高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)6.3.1二项式定理-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第三册)(原卷版+解析)

6.3.1二项式定理备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：求二项展开式;二项展开式的应用;求二项展开式第K项;多项式的展开式;根据二项式第K项求值课堂知识小结考点巩固提升知识归纳二项式定理特征：=1\*GB3①右边的多项式叫做的二项展开式=2\*GB3②各项的系数叫做二项式系数=3\*GB3③叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第项即=4\*GB3④二项展开式特点：共项；按字母的降幂排列，次数从到递减；二项式系数中从到递增，与的次数相同；每项的次数都是考点讲解考点讲解考点1：求二项展开式例1．求的展开式．【方法技巧】根据展开式通项直接写出结果即可.【变式训练】1．下列不属于的展开式的项的是（

）A． B． C． D．2．化简（

）A． B． C． D．3．若，则A．60 B．70 C．80 D．904．若的二项展开式共有8项，则n=___________.考点2：二项展开式的应用例2．设，，则A－B的值为（

）A．128

B．129

C．47

D．0【方法技巧】根据二项式定理进行求解即可.【变式训练】1．在的展开式中，的系数是（

）A．35 B． C．560 D．2．（）A．3n B．2·3nC．－1 D．3．若，则的值是（

）A． B． C． D．4．化简等于（

）A． B． C． D．考点3：求二项展开式第K项例3．若的展开式共有项，则___________；展开式中的常数项是___________.【方法技巧】根据给定条件，利用二项式定理直接求出n值，再利用展开式的通项公式求解常数项作答.【变式训练】1．展开式中的第三项为（

）．A． B． C． D．2．已知命题的展开式中的常数项为7，命题：若函数是奇函数，则，下列命题中为真命题的是（

）A． B．C． D．3．二项式的常数项为__（用具体数值表示）．4．若展开式中含有常数项，则的最小值是______．考点4：多项式的展开式例4．化简多项式的结果是（

）A． B． C． D．【方法技巧】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解.【变式训练】1．化简（

）A． B． C． D．2．在的展开式中，的系数为（

）A． B．21 C． D．153．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________．4．用二项式定理展开下列各式：(1)；(2)．考点5：根据二项式第K项求值例5．展开式中的常数项为20，则______.【方法技巧】利用二项展开式的通项公式，求其常数项，解方程求即可.【变式训练】1．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（

）A．14 B．16 C．18 D．202．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则：（1）n的值为________；（2）含x的整数次幂的项有________个．知识小结知识小结二项式定理特征：=1\*GB3①右边的多项式叫做的二项展开式=2\*GB3②各项的系数叫做二项式系数=3\*GB3③叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第项即=4\*GB3④二项展开式特点：共项；按字母的降幂排列，次数从到递减；二项式系数中从到递增，与的次数相同；每项的次数都是巩固提升巩固提升一、单选题1．的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．2．若的展开式有9项，则自然数的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．103．已知，则（

）A． B．0 C．1 D．324．若的展开式共有12项，则（

）A．11 B．12 C．13 D．145．的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．6．若的展开式中存在常数项，则可能的取值为（

）A． B． C． D．7．在的展开式中，含的项的系数为（

）A．-120 B．-40 C．-30 D．2008．的展开式中的系数是（

）A．45 B．84 C．120 D．210二、多选题9．在二项式的展开式中，有（）A．含x的项 B．含的项C．含x4的项 D．含的项10．对于二项式，以下判断正确的有（

）A．存在，展开式中有常数项B．对任意，展开式中没有常数项C．对任意，展开式中没有x的一次项D．存在，展开式中有x的一次项三、填空题11．在展开式中，含的项的系数是__________．12．若，则___________.13．设，且，若能被13整除，则a=___________.14．若将函数表示成，则a3的值等于__四、解答题15．写出的展开式.16．在的二项展开式中，各项系数和与各项二项式系数和之比为32:1.求：(1)的值；(2)展开式中的系数.6.3.1二项式定理备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：求二项展开式;二项展开式的应用;求二项展开式第K项;多项式的展开式;根据二项式第K项求值课堂知识小结考点巩固提升知识归纳二项式定理特征：=1\*GB3①右边的多项式叫做的二项展开式=2\*GB3②各项的系数叫做二项式系数=3\*GB3③叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第项即=4\*GB3④二项展开式特点：共项；按字母的降幂排列，次数从到递减；二项式系数中从到递增，与的次数相同；每项的次数都是考点讲解考点讲解考点1：求二项展开式例1．求的展开式．【答案】【详解】展开式的通项为，展开式为.【方法技巧】根据展开式通项直接写出结果即可.【变式训练】1．下列不属于的展开式的项的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照二项式定理直接展开判断即可.【详解】由二项式定理可知，，故不是展开式的项.故选：B2．化简（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逆用二项式定理化简.【详解】．故选：B3．若，则A．60 B．70 C．80 D．90【答案】B【分析】利用二项展开式化简，即可得到结果.【详解】∴故选：B．4．若的二项展开式共有8项，则n=___________.【答案】【分析】根据二项式的性质计算可得；【详解】解：二项式展开式中一共有项，所以，解得；故答案为：考点2：二项展开式的应用例2．设，，则A－B的值为（

）A．128

B．129

C．47

D．0【答案】A【详解】，故选：A【方法技巧】根据二项式定理进行求解即可.【变式训练】1．在的展开式中，的系数是（

）A．35 B． C．560 D．【答案】C【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，所以的展开式中的系数为−24⋅C故选：C2．（）A．3n B．2·3nC．－1 D．【答案】D【分析】根据条件结合的展开式即得.【详解】.故选：D.3．若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用赋值法可求解.【详解】令，得，令，得，则.故选：A4．化简等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二项式定理写出对应的二项式，即可得答案.【详解】由，所以.故选：B考点3：求二项展开式第K项例3．若的展开式共有项，则___________；展开式中的常数项是___________.【答案】

6

60【详解】因的展开式共有项，则，解得，的展开式通项为：，由得：，所以的展开式是.故答案为：6；60【方法技巧】根据给定条件，利用二项式定理直接求出n值，再利用展开式的通项公式求解常数项作答.【变式训练】1．展开式中的第三项为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据展开式通项公式写出第三项即可.【详解】由题设，展开式通项为，第三项有，则.故选：D2．已知命题的展开式中的常数项为7，命题：若函数是奇函数，则，下列命题中为真命题的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判断的真假，再利用复合命题的真值表判断即可【详解】的展开式中的常数项为，故命题为真命题，进而为假命题；若函数为奇函数，则，则，即，故命题为假命题，为真命题．所以为假命题，为真命题，为假命题，为假命题，故选：B．3．二项式的常数项为__（用具体数值表示）．【答案】【分析】写出二项式展开式的通项公式并化简整理，令即可得到常数项，计算即得答案.【详解】二项式展开式的通项公式为：，令，则，∴常数项为.故答案为：．4．若展开式中含有常数项，则的最小值是______．【答案】4【分析】写出通项公式，由常数项指数为0得出n与k的关系式，即可进一步得出的最小值【详解】由二项式展开项通项公式可得，要含有常数项且最小，则，即，∵，则当时，取得最小值，为4.故答案为：4考点4：多项式的展开式例4．化简多项式的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故该多项式为的展开式，化简．故选：D.【方法技巧】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解.【变式训练】1．化简（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】将代数式进行变形，结合二项式定理可得结果.【详解】.故选：B.2．在的展开式中，的系数为（

）A． B．21 C． D．15【答案】A【分析】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，从而得到答案.【详解】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，所以展开式含的项的系数为：.故选：A.3．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________．【答案】x5－1【分析】逆用二项式定理即可计算.【详解】原式＝(x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)＋－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．故答案为：x5－1.4．用二项式定理展开下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）直接利用二项式定理求解；（2）先化简原式为，再利用二项式定理求解.(1)解：．(2)解：．考点5：根据二项式第K项求值例5．展开式中的常数项为20，则______.【答案】##【详解】展开式的通项为，令，解得，则展开式的常数项为，解得.故答案为：.【方法技巧】利用二项展开式的通项公式，求其常数项，解方程求即可.【变式训练】1．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】写出二项式展开式的通项，令时的指数位置等于即可求解.【详解】展开式的通项为，令可得为常数项，可得，可得，故选：C.2．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则：（1）n的值为________；（2）含x的整数次幂的项有________个．【答案】

10

6【分析】（1）写出二项展开式的通项，根据第9项为常数项求出n的值；（2）要使2nk，即为整数，得出k的取值.【详解】二项展开式的通项Tk+1==．（1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n－k=0，解得n=10．（2）要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．故答案为：10；6.知识小结知识小结二项式定理特征：=1\*GB3①右边的多项式叫做的二项展开式=2\*GB3②各项的系数叫做二项式系数=3\*GB3③叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第项即=4\*GB3④二项展开式特点：共项；按字母的降幂排列，次数从到递减；二项式系数中从到递增，与的次数相同；每项的次数都是巩固提升巩固提升一、单选题1．的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】使用二项展开式的通项进行计算即可.【详解】的展开式的通项是，（）由题意，，因此，的系数是.故选：B.2．若的展开式有9项，则自然数的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据二项式展开式的项数即可得解.【详解】解：因为的展开式共有项，所以，所以，故选：B．3．已知，则（

）A． B．0 C．1 D．32【答案】A【分析】令可得．【详解】令，则.故选：A.4．若的展开式共有12项，则（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】A【分析】根据二项式定理可知，求出答案.【详解】由二项式定理知展开式共有项，所以，即．故选：A．5．的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二项式定理将展开，然后得出，即可求出的系数.【详解】由二项式定理：观察可知的系数为.故选：B.6．若的展开式中存在常数项，则可能的取值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用通项公式，令的指数为0，可得与的关系，即可求解【详解】展开式的第项令则（）所以为偶数故选：A7．在的展开式中，含的项的系数为（

）A．-120 B．-40 C．-30 D．200【答案】C【分析】将整理为，根据二项展开式分析可得，对每种情况再根据二项展开式理解运算.【详解】，其展开式为：根据题意可得：当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为综上所述：含的项的系数为故选：C．8．的展开式中的系数是（

）A．45 B．84 C．120 D．210【答案】C【分析】利用二项展开式的通项公式，组合数的性质，求得含项的系数．【详解】解：的展开式中，含项的系数为，故选：C．二、多选题9．在二项式的展开式中，有（）A．含x的项 B．含的项C．含x4的项 D．含的项【答案】ABC【分析】利用二项展开式的通项，结合所给的选项即可得出答案．【详解】二项式的展开式的通项为，当时，，知A正确；当时，，知B正确；当时，，知C正确；当时，，知D错误．故选：ABC．10．对于二项式，以下判断正确的有（

）A．存在，展开式中有常数项B．对任意，展开式中没有常数项C．对任意，展开式中没有x的一次项D．存在，展开式中有x的一次项【答案】AD【分析】利用展开式的通项公式依次对