f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，得到函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))的图象，所以g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))))＋1＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))＋1.当2kπ≤eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋eq\f(2π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(8π,3)(k∈Z)时，g(x)单调递减．∴函数g(x)的单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ＋\f(2π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)．28．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的一系列对应值如下表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,3)eq\f(5π,6)eq\f(4π,3)eq\f(11π,6)eq\f(7π,3)eq\f(17π,6)y－1131－113(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为eq\f(2π,3)，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．[解析](1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝eq\f(11π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝2π，由T＝eq\f(2π,ω)，得ω＝1，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B＋A＝3，,B－A＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝2，,B＝1，))令ω·eq\f(5π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，即eq\f(5π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，解得φ＝－eq\f(π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋1.(答案不唯一)(2)∵函数y＝f(kx)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx－\f(π,3)))＋1的最小正周期为eq\f(2π,3)，且k＞0，∴k＝3.令t＝3x－eq\f(π,3)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，如图所示，当sint＝s在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))上有两个不同的实数解时，s∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))，∴当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))时，由方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解得m∈[eq\r(3)＋1,3)，即实数m的取值范围是[eq\r(3)＋1,3)．题型二三角函数图象与性质的综合应用1．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的对称中心是___________，对称轴方程是__________________．[解析]函数的对称中心：eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，∴x＝2kπ－eq\f(π,3)，k∈Z，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，0))(k∈Z)，对称轴方程：eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k