高三1月月考数学（文）试卷

高三1月月考数学（文）试卷

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题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共9题，共45分）

1、锐角三角形4HC中，ZA=30a,BC=l,则AdBC面积的取值范围为（）

【考点】

【答案】B

ABAC

------=------=2

【解析】ZA=30°,BC=1,可得：&1C面出.,.AB=2sinC,AC=2sinB=2sin(150°-C)=2

1也

(2cosC+2sinC)=cosC+sinC,

-sinX=—x2xinCxfcosC+\5sinC^X—=—sinf2c——^4——

.-.SAABC=2ABAC2''22I4-.•ce(6,2),

毛生-sinf2c--l+—e——

可得：2C-3G(0,3),.".sin(2C-3)W(0,1],可得：？,41424-则

△ABC面积的取值范围为

故选B.

点睛:解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”

或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是:

全部转化为角的关系，建立函数关系式，如y=/由3+协+%从而求出范围，或利用余弦定理以及

基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.

2、/㈤是定义在£上的奇函数，对VxeK,均有〃x+2)=，(x),已知当xe［O,l)时，小)=2*-1,

则下列结论正确的是()

A./(X)的图象关于％=1对称B./(x)有最大值1

C./(X)在［-L3］上有5个零点D.当“€［2,3］时，/(x)=2x-l-l

【考点】

【答案】C

【解析】vf(x)是定义在R上的奇函数，对VxGR,均有f(x+2)=f(x),故函数的周期为2,则f(x)

的图象关于(1,0)点对称，故A错误；f(x)E(-1,1),无最大值，故B错误；整数均为函数的零点，

故f(x)在［T,3］上有5个零点,故C正确；当xG［2,3)时，X-2G［0,1),则f(x)=f(x-2)=2x~2~1,

当x=3时，f(x)=0,故D错误；

故选C.

点睛:本题是函数性质的综合应用，已知对称中心,周期能推出另一个对称中心,根据某区间上的解析式,

结合周期性,对称性可以得到一个周期中的函数图象,从而关于最值,零点等问题都可以解决.

y=---

3、函数)=工+々与罔(a>0且GHI)在同一坐标系中的图象可能为()

【答案】D

【解析】y=~lXrlr为奇函数，x>0时，y=ax,当a>1时，是增函数，函数y=x+a的截距大于1,没有选项,

所以aG(0,1)此时y=ax,是减函数，函数y=x+a的截距小于1大于0,只有D满足题意.

故选D.

4、已知函数I37,以下结论错误的是()

_n

A.函数了=/(X)的图象关于直线x-6对称

B.对称

_5^生

C.函数了=/卜+用在区间L6’6」上单调递增

n

D.在直线J=I与曲线了=/卜)的交点中，两交点间距离的最小值为5

【考点】

【答案】c

/(x)=v'2sin[x+JH

,令x=k,求得f(x)=正为函数的最大值，可得它的图象关

【解析】对于函数

X=­

于直线6,故A正确;

传

令x=93，求得f(x)=0,可得它的图象关于点13,0)对称故B正确；

函数y=f(x+n)=I3}一I3)在区间L66」上，x+3L22」

故f(X+TT)单调递减，故C错误；

生)也生毛军史

令f(x)=1,求得sinQl+3)=2,/.x+3=2kn+4,或x+3=2kn+4,kGZ,

故在直线y=1与曲线y=f(x)的交点中，两交点间距离的最小值为5,故D正确；

故选C.

5、已知加力是两条不同的直线，口，#是两个不同的平面，则下列命题是真命题的是()

A,若用II巴WIIB,则力IIa

B.若»-La,则用II"

0.若册II","IIB,mln,则

D,若"II凡ml.n,则aII#

【考点】

【答案】B

【解析】对于A,若m〃a,m//n,则n〃a或nua,故错；

对于B,若m_La,n±a,则01〃11,正确；

对于C,如下图，m//a,n〃B,m±n,则a〃B,故错;

对于D,若m_La,n〃B,m±n,贝Ija〃。或a、P相交，故错；

故选B.

，y三4,

x—y4-1<0,

6、已知X,yER,且八十v-1-o,则z=2x+y的最小值为（）

A.-4B.-2c,2D.4

【考点】

【答案】B

【解析】作出可行域:

当直线y=_2x+Z经过点c（一3,4）时，z=2x+y取到最小值为Z=2（-3）+4=-2

故选：B

7、下列函数为奇函数且在（0'+8）上为减函数的是（）

A.尸也（国-%了Wx+LL国

【考点】

【答案】A

【解析】根据题意，依次分析选项:

屈r）其定义域为R,f（-x）

对于A：

M、向标+x）-（Q,为奇函数，当40,令廿丙一

=M屈r)在(0,+8)

则y=|nt,t=Jx?+lr=42+1+X为减函数,y=|nt为增函数，则函数,

上为减函数，符合题意;

v=z

对于B：3在（0,+8）上为增函数，不符合题意;

v=x+—

对于C：X在（0,+8）上先减后增，不符合题意;

J=-Vx2+I(_)=_J-+l=f(x),为偶函数，不符合题意;

对于D：fx

故选A.

8、函数‘（"）='一二的零点所在区间为（）

A.MB.刖C（L2）D«・）

【考点】

【答案】c

【解析】函数-1在x>0时是连续函数，f（1）=e-4<0,f（2）=e2-2>0,由函数零点的存在

/(x)=ax----

性定理，函数X的零点所在的区间为(1,2).

故选C.

9、已知集合北何-2<、<1},B={x^-3x<Q}那么/5ff=()

A{x|-2<x<3}B{x|O<x<l}c{JC|-2<X<0}D{x|l<x<3}

【考点】

【答案】A

【解析】•••集合A={x卜2VxV1},B=(x|x2-3x<0}={x10<x<3},AUB={x|-2<x<3].

故选A.

二、填空题（共3题，共15分）

10、已知单位向量於（"），向量"=（L'Q）,且（词=咒则k.

【考点】

且

【答案】0或2

【解析】根据题意，单位向量法=（$力，向量后=（L闾,所以/+/=1,同=2,且方辰%+后,

又由痴=60。则“同同皿60-2q-l,所以4+与=则有'+岳=1解可得y=0或T

正

故答案为0或2.

/、cos—x^x<Q

小）={4

11、/（x-2）,xS0则/（2017）=

【考点】

应

【答案】2

找_

/、COT—X,X<0

/W=(4

【解析】/(x-2),x之。x》0时，函数是周期函数，周期为2,/.f（2017）=f（2015）=f（2013）

=—=f(1)=f(-1)=

故答案为2.

sinfa+—立

12、已知2,则由i2a=

【考点】

【答案】2

Ja+徉号4ma+x)=3逅

【解析】因为I*2,所以2'2,解得：sina+c°sa=2两边平方,

31

可得：1+5汨2。=2,5尼2。=5;

I

故答案为5.

三、解答题(共6题，共30分)

13、函数/(X)=痴'-X%"在(。，(°))处的切线与直线J=2"平行.

(1)求实数。；

(2)求函数/(X)的单调区间；

/(x)

⑶设以“—彳-+*+*3+1)2当时，g(x)>“x-l)恒成立，求整数上的最大值

【考点】

【答案】(i)a=i⑵单调递增区间为S'+'8)』TT+§(3)3

【解析】试题分析：(1)先求导，根据导数的几何意义即可求出a的值；

(2)利用导数研究单调性,即可得出函数/(X)的单调区间；

.「(inx+l)

(3)x>1时，g(x)>k(x-1)恒成立，转化为X-l，在(1,+8)恒成立，构造函数h

x(lnx+l)

(x)=x-1,,xe(1,+8),利用导数和不可解零点返代即可求出

A(x)=〃(/)=仝蚂2^=&«3,4)

e/-1，所以*</,因为*eZ,所以整数值上的最大值即为得解.

试题解析：

(1)设/(X)在他/⑼)处切线斜率为心由题意知：k=2

▽/'(X)=2/-3X2J-X2/

.3=/'(O)=2a.2a=2,a=l.

⑵由⑴知/'6)=2/-31/一/o2

/(力噜%>D/铲X-2-Inx

{{I

记M（x）=x-2-lnx"6）=1-7。，M（x）在（L*o）单调递增

而Af（3）=l-ln3<0A/（4）=2-21n2>0

故必有4e（3<）,有）=0且&-2-111%=0

所以当xe（Lxj）*（x）〈Oxe（^,4<x>）A,（x）>0

Mx）在xe（LxJ单调递减，在xe&,桢）单调递减，

434）

k<Xt,因为*WZ,所以整数值上的最大值为3.

14、现有一块大型的广告宣传版面，其形状是右图所示的直角梯形/aco.某厂家因产品宣传的需要，拟

投资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形DEFG（点尸在曲线段AC上，点

E在线段3上）.已知3c=12用，AB=AD=6m,其中曲线段WC是以4为顶点，Q为对称轴的

抛物线的一部分.

（1）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段4c与线段DC的方程；

（2）求该厂家广告区域DEFG的最大面积.

【考点】

y=--xi（0Sx£6）

【答案】（1）直角坐标系见解析；曲线段/C的方程为：3<

线段BC的方程为：y=-x-6（0£x£6）

27

—m2

(2)2

【解析】试题分析：(1)以AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(6,0),C(6,

-12),D(0,-6).设曲线AC的方程x2=-2py,(p>0,0WxW6).代入C坐标即可求得p,即可求出

曲线段/C的方程，由DC两点坐标即可求出线段DC的方程；

(2)设出F点横坐标a,将厂家广告区域口瓯G的面积表示为a的函数，求出函数的最大值即可.

试题解析：(1)以直线4R为X轴，直线刀乂为尸轴建立平面直角坐标系(如图所示).

则/(怯0)5(6,0)C(6,-12)D(Q,-6)

曲线段4C的方程为：3/；

线段DC的方程为：y=-x-();

⑵设点”G铲)则需>>即Ova<3应,

则G(w-a-6)芯(°厂铲)

DE=6——a2JFG=a+6——aJ

3,EF=a,3,

则厂家广告区域DEFG的面积

a(12+a-¥7一2-

I2a+a7—a?,.

%)=13「J——1―(0«<3应)

~1T

./r(a)=6+a-a2

*,，

令f(a)=Q,得a=3,a=-2.

.・.〃")在(°J1上是增函数,在［3,3回

上是减函数.

/(a)=/(3)=y

27

_--D22

，厂家广告区域DEFG的面积最大值是2

点睛:本题利用已知函数模型解决实际问题，关键是合理建系设出点坐标即可表示出面积的表达式，利

用导数研究单调性即可求出最值.

15、如图，在三棱柱依C—44cl中，3。_1_平面4^43,AB=&=2,ZXjA5=60a

（1）证明：平面期©_1•平面4》c；

26

（2）若四棱柱Z—BRGC的体积为3,求该三棱柱的侧面积.

【考点】

【答案】⑴见解析⑵％=6+2\/3

【解析】试题分析：（1）利用线面垂直的判定定理可得AB1_L平面A1CB.又AB1u平面AB1C,即可得平面

AB1CJ■平面A1BC.

（2）过4在平面内作40,期1于。，由3CJ■平面阳4》，得出平面B4cle_L平面

于期，得出4。1平面期QC所以崽到平面B4cle的距离为亚由

v=Ls*c4D=L&2xBC=述~2.

3购G闩33得出3c=1,从而可求该三棱柱的侧面积

降=（4。+雄+卒）例

试题解析：

(1)证明：三棱柱EC—44G的侧面—画3,45=阳

.•・四边形阳空为菱形，

•典1小

又：3。！平面阳凡8,典U片面幽鸟》，

.鸣13C

...卒cBC=B

...亚1平面空c,典u平面4吗

...平面431cl•平面43c

(2)解：过4在平面440®内作于D.

•；3C1平面&4》，3Cu平面叫GC,

平面理GC"1•平面怒143于蚂，40U平面4408,

.••4〉平面期GC

在检A44D中，4与二相二2443=425=60。

...4。=8,•.•幺11%，点到平面B44C的距离为行，

又四棱锥/田气的体积用¥*4yx反2**=竽d

在平面妈C]C内过。作DEII3C交CG于后，连接4后，则Dff=3C=l,

卒=44"+/=2,

,%=(42+。5+卒)%=(后+1+2卜2=6+26

/(x)=cos|j+2sin2|yj(fi>>0)彳明打

16、已知函数I6/I4)在L3」上具有单调性，且

(D求/(x)的最小正周期7；

1t

(2)将函数/(X)的图象向右平移Z个单位，再向下平移1个单位，得到函数以X)的图象,

_JCn

求gG)在L7'*」上的最大值和最小值.

【考点】

需K43

X=———hX=-V=

【答案】(1)7=%(2)12时，稣业=-43.4时，.22

2上具有"可得酒，结合舟村

【解析】试题分析：先化简/(X)

(1)由f(x)在L3.

即可求得◎值，得到函数解析式，由周期公式求得周期;

(2)利用函数/(X)的图象平移求得函数晨工)的解析式，再由x的范围求得函数屋X)在L彳'*」上

的最大值和最小值.

试题解析：

,/(x)=cosfzajx——l+sm2tnxsin工+l-cos(2cox+色］=—sin2tDx+-^-cos2tox+l

⑴I6J6I2)22

n

八«ck>--(k€Z)产K--n=-<.~

..a)=6k+l：a»Q,6，二写在L3」上单调，332,即

------左kV———〈无1<11

06无+13,12,.­.612,又上eZ,.•.*=(),0=1,..T=x

(2)由(1)知将y=/(x)的图象向右平移彳个单位，再向下平移一

个单位,得小扇3勺的图象,所产上尾生

7T%K

自.「奢*2x=X=----.._®

.•.当32,即12时，儿血=一"3,当

X=­

即4时,T

17、A43C中，内角4、3、C所对边分别为。、b、c,b=c=5。为3c边上靠近C点的三等分

点.记向量户=@£由/g=(T68」)，且p||g

(1)求线段3的长；

(2)设初=而，AD=n,若存在正实数打，使向量+3)程与向量—阿