高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)重难点专题：常见的排列组合问题解题策略-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第三册)(原卷版+解析)

重难点专题：常见的排列组合问题解题策略考点1：排列的意义理解例1．将4封信投入3个信箱中，共有_______种不同的投法；【方法技巧】重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【变式训练】】1．仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（

）种.A． B． C． D．2．核糖核酸()分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有种不同的碱基，分别用、、、表示.在一个分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类分子由个碱基组成，那么能有多少种不同的分子？3．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有多少种？考点2：相邻问题捆绑法例2．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为______．【方法技巧】题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.使用捆绑法，然后进行排列，简单计算可得结果.【变式训练】1．3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（

）A．48种 B．36种 C．20种 D．24种2．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的排列方法有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种3．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（

）A．72种 B．60种 C．48种 D．36种考点3：相离问题插空法例3．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（

）.A． B．C． D．【方法技巧】元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端【变式训练】1．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和2个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法有多少种？（

）A．24 B．12 C．6 D．22．五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（

）A．30 B．54 C．63 D．723．有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（

）A．120种 B．32种 C．24种 D．16种考点4：元素分析法（位置分析法）例4．6人排成一排照相，其中甲、乙两人必须排在中间两个位置，有_________种不同的排法．【方法技巧】、某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。【变式训练】1．将甲、乙、丙、丁四名大学生分到三个不同单位实习，每个单位至少分到一名实习生，则甲、乙两名大学生不被分到同一个单位实习的概率为（

）A． B． C． D．2．五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的站法种数为______.3．成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶．把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前的不同音序的种数为___________．（用数字作答）考点5：多排问题单排法例5.6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种【方法技巧】把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。【变式训练】1.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？考点6：定序问题缩倍法（等几率法）例6.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数【方法技巧】在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【变式训练】1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？【解析】：法一：法二：2，将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？考点7：标号排位问题（不配对问题）例7将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种【方法技巧】把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【变式训练】1：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有()（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种2．编号为A，B，C，D，E的5个小球放在如图所示的5个盒子里，要求每个盒子只能放1个小球，且A球不能放在1，2号盒子里，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？考点7：不同元素的分配问题（先分堆再分配）：例7．某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.【方法技巧】注意平均分堆的算法【变式训练】1．甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有__种2．已知有6本不同的书.(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？.考点8：相同元素的分配问题隔板法例8.把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？【方法技巧】相同元素的分配问题隔板法【变式训练】1，10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？2.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？考点9：走楼梯问题例9．某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法数为（）A．5 B．10 C．15 D．21【方法技巧】（分类法与插空法相结合）注意把实际问题转化为组合问题，本题属于基础题.【变式训练】1小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？

。考点10：排数问题例10．由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________【方法技巧】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案.【变式训练】1．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（

）.A．9个 B．24个 C．36个 D．54个2．用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（

）A．36 B．48 C．60 D．723．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（

）A．288 B．336 C．368 D．412考点11：染色问题例11．如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种.【方法技巧】涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。【变式训练】1．用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种2．用种不同颜色给正三角形的个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条边的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（

）种A． B． C． D．3．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.考点12：几何中的排列组合问题:例12．设为正六边形的中心，在O，A，B，C，D，E，F中任取三点，则取到的三点构成等边三角形的概率为（

）A． B． C． D．【方法技巧】首先求出基本事件总数，再列出使三点为等边三角形的情况，最后利用古典概型的概率公式计算可得；【变式训练】1．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（

）A． B． C． D．2．一空间有10个点，其中5个点在同一平面上，其余没有4点共面，则10个点可以确定不同平面的个数是______．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2015·山东·高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（

）A．10 B．20 C．60 D．1002．（2015·山东·高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种4．（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（

）A． B． C． D．5．（2020·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（

）A． B． C． D．6．（2020·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（

）A．12 B．120 C．1440 D．172807．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（

）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种8．（2021·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.89．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（

）A．2种 B．3种 C．6种 D．8种10．（2020·海南·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（

）A．120种 B．90种C．60种 D．30种11．（2020·全国·高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（

）A．5 B．8 C．10 D．1512．（2019·全国·高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A． B． C． D．13．（2019·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A． B． C． D．14．（2012·浙江·高考真题（理））若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种 B．63种 C．65种 D．66种15．（2012·全国·高考真题（理））将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有A．12种 B．18种 C．24种 D．36种16．（2014·全国·高考真题（理））4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A． B． C． D．17．（2012·安徽·高考真题（理））6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为A．或 B．或 C．或 D．或二、填空题18．（2022·全国·高考真题（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．19．（2022·全国·高考真题（理））从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．20．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.重难点专题：常见的排列组合问题解题策略考点1：排列的意义理解例1．将4封信投入3个信箱中，共有_______种不同的投法；【详解】解析：（1）第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法；同理，第2，3，4封信各有3种投法．根据乘法原理，共有种投法．【方法技巧】重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【变式训练】】1．仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（

）种.A． B． C． D．【答案】C【分析】每个冠军都有3种可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况．【详解】解：由题意，每项比赛的冠军都有3种可能，因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有种可能故选：C．2．核糖核酸()分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有种不同的碱基，分别用、、、表示.在一个分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类分子由个碱基组成，那么能有多少种不同的分子？【答案】有种不同的分子.【分析】分100步完成，完成每步都是种，再利用分步计数原理计算可得结果.【详解】个碱基组成的长链共有个位置，从左到右依次在每一个位置中，从、、、中任选一个填入，每个位置有种填充方法，根据分步乘法计数原理，长度为的所有可能的不同分子数目有个.3．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有多少种？【答案】64【分析】完成这个工作是每一个学科必须有一个冠军，可以是相同的人得不同的冠军，所以对冠军有限制对学生没有限制，每一个冠军有4种选择，由分步乘法计数原理可求.【详解】举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步.第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况；由分步乘法计数原理知，共有种不同的冠军获得情况.【点睛】易错点睛：研究完成的这件事是什么？是冠军选人而不是人选冠军，所以要把每一个冠军都选上人即可.考点2：相邻问题捆绑法例2．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为______．【答案】2880【分析】由捆绑法求解即可【详解】先把4名女生捆绑在一起，看成一个整体，有种，再把这个整体与另外4名男生进行排列，有种，故不同的排法种数有种，故答案为：【方法技巧】题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.使用捆绑法，然后进行排列，简单计算可得结果.【变式训练】1．3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（

）A．48种 B．36种 C．20种 D．24种【答案】B【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解.【详解】3名学生相邻,故将3名学生捆绑看成一个整体再与两名老师进行全排列,则共有排法，故选:B.2．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的排列方法有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】B【分析】利用插空法，需注意个及个不加区分；【详解】解：将个看成一个整体，插入到个所形成的个空中的个，故有种插法，从而有种排列的方法；故选：B3．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（

）A．72种 B．60种 C．48种 D．36种【答案】C【分析】利用捆绑法，将甲乙捆绑在一起.再由分步计数原理即可计算出结果.【详解】甲、乙相邻共有种.将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有种.则共有种.故选：C.考点3：相离问题插空法例3．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意，利用插空法，可得答案.【详解】先排4个商业广告，则，即存在5个空，再排2个公益广告，则，故总排法：，故选：A.【方法技巧】元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端【变式训练】1．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和2个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法有多少种？（

）A．24 B．12 C．6 D．2【答案】B【分析】先排2个雪容融，利用插空法排列3个冰墩墩即可.【详解】解：先对2个雪容融排列，将3个冰墩墩插空放在3个空位上排列，由分步乘法计数原理，排列方法有.故选：B2．五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（

）A．30 B．54 C．63 D．72【答案】D【分析】按照插空法列式，求解.【详解】按照插空法，甲乙不相邻的排法种数有.故选：D3．有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（

）A．120种 B．32种 C．24种 D．16种【答案】D【分析】红色在中间，先考虑红色左边的情况，再考虑右边，进而求出答案.【详解】红色左边放一盆白色，一盆黄色，右边放一盆白色，一盆黄色，先选左边，白色二选一，黄色二选一，再进行排列，故有种选法，再考虑后边，剩余的白色和黄色进行排列即可，有种选法，综上：一共有摆放方法=16种.故选：D考点4：元素分析法（位置分析法）例4．6人排成一排照相，其中甲、乙两人必须排在中间两个位置，有_________种不同的排法．【答案】48【分析】先将甲、乙两人排在中间的两个位置，再将剩下的4人排在剩余的4个位置即可.【详解】先将甲、乙两人排在中间的两个位置，有种排法，然后剩下的4人排在剩余的4个位置，有，所以由分步乘法原理可知共有种不同的排法，故答案为：48【方法技巧】、某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。【变式训练】1．将甲、乙、丙、丁四名大学生分到三个不同单位实习，每个单位至少分到一名实习生，则甲、乙两名大学生不被分到同一个单位实习的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出甲、乙、丙、丁四名大学生分到三个不同单位实习，每个单位至少分到一名实习生共有的选择数，再求出甲、乙两名大学生被分到同一个单位实习的选择数，再利用古典概型求概率公式及对立事件求概率公式进行求解即可.【详解】甲、乙、丙、丁四名大学生分到三个不同单位实习，每个单位至少分到一名实习生，则必有2人分配到同一个单位，先从4人中选出2人，有种选择，再进行全排列，有种选择，故总的方法有种，其中甲、乙两名大学生被分到同一个单位实习的情况：从3个单位中选出一个分配给甲乙，再将剩余的丙丁和剩余的两个单位进行全排列，有种选择，所以甲、乙两名大学生被分到同一个单位实习的概率为，故甲、乙两名大学生不被分到同一个单位实习的概率为故选：A2．五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的站法种数为______.【答案】【分析】根据特殊元素优先原则，结合捆绑法可得解.【详解】由李四、王五相邻，将两人视为一个整体，可看作共四位同学，又张三站在最右边，只有种情况，所以不同站法种数为种，故答案为：.3．成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶．把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前的不同音序的种数为___________．（用数字作答）【答案】24【分析】把“徵”“羽”看成一个元素，排在“宫”的前面，再排“商”“角”，最后计算“徵”“羽”交换顺序排列即可.【详解】解：把“徵”“羽”看成一个元素，在排好顺序的4个位置中选两个，按“宫”在后，“徵”“羽”在前的顺序，有种排法，另两个位置排“商”“角”，有种排法，“徵”“羽”又可交换顺序排列，有种排法，故所求音序种数为.故答案为：24.考点5：多排问题单排法例5.6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.【方法技巧】把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。【变式训练】1.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.考点6：定序问题缩倍法（等几率法）例6.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数【解析】：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种【方法技巧】在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【变式训练】1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？【解析】：法一：法二：2，将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？【解析】：法一：法二：考点7：标号排位问题（不配对问题）例7将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.【方法技巧】把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【变式训练】1：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有()（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理，一共有种分配方式。故选（B）2．编号为A，B，C，D，E的5个小球放在如图所示的5个盒子里，要求每个盒子只能放1个小球，且A球不能放在1，2号盒子里，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？【解析】试题分析：借助题设条件运用排列数组合数公式和分类计数原理求解．试题解析:根据A球所在位置分三类：（1）若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此时有A＝6种不同的放法；（2）若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此时有A＝6种不同的放法；（3）若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E，有A＝6种不同的放法，根据分步计数原理得，此时有AA＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．考点：分类计数原理和排列数组合数公式的综合运用．考点7：不同元素的分配问题（先分堆再分配）：例7．某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.【答案】240【分析】根据平均分组原则和分步计数原理即可解答.【详解】先将5名学生分成4组共有种，再将4组学生安排到4所不同的学校有种，根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有种.故答案为：240【方法技巧】注意平均分堆的算法【变式训练】1．甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有__种【答案】30【分析】将甲乙丙丁四人分成三组，有两种方案，一是丙丁一组甲乙各一组，二是甲或乙和丙丁其中一个组成一组，其他各一组，然后进行分配即可解出．【详解】将甲乙丙丁四人分成三组且甲乙两人不能分在同一组的分法有：，所以不同分法的种数有5＝30，故答案为：30．2．已知有6本不同的书.(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？【答案】(1)15(2)60【分析】直接利用排列组合中的“平均分组”与“不平均分组”的计算方法计算即可.（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为.考点8：相同元素的分配问题隔板法例8.把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种。【方法技巧】相同元素的分配问题隔板法【变式训练】1，10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.2.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？【解析】：1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有、、种方法。3、由分步计数原理可得=720种考点9：走楼梯问题例9．某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法数为（）A．5 B．10 C．15 D．21【答案】D【分析】利用组合数可求最短路程不同的走法数.【详解】从到共需走7步，其中横步（向右）有2步，竖直向上的有5步，故最短路程的不同走法数为．故选：D.【方法技巧】（分类法与插空法相结合）注意把实际问题转化为组合问题，本题属于基础题.【变式训练】1小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？

【解析】

：插空法解题：考虑走3级台阶的次数：1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有种（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有种走法。4）有3次（不可能）5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种走法；6）有5次（不可能）故总共有：1+6+15+15=37种。考点10：排数问题例10．由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________【答案】48【详解】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有种选法，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有种选法，由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是.故答案为：48.【方法技巧】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案.【变式训练】1．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（

）.A．9个 B．24个 C．36个 D．54个【答案】D【分析】先选后排，计算出结果.【详解】先从3个偶数中选出1个，再从3个奇数中选出2个，先选后排，共有（个）.故选：D2．用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（

）A．36 B．48 C．60 D．72【答案】C【分析】当个位数为0时，从其他4个数选3个进行排列，当个位数为2或4时，从剩下的非零的3个数中选一个排在千位，再从剩下的3个数中选2个排在十位和百位，最后用分类计数原理求解.【详解】当个位数为0时，有个，当个位数为2或4时，有个，所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，故选：C.3．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（

）A．288 B．336 C．368 D．412【答案】B【分析】由已知，可根据题意，分成当四位数不出现1时、当四位数出现一个1时、当四位数出现两个1时三种情况，分别列式求解即可.【详解】当四位数不出现1时，排法有：种；当四位数出现一个1时，排法有：种；当四位数出现两个1时，排法有：种；所以不同的四位数的个数共有：．故选：B．考点11：染色问题例11．如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种.【答案】72【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案【详解】如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案（种），②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案（种），则不同的种植方案共有（种）.故答案为：72【方法技巧】涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。【变式训练】1．用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.【详解】对于①②③，两两相邻，依次用不同颜色涂，共有种涂色方法，对于④，与②③相邻，但与①相隔，此时可用剩下的一种颜色或者与①同色，共2种涂色方法，则由分步乘法计数原理得种不同的涂色方法.故选:C2．用种不同颜色给正三角形的个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条边的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（

）种A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意，三个顶点要涂三个不同的颜色，则不同的涂色方法共有种【详解】依题意，三个顶点要涂三个不同的颜色，则不同的涂色方法共有种故选：A3．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.【答案】66【分析】运用分类计数原理、分步计算原理，结合组合定义进行求解即可.【详解】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有种选法，因此不同的涂色方法有种，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有种方法选法，因此不同的涂色方法有种，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有种方法选法，因此不同的涂色方法有种，当选择四种颜色时，不同的涂色方法有种，所以共有种不不同的涂色方法，故答案为：66考点12：几何中的排列组合问题:例12．设为正六边形的中心，在O，A，B，C，D，E，F中任取三点，则取到的三点构成等边三角形的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：从O，A，B，C，D，E，F中任取三点有种取法；要使三点组成的三角形为等边三角形，若取点则有种情况（、、、、、）；若不取点则有种情况（、）；故取到的三点构成等边三角形的概率故选：C【方法技巧】首先求出基本事件总数，再列出使三点为等边三角形的情况，最后利用古典概型的概率公式计算可得；【变式训练】1．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，去掉四点共面的情况即可求解.【详解】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，正方体表面四点共面不能构成四面体有种，正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，所以可得到的四面体的个数为种，故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键.2．一空间有10个点，其中5个点在同一平面上，其余没有4点共面，则10个点可以确定不同平面的个数是______．【答案】111【分析】先求所有可能构成的平面个数，然后考虑共面的5个点确定的平面数，即可求解.【详解】不共线的三点可以确定一个平面，所以10个点最多可以确定个平面，而那5个共面的点，则可以确定个平面，而没有其他4点共面的，所以减少了个平面，所以一共可以确定的平面数为111.故答案为：111巩固提升巩固提升一、单选题1．（2015·山东·高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（

）A．10 B．20 C．60 D．100【答案】A【分析】根据组合的定义计算即可.【详解】从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了）故选：A2．（2015·山东·高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为．故选：D3．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B4．（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：，共7种，故所求概率.故选：D.5．（2020·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.故选：B6．（2020·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（

）A．12 B．120 C．1440 D．17280【答案】C【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.所以共有种不同安排方法.故选：C7．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（

）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.8．（2021·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，故2个0不相邻的概率为，故选：C.9．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（

）A．2种 B．3种 C．6种 D．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法所以，不同的安排方法共有种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.10．（2020·海南·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（

）A．120种 B．90种C．60种 D．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.11．（2020·全国·高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（

）A．5 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足从开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：．∴；；；；．原位小三和弦满足：．∴；；；；．故个数之和为10．故选：C．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．12．（2019·全国·高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A． B． C． D．【答案】D【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．13．（2019·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用