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文档简介

专题1.1空间向量及其线性运算1.空间向量的概念(1)定义:在空间,具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)长度或模:向量的大小.(3)表示方法:①几何表示法:空间向量用有向线段表示;②字母表示法:用字母a,b,c,…表示;若向量a的起点是A,终点是B,也可记作eq\o(AB,\s\up6(→)),其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量,记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-a共线向量(平行向量)假如表示若干空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:对于随意向量a,都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2.空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a+b=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))减法a-b=eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时,λa=λeq\o(OA,\s\up6(→))=eq\o(PQ,\s\up6(→));当λ<0时,λa=λeq\o(OA,\s\up6(→))=eq\o(MN,\s\up6(→));当λ=0时,λa=0运算律交换律:a+b=b+a;结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a;支配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.3.共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间随意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a,我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.4.共面对量(1)共面对量如图,假如表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合,那么称向量a平行于直线l.假如直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做共面对量.(2)向量共面的充要条件假如两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.【题型1空间向量概念的理解】【方法点拨】在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一样,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等,方向相反.【例1】下列命题中正确的是()A.若a→∥b→,b→∥B.向量a→、b→、cC.空间随意两个向量共面 D.若a→∥b→【变式1-1】下列命题正确的是()A.若a→与b→共线,b→与c→共线,则aB.向量a→,C.零向量没有确定的方向 D.若a→∥b→【变式1-2】下列关于空间向量的说法中正确的是()A.若向量a→,b→B.若|a→|=|bC.若向量AB→,CD→满足D.相等向量其方向必相同【变式1-3】给出下列命题:①若空间向量a②空间随意两个单位向量必相等③若空间向量a④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,必有BD⑤向量a→=(1,1,0)的模为其中假命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【题型2空间向量的加减运算】【方法点拨】①巧用相反向量:向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵敏运用相反向量可使向量首尾相接.②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必留意和向量、差向量的方向,必要时可接受空间向量的自由平移获得运算结果.【例2】如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB→A.AC1→ B.A1C→【变式2-1】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BC→A.BD→ B.DB→ C.AD→【变式2-2】如图,在空间四边形P﹣ABC中,PA→A.PC→ B.PA→ C.AB→【变式2-3】如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB→A.AC→ B.A1C→ C.【题型3空间向量的线性运算】【方法点拨】①数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.②明确目标:在化简过程中要有目标意识,奇异利用线段的中点进行解题.【例3】在四棱锥A﹣BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则()A.MN→=12C.MN→=-【变式3-1】如图,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC延长线上一点,BC→=3CEA.AB→+13C.AB→+1【变式3-2】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E,F分别是BC,CC1的中点,AG→=2GEA.13AB→-C.-23AB【变式3-3】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,CM→=MDA.AM→=12C.AQ→=1【题型4空间向量的线性运算(求参数)】【例4】已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且NM→=xAB→+yAD→+zAP→,PM→=2MCA.-23 B.23 C.【变式4-1】如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别在棱BB1和DD1上,且BE=13BB1,DF=12DDA.﹣1 B.0 C.13 D.【变式4-2】如图的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M在BB1上,点N在DD1上,且BM=12BB1,D1N=13D1D,若MN→=xA.17 B.16 C.23【变式4-3】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,M是面BB1C1C的中心,若AM→=aAB→+b①a+b+c=2;②13<b③a=1;④a=2c;⑤a=b.其中正确结论的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【题型5向量共线的判定及应用】【方法点拨】①推断或证明两向量,(≠)共线,就是找寻实数λ,使=λ成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.②推断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:是否存在实数λ,使eq\o(PA,\s\up6(→))=λeq\o(PB,\s\up6(→));【例5】已知非零向量a→=3m→-2n→-4p→,b→A.﹣13 B.﹣5 C.8 D.13【变式5-1】在四面体O﹣ABC中,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,若OG→=13OA→+x4A.1 B.2 C.23 D.【变式5-2】已知空间的一组基底{a→,b→,c→}A.2 B.﹣2 C.1 D.0【变式5-3】如图所示,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,A1E→=23A1D【题型6向量共面的判定及应用】【方法点拨】①若已知点P在平面ABC内,则有eq\o(AP,\s\up6(→))=xeq\o(AB,\s\up6(→))+yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))+zeq\o(OC,\s\up6(→))(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.②证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面对量定理,证明过程中要灵敏进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示.【例6】已知M,A,B,C为空间中四点,随意三点不共线,且OM→=-2OA→+xOB→+yOC→,若M,A,A.0 B.1 C.2 D.3【变式6-1】下列条件中,确定使空间四点P、A、B、C

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