高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(附答案)

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系【考点梳理】考点一：空间中点、直线和平面的向量表示1.空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))来表示．我们把向量eq\o(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量．2.空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，①把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．3.空间中平面的向量表示式平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我们称为空间平面ABC的向量表示式．考点二空间中平面的法向量平面的法向量如图，若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．考点三：空间中直线、平面的平行1.线线平行的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.2.线面平行的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.面面平行的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.考点四：空间中直线、平面的垂直1.线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.2.线面垂直的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.知识点三面面垂直的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.【题型归纳】题型一：平面的法向量的求法1．（2021·江西·景德镇一中高二期中（理））已知直线过点，平行于向量，平面经过直线和点，则平面的一个法向量的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知平面经过点和，是平面的法向量，则实数（

）A．3 B． C． D．3．（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（

）A． B． C． D．题型二：空间中点、直线和平面的向量表示4．（2021·全国·高二专题练习）已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（

）A．②④ B．②③ C．①③ D．①②5．（2022·全国·高二）已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（）A．(1，－1,1) B．(1,3，)C．(1，－3，) D．(－1,3，－)6．（2022·四川·棠湖中学高二）对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是,,,四点共面的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件题型三：空间中直线、平面的平行7．（2022·福建·高二学业考试）如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（

）A．平面B．平面C．D．8．（2022·山东淄博·高二期末）在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．平面与所有坐标轴相交 D．原点一定不在平面内9．（2022·安徽宣城·高二期末）如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（

）A．当时，平面 B．当时，平面C．当为直角三角形时， D．当的面积最小时，题型四：空间中直线、平面的垂直10．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知、分别为直线、的方向向量（、不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中不正确的是（

）A．； B．；C． D．11．（2021·安徽·高二期中）给出以下命题，其中正确的是（

）A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则C．平面､的法向量分别为，，则D．平面经过三个点，，，向量是平面的法向量，则12．（2022·全国·高二课时练习）若空间两直线与的方向向量分别为和，则两直线与垂直的充要条件为（

）A．，，（）B．存在实数k，使得C．D．题型五：空间向量研究直线、平面的位置综合问题13．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，E为的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若P、Q均在平面上，满足，．(1)判断PQ与BD的位置关系；(2)求的最小值．14．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点M在棱PD上，点N为BC中点.(1)若，证明：直线平面PAB：(2)线段PD上是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由15．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.(1)求证：，，，四点共面；(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.【双基达标】一、单选题16．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））在直三棱柱中，底面是以B为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么（

）A．1 B．2 C． D．17．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（

）A． B． C． D．或18．（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（

）A．//B．C．//平面D．平面19．（2022·全国·高二）有以下命题：①一个平面的单位法向量是唯一的②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直其中真命题的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个20．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论：①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为；③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为．其中正确的个数为（

）．A．1 B．2 C．3 D．421．（2022·全国·高二）已知直线经过点，平行于向量，直线经过点，平行于向量，求与两直线，都平行的平面的一个法向量的坐标．22．（2022·全国·高二）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．(1)求证：；(2)若，求的长．【高分突破】一：单选题23．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（

）A． B． C． D．或24．（2022·江苏苏州·高二期末）已知平面的一个法向量为=（2，－2，4），=（－1，1，－2），则AB所在直线l与平面的位置关系为（）A．l⊥ B．C．l与相交但不垂直 D．l∥25．（2021·全国·高二如图，在三棱锥中，平面，，，．以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（

）．A．点P的坐标为 B．C．可能为 D．26．（2021·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二）设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（

）A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且27．（2021·浙江金华第一中学高二期中）平面四边形和四边形都是边长为1的正方形，且平面，点为线段的中点，点，分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围为（

）A． B． C． D．28．（2021·湖北·武汉市第十四中学高二阶段练习）设，是两条直线，，分别为直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件29．（2021·河南·高二阶段练习（理））给出下列命题：①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则②直线的方向向量为，平面的法向量为，则.③平面的法向量分别为，则.④平面经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量是平面的法向量，则u＋t＝1.其中真命题的序号是（

）A．②③ B．①④ C．③④ D．①②30．（2021·安徽省五河第一中学高二阶段练习）已知点，，在平面内，，1，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（

）A．，， B． C． D．31．（2021·北京·汇文中学高二期中）若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定32．（2021·重庆市第十一中学校高二期中）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（

）A． B．C．或 D．与相交但不垂直二、多选题(共0分)33．（2022·浙江省长兴中学高二期末）直三棱柱中，分别为，的中点，点是棱上一动点，则（

）A．对于棱上任意点，有B．棱上存在点，使得面C．对于棱上任意点，有面D．棱上存在点，使得34．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（

）A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面C．的最小值 D．当为中点时，为钝角35．（2022·江苏·连云港高中高二期中）给出下列命题，其中是真命题的是（

）A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直B．若直线的方向向量，平面的法向量，则C．若平面，的法向量分别为，，则D．若存在实数使则点共面36．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在平行六面体中，，，点M，N分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（

）A．B．向量共面C．平面D．若AB=1，则该平行六面体的高为37．（2022·江苏常州·高二期中）下列命题是真命题的有（

）A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD．平面α经过三点是平面α的法向量，则38．（2022·江苏宿迁·高二期中）给定下列命题，其中正确的命题是（

）A．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则B．若，分别是不重合的两平面的法向量，则C．若，分别是不重合的两平面的法向量，则D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直39．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在边长为的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（

）A．B．的最小值为C．异面直线与的距离是定值D．40．（2022·全国·高二课时练习）给定下列命题，其中正确的命题是（

）A．若，分别是平面，的法向量，则B．若，分别是平面，的法向量，则C．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直三、填空题41．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面，写出平面的一个法向量______．42．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．43．（2022·全国·高二课时练习）已知､分别为不重合的两直线､的方向向量，､分别为不重合的两平面､的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________.①；②；③；④.44．（2022·四川成都·高二期中（理））如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为______．45．（2022·全国·高二课时练习）向量分别代表空间直角坐标系与轴同方向的单位向量，若，，若与垂直，则实数______．46．（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：（1）直线BC的一个方向向量___________；（2）点OD的一个方向向量___________；（3）平面BHD的一个法向量___________；（4）的重心坐标___________.47．（2022·上海·格致中学高二期末）已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线平面，则实数m的值为______．48．（2021·河北省盐山中学高二阶段练习）已知P是所在的平面外一点，，，，给出下列结论：①；②；③是平面的一个法向量；④，其中正确结论的个数是__________．四、解答题49．（2022·全国·高二）如图所示，在棱长为1的正方体，中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系．(1)求证：；(2)若、E、F、四点共面，求证：．50．（2022·全国·高二）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD，E､F､G分别为AB､SC､SD的中点.若，.(1)求；(2)求；(3)判断四边形AEFG的形状.51．（2022·湖南·高二）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．52．（2022·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD．(1)分别指出平面PAD、平面PAB的一个法向量；(2)若，试在图中作出平面PDC的一个法向量；(3)是否有可能是直角三角形？(4)根据法向量判断平面PBC与平面PDC是否有可能垂直．53．（2022·浙江绍兴·高二期末）正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4.E为棱上的动点，F为棱的中点.(1)证明：；(2)若E为棱上的中点，求直线BE到平面的距离.【答案详解】1．A【解析】【分析】设法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】由题意可得,设经过直线和点平面的法向量为，则，令，则，所以，所以经过直线和点平面的法向量为.故选：A2．B【解析】【分析】由是平面的法向量，可得，即可得出答案.【详解】解：，因为是平面的法向量，所以，即，解得.故选：B.3．C【解析】【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解.【详解】是正方形，且，，，，，，，，，又，，，平面的法向量为，则，得，，结合选项，可得，故选：C.4．B【解析】【分析】求出判断①不正确；根据判断②正确；由，判断③正确；假设存在使得，由无解，判断④不正确.【详解】由，，，，2，，，2，，知：在①中，，故①不正确；在②中，，，，故②正确；在③中，，，又因为，，知是平面的法向量，故③正确；在④中，，3，，假设存在使得，则，无解，故④不正确；综上可得：②③正确．故选：B．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题．5．B【解析】【分析】要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量是否垂直，即判断是否为0即可.【详解】对于选项A，，则，故排除A；对于选项B，，则对于选项C，，则，故排除C；对于选项D，，则，故排除D；故选:B6．B【解析】【分析】利用空间中共面定理：空间任意一点和不共线的三点，，，且,得,,,四点共面等价于，然后分充分性和必要性进行讨论即可.【详解】解：空间任意一点和不共线的三点，，，且则,,,四点共面等价于若，，，则，所以,,,四点共面若,,,四点共面，则，不能得到，，所以，，是,,,四点共面的充分不必要条件故选B.【点睛】本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题.7．A【解析】【分析】对A：由平面平面，然后根据面面平行的性质定理即可判断；对B：若平面，则，这与和不垂直相矛盾，从而即可判断；对C、D：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，由与不是共线向量，且，从而即可判断.【详解】解：对A：由长方体的性质有平面平面，又平面，所以平面，故选项A正确；对B：因为为棱的中点，且，所以与不垂直，所以若平面，则，这与和不垂直相矛盾，故选项B错误；对C、D：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，因为与不是共线向量，且，所以与不平行，且与不垂直，故选项C、D错误.故选：A.8．C【解析】【分析】根据空间位置关系的向量方法依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，，所以，故或，故A选项错误；对于B选项，，所以，故或，故B选项错误；对于C选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面与所有坐标轴相交，故正确；对于D选项，由法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点与平面关系，故错误.故选：C9．D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；【详解】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，因为，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以对于A：若平面，则，则，解得，故A错误；对于B：若平面，则，即，解得，故B错误；当为直角三角形时，有，即，解得或（舍去），故C错误；设到的距离为，则，当的面积最小时，，故正确．故选：．10．B【解析】【分析】按照方向向量和法向量在线面关系中的应用直接判断即可.【详解】A选项：因为、不重合，所以，A正确；B选项：或，B错误；C选项：，C正确；D选项：因为，不重合，所以，D正确.故选：B.11．D【解析】【分析】判断直线的方向向量和平面的法向量间的关系，判断线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.【详解】对于A，因为，所以与不垂直，A错误；对于B，因为，不成立，所以B错误；对于C，因为与不平行，所以不成立，C错误；对于D，，，由，，解得，，所以，D正确.故选：D.12．C【解析】【分析】由空间直线垂直时方向向量，即可确定充要条件.【详解】由空间直线垂直的判定知：.当时，即，两直线与垂直.而A、B、D说明与平行.故选：C13．(1)PQ与BD的位置关系是平行(2)【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判断PQ与BD的位置关系；（2）用含参数的表达式求出，进而求出最小值.(1)以D为原点，以射线DA，DC，分别为x，y，z轴的正向建立空间直角坐标系，，，．因为P、Q均在平面上，所以设，，则，，．因为，，所以解得:所以，，即，，所以PQ与BD的位置关系是平行．(2)由（1）可知：，，所以．当时，有最小值，最小值为．14．(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，用向量法证明；（2）利用向量法计算，判断出点M不存在.(1)如图所示，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则若，则，因为平面ABCD，所以又因为所以平面PAB平面PAB的其中一个法向量为所以，即又因为平面所以平面(2)不存在符合题意的点M，理由如下：设平面PCD的法向量则不妨令，则设，即则解得或，不满足，故不存在符合题意的点M.15．(1)证明见解析(2)存在，【解析】【分析】（1）连接，，取的中点为M，连接，ME，根据E为的中点，F为的中点，分别得到，，从而有，再由平面的基本性质证明；（2）以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设，分别求得平面BEF的一个法向量和平面GEF的一个法向量，根据平面平面BEF，由求解.(1)证明：如图所示：连接，，取的中点为M，连接，ME，因为E为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为F为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以B，E，，F四点共面；(2)以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设，由已知，，，则，，，设平面BEF的一个法向量为，则，即，取，则；设平面GEF的一个法向量为，则，即，取，则；因为平面平面BEF，所以，所以，所以.所以存在满足题意的点G，使得平面平面BEF，DG的长度为.16．B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出，根据垂直和唯一的点E得到方程由唯一解，根据二次函数根的分布问题求出.【详解】如图，以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，则，则，因为在棱上有唯一的一点E使得，所以在上有唯一的解，令，可知，故要想在上有唯一的解，只需，因为，所以解得：故选：B17．B【解析】【分析】求出，即与平行，从而求出【详解】因为，即与平行，所以直线与平面垂直.故选：B18．B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，是底面的中心，分别是的中点，则，，，对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；对于B，因，则，即，B正确；对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.故选：B19．A【解析】【分析】根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②，根据两平面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.【详解】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故②错误；因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④错误.故选：A20．A【解析】【分析】由直线的方向向量及平面的法向量的定义即可求解.【详解】解：设正方体的边长为1，则，，，，，，对①：因为，所以直线的一个方向向量为正确；对②：因为，所以直线的一个方向向量为不正确；对③：因为平面，又，所以平面的一个法向量为不正确；对④：因为，，，，，所以平面的一个法向量为不正确.故选：A.21．（不唯一）【解析】【分析】由题设，、是直线、的方向向量，设面的法向量，应用空间向量垂直的坐标表示求法向量即可.【详解】由题设，直线、的方向向量分别为、，而，所以直线、不平行，设与两直线，都平行的平面的一个法向量，所以，令，则.故与两直线，都平行的平面的一个法向量的坐标.22．(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质证明平面，可得，再将用表示，再根据向量数量积的运算律证明，即可得证；（2）根据（1），根据，将用表示，从而可得出答案.(1)证明：在矩形中，，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因平面，所以，，所以，所以；(2)解：因为，所以，则，即的长为.23．C【解析】【分析】推导出，利用空间向量法可得出线面关系.【详解】因为，，则，即，因此，.故选：C.24．A【解析】【分析】由向量与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系．【详解】因为，所以，所以．故选：A．25．C【解析】【分析】根据空间直角坐标系，写出点坐标，，，，分别计算即可求值.【详解】建立空间直角坐标系如图：由题意可得，，，，所以，.设，则，取，可得.因为，，，所以平面，因为平面所以平面平面，所以，所以.综上所述，A，B，D错，C正确.故选：C26．C【解析】【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断.【详解】对于A，，，且，，则与相交或平行，故A错误；对于B，，，且，则与相交或平行，故B错误；对于C，，，且，则，故C正确；对于D，，，且，则与相交或平行，故D错误.故选：C.27．D【解析】【分析】以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，根据向量垂直的坐标表示求得，再由向量的模的计算公式和二次函数的性质可求得范围.【详解】解：因为平面四边形和四边形都是边长为1的正方形，且平面，所以以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图所示，则，，设，，所以，，又，所以，即，整理得，所以，又，所以，故选：D.28．C【解析】【分析】根据题意，结合面面垂直的向量证明方法，即可求解.【详解】由题意可得，分别是平面α，β的法向量，所以等价于，即“”是“”的充要条件．故选：C.29．B【解析】【分析】依据题意得到：①求数量积，得到，即；②求数量积，可得到，故或；③利用与的关系，两者既不平行，也不垂直，故两个平面不平行，是相交关系；④利用法向量的定义得到，解出，，进而可求解．【详解】①，所以，即，所以①正确．②，所以，所以或，所以②错误．③因为，且，所以与是相交的．所以③错误．④因为，，是平面的法向量，A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，所以．所以，即，解得，，所以．所以④正确．故选：B.30．B【解析】【分析】根据题意可得，依次验证是否满足即可.【详解】设，，，则，，；由题意知，，则，，化简得.验证得，在A中，，不满足条件；在B中，，满足条件；在C中，，不满足条件；在D中，，不满足条件.故选：B.31．A【解析】【分析】根据两个平面的法向量平行即可判断出平面与平面平行.【详解】对于平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，因为，所以平行.又表示不同的平面，所以平面与平面平行.故选：A32．C【解析】【分析】由，知，从而确定l与的位置关系.【详解】因为，所以，所以l与的位置关系是或，故选：C.33．AD【解析】【分析】对于A，连接，证明平面即可；对于B，建立空间直角坐标系，判断MN与BN是否可能垂直即可；对于C、D，当N是AC中点时，MN∥DE，即可判断.【详解】A选项：连接，由题可知四边形是正方形，则，由题知平面平面，平面平面，，平面ABC，∴平面，又，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴.故A正确；B选项：如图建立空间直角坐标系，设AC＝BC＝＝2，则，，，，，设，，则，，若BN⊥MN，则，即，方程无实数根，即BN与MN不垂直，则不存在点N，使得平面，B错误；C选项：当N是AC中点时，MN∥，∥DE，∴MN∥平面；当N不是AC中点时，MN和B1C相交，若∥平面，结合∥平面可知平面∥平面，这显然与图形不符(与AC相交)，故此时与平面不平行；故C错误；D选项：由C项可知，N为AC中点满足题意，故D正确.故选：AD.34．ABC【解析】【分析】对A，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断A；对B，当平面，则，则有，求出，即可判断B；对C，当时，取得最小值，结合B即可判断C；对D，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断D.【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，则，则，故，则，，对于A，，设平面的法向量，则有，可取，则点到平面的距离为，当时，点到平面的距离为0，当时，，当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故A正确.当平面，因为平面，所以，则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；对于C，当时，取得最小值，由B得，此时，则，，所以，即的最小值为，故C正确；对于D，当为中点时，则，，则，，所以，所以为锐角，故D错误；故选：ABC.35．AD【解析】【分析】对于A：先计算出，判断出，即可证明与垂直；对于B：判断出，即可得到不成立；对于C：判断出不垂直，即可得到不成立；对于D：不共线，由平面向量基本定理可以判断；共线时，可以判断共线，则点共面也成立.即可判断.【详解】对于A：因为直线的方向向量，直线的方向向量，且，所以，所以与垂直.故A正确；对于B：因为直线的方向向量，平面的法向量，且，所以不成立.故B不正确；对于C：因为平面，的法向量分别为，，且，所以不垂直，所以不成立.故C不正确；对于D：若不共线，则可以取为一组基底，由平面向量基本定理可得存在实数使则点共面；若共线，则存在实数使所以共线，则点共面也成立.综上所述：点共面.故D正确.故选：AD36．AD【解析】【分析】选定空间的一个基底，表示出相关向量，计算数量积判断A，C；利用共面向量定理判断B；求出正四面体的高判断D作答.【详解】在平行六面体中，令，不妨令，依题意，，，因点M，N分别是棱的中点，则，，有，A正确；，若向量共面，则存在唯一实数对使得，即，而不共面，则有，显然不成立，B不正确；因，，因此，与不垂直，不垂直平面，C不正确；连接，依题意，，即四面体是正四面体，因此，平行六面体的高等于点到平面的距离，即正四面体的高h，由知，由选项A知，，则平面，是平面的一个法向量，，，则，所以平行六面体的高为，D正确.故选：AD37．ABD【解析】【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；对于C，，故，可得l在α内或，C错误；对于D，，易知，故，故，D正确.故选：ABD.38．ACD【解析】【分析】A选项，由线面垂直的定义可判断正确；B选项，两平面平行，则它们的法向量平行；C选项，两平面平行，则它们的法向量平行；D选项，两平面垂直，则它们的法向量垂直.【详解】对于A选项，由线面垂直的定义若一条直线和一个平面内所有的直线都垂直，我们称直线和平面垂直，所以，∴，A正确；对于B选项，两平面平行，则它们的法向量平行，所以B错误；对于C选项，两平面平行，则它们的法向量平行，∴或∴，C正确；对于D选项，两平面垂直它们的法向量垂直，所以两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，D正确.故选：ACD.39．ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，，所以，，设，则，因为，故，故A正确；，，当时，取得最小值为，故B正确；因为，平面，平面，则平面，所以点到平面的距离为异面直线与的距离，设平面的一个法向量为，则，即，取，所以，故C错误；因为，，所以，，则，因为，则，故D正确；故选：ABD40．ACD【解析】【分析】根据平面的法向量与平面的关系依次判断即可得出答案.【详解】对A，若，分别是平面，的法向量，则，故A正确B错误；对C，若是平面的法向量，则与平面的任意直线的方向向量均垂直，所以，故C正确；对D，若两个平面垂直时，它们的法向量垂直是真命题，所以它的逆否命题“若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直”也是真命题，故D正确.故选：ACD.41．（答案不唯一）【解析】【分析】设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.【详解】设法向量为，则有，令得：，所以故答案为：42．垂直或【解析】【分析】由题意可得与共线，从而可得答案【详解】因为直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，且，所以与共线，，所以直线l与平面的位置关系为垂直，故答案为：垂直或43．①②③④【解析】【分析】根据直线的方向向量与平面向量的法向量的定义判断即可；【详解】解：因为､分别为不重合的两直线､的方向向量，､分别为不重合的两平面､的法向量；直线，的方向向量平行（垂直）等价于直线､平行（垂直），故①、②正确；平面，的法向量平行（垂直）等价于平面，平行（垂直）、故③、④正确；故答案为：①②③④44．【解析】【分析】利用空间直角坐标系可知，平面A′C′D内的P满足，PM=PD的P满足，则可得，P是△A′C′D内（包括边界），则，点P的轨迹线段．【详解】如图建立空间直角坐标系，则设平面的法向量则有，令，则则设，则∵，则又∵PM=PD，则整理得：联立方程，则可得，可得当时，，当时，在空间中，满足PM=PD的P为过MD的中点且与MD垂直的平面两个平面的公共部分为直线，即点P的轨迹为平面A′C′D，则故答案为：．45．6【解析】【分析】根据空间向量垂直的条件即可求得的值.【详解】解：由题意可得：，向量的坐标表示为，若与垂直，，解得.故答案为：646．

【解析】【分析】先求出正四面体中各边的长度，得到各个点的坐标.对于（1）（2）：直接求出方向向量；对于（3）：根据法向量的定义列方程组，即可求得；对于（4）：利用重心坐标公式直接求得.【详解】由题意可得：,,..由图示，可得：，，，，，，（1）直线BC的一个方向向量为，（2）点OD的一个方向向量为；（3）,.设为平面BHD的一个法向量，则，不妨设，则.故平面BHD的一