高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (38)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（38）

一、单项选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1.如图，在长方体ABCD-&BiCiA中，E是4公的中点，点F是

A。上一点，AB=44i=2,BC=3,AF=1.动点尸在上底面

4&GD1上，且满足三棱锥P—BEF的体积等于1,则线段GP的

最大值为（）

A.V5

B.V6

C.2V2

D.2

2.己知a,夕为不重合的两个平面，直线mua,那么_L是"a_L的（）

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.在边长为2的菱形A8CQ中，BD=273,将菱形ABCQ沿对角线AC折起，使得平面ABC1平

面ACD,则所得三棱锥4-8C。的外接球表面积为（）

A87r口147r.20元—327r

T~C亏~

4.正四棱台ZBCD-AiBCCi中，侧棱44i与底面ABC。所成角为a,侧面44山1。与底面ABC。

所成二面角为0,侧棱力4与底面ABCD的对角线8。所成角为y,平面CGA。与平面力为。道所

成二面角为。，则a,0,Y，。之间的大小关系是（）.

A.a<P<6<yB.a<y<^<9C.a<^<y<0D.（i<a<y<6

5.如图，矩形ABC。中，AB=1,BC=2,点E为A。中点，将△ABE沿BE折起，在翻折过程

中，记二面角A-DC-B的平面角大小为a,则当a最大时，tana=

A

A

A.在B.立C.；D.J

2332

二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）

6.如图，正方体ABCD-&B1C1D1中，P为线段上的动点（不含端

点），则下列结论正确的是

A.直线DiP与AC所成的角可能是看

B.平面Di4P1平面4Ap

C.三棱锥5-CDP的体积为定值

D.平面APDi截正方体所得的截面可能是直角三角形

三、填空题（本大题共9小题，共45.0分）

7.如图，矩形A8C。中，M为BC的中点，将44BM沿直线AM翻折至ABiM,连结8道，N为名。的

中点.则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是.

①存在某个位置，使得CNLABi；

②翻折过程中，CN的长是定值;

③若4B=BM,则AMI&D；

④若4B=BM=1,当三棱锥Bi-AMD的体积最大时,

三棱锥Bi-力MC的外接球的表面积是47T.

8.已知团力BC是边长为4的等边三角形，D,E分别是AB,AC的中点，将团ADE沿OE折起，使

平面ADE1平面BCED,则四棱锥4-BCED外接球的表面积为,若尸为四棱锥4-

BCEC外接球表面上一点，则点P到平面BCED的最大距离为.

9.在三棱锥。-4BC中，己知。C14C,AB1BD,DC=AC,AB=BD,若三棱锥。-ABC的外

接球的表面积为25兀，则三棱锥D-4BC体积的最大值为.

10.四面体A8CZ）中，AB1BC,CD1BC,BC=2,且异面直线4B和C£＞所成的角为60。，若四

面体ABCD的外接球半径为石，则四面体ABCD的体积的最大值为一.

11.如图,正方体4BC0-的棱长为动点P在对角线8久上，

过点尸作垂直于BC1的平面y,记这样得到的截面多边形（含三角形）

的周长为y,设BP=x,则当尤e［日见誓a］时，函数y=/（无）的值

域为.

12.已知回4BC是边长为4的等边三角形，D,£分别是AB,AC的中点，将回AOE沿OE折起，使

平面4DEJL平面BCEO,则四棱锥4-BCED外接球的表面积为,若P为四棱锥4一

BCED外接球表面上一点，则点尸到平面BCED的最大距离为.

13.仇章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵,

将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方

形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖席（四个面均为直

角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵ABC-ABiG中，BB、=

BC=2y/3,AB=2,AC=4,且有鳖席Q-ABBI和鳖膈Q-ABC,

现将鳖HG-ABC沿线BC1翻折，使点C与点Bi重合，则鳖蠕ABC经翻折后，与鳖腌的一

ABB1拼接成的几何体的外接球的表面积是.

14..如图已知菱形A8CD边长为3,NB4。=60°,点E为对角线

AC上一点，AC=64E.将团4BC沿80翻折到UM'BO的位置，E

记为E',且二面角4一80-。的大小为120。，则三棱锥ABC。的

外接球的半径为;过E'作平面a与该外接球相交，所得截

面面积的最小值为.

15.如图已知菱形A8C。边长为3/BAD=60。，点E为对角线AC上一点，

4c=6AE.将44BD沿3。翻折到zM'BD的位置，E记为E',且二面角4一

BD-。的大小为120。，则三棱锥4BCD的外接球的半径为；过

E'作平面a与该外接球相交，所得截面面积的最小值为.

四、解答题(本大题共15小题，共180.0分)

16.如图，在四棱锥P—4BCD中，PC1底面ABC£>,AB=AD=1,AB//CD,ABLAD,点E为

PC的中点，平面ABE交侧棱尸。于点H四边形48EF为平行四边形.

(1)求证：平面PBD1平面PBC-,

(2)若二面角4-PB-C的余弦值为一手，求P。与平面PAB所成角的正弦值.

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CD为平行四边形，AB=2AD,BD=WAD，且PD1底

面ABCD.

(1)证明：平面PBD_L平面PBC；

(2)若。为PC的中点，且存•的=1,求二面角Q-BD-C的大小.

18.如图，已知ADEF与AABC分别是边长为1与2的正三角形，AC//DF,四边形8CDE为直角梯形,

且DE//BC,BC1CD,点G为AABC的重心，N为中点，AGl¥jflBCDE,M为线段A尸上

靠近点尸的三等分点.

(1)求证：GM〃平面QFM

(2)若二面角M-BC-。的余弦值为试求异面直线MN与8所成角的余弦值.

19.如图，四棱锥P—ABCD中，已知J_平面A8CD,ZMBC为等边三角形，P4=2AB=2,AC1CD,

尸。与平面PAC所成角的余弦值为四.

4

(/)证明：BC〃平面PA。；

(〃)点M为PB上一点，且匕^^二宗试判断点M的位置.

20.如图，已知四棱锥P-4BCD,平面P/W1平面A8CD,△PAD是以A。为斜边的等腰直角三角

形，AB//CD,AB1BC,PD=CD=BC=^AB,E为AB的中点

(1)证明：AD1PE；

(2)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.

21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8C。是矩形，侧棱PA，底面ABC。，E,尸分别是4B,PC的

中点，PA=AD=2,CD=V2.

p

(I)求证:EF〃平面PAD；

(II)求二面角F-DE-C的余弦值；

(HI)在棱BC上是否存在一点M,使得DE，平面PAM?若存在，求出器的值；若不存在，请说

DC

明理由.

22.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面4BCO是

乙4DC=60。的菱形，M为PB的中点.

(1)求PA与底面ABCD所成角的大小;

(2)求证：PA1平面CDM：

(3)求二面角D-MC-B的余弦值.

23.如图，直三棱柱ABC—的高为2,AB=2,BC=®C4=述，为侧面力BBi4的中

心，P棱eq上的一个动点.

(1)若P为CQ的中点，求证：平面4。传，平面PA&

(2)求直线P8与平面401C所成角的正弦值的最大值.

24.如图①，在矩形ABCC中，AB=2,AD=2五,M,N分别为A。和8c的中点，对角线

与交于点。.沿直线MN把矩形A8NM折起，使平面ABNM与平面MNCQ成60。角，如图②

所示.

AMD

BNC

①

(1)求证：BO1DO.

(2)连接A。，BD,求直线AO与平面BOO所成的角的正弦值.

25.如图所示，在长方形A8C。中，AB=2,AD=1,E为的中点，以AE为折痕，把△折

起到△D3E的位置，且平面D'AE1平面ABCE.

(1)求证：AD'1BE;

(2)求四棱锥。'-4BCE的体积;

(3)在棱D'E上是否存在一点P,使得D'B〃平面PAC,若存在，求出点尸的位置，若不存在，请

说明理由.

26.如下左图，四边形ABC。为菱形，^BAD=60°,E为AO的中点，连结BE交4c于尸，以BE

为折痕将回ABE折起，使点A到达点P,且平面PBE_L平面BCDE,得到四棱锥P-BCDE,如

下右图.

(1)证明：PF1DE-,

(2)求直线。F与平面PFC所成角的正弦值.

27.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CO是矩形，平面PAB1平面4BCD,E为AP的中点,

4ABP=120°,BA=BP=3BC=3.

(1)证明：平面BCE1平面4CP；

(2)求二面角C一BE—。的余弦值.

28.如图，已知四棱锥P-力BCD的底面ABC。是菱形，Z.ABC=60°,PAABCD,AB=2,

P。与平面A2C£＞所成的角为45。，点M为PC的中点.

(1)求证：平面PAC1平面8DM；

(2)求二面角C-MD-B的正切值.

29.如图，四棱锥P-A8C。的底面ABCC是菱形，PA=BD=痘AB=2炳,且PB=PD

(1)证明：平面%CJ■平面A8CD：

(2)若产人LAC,棱PC上一点M满足求直线8。与平面所成角的正弦.

30.如图，已知四棱锥P-4BCD,BC//AD,CDLAD,PC=AD=2CD=2CB=^2PA=y/2PD,

产为A。的中点.

p

AD

(I)证明：P8_LBC；

(口)求直线CF与平面PBC所成角的正弦值.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查线面平行的性质和棱锥体积的计算，属于难题.

根据题意因为E、F、8为定点，且三棱锥P-BEF的体积为定值，则P到面EF8的距离为定值，又

动点P在上底面为B1C1%上，则P必在与B尸平行的直线上，求出平行线的具体位置，即可求解.

解：因为E、F、B为定点，且三棱锥P—BEF的体积为定值，

所以P到面EFB的距离为定值，

又动点P在上底面4&GD1上，则P必在与B尸平行的直线上，

设该线与力道1交于N,

则三棱锥P-8EF的体积等于三棱锥N-BEF的体积，即N-BEF的体积等于1,VN_BEF=VB_NEF=

]SANEFxAB

二,SANEF=L

则三角形NEF的面积，NEF=|.

设4/=x,

贝内(1+x)x2—1x1x1—%=%+工=a,

2、J22222

所以x=2,

在4山1上取N,使AN=1,在BiG上取Q,M,使GQ=1.QM=2,AB=AA1=2,BC=3,AF=1,

连接MN,DiQ,BQ,FA,如图，

DI

Cl

则BQ//FDlfBF//QD1MN//QD1，所以MN"BF,

当P在线段MN上时，因为SAEFN，，

所以Vp-8EF=VB-NEF=与义5*2=1,

所以满足条件的点P在线段MN上，

由平面几何知识易知：当尸在点N处时，线段GP最大，最大值为V/+22=6,

则线段GP的最大值为6.

故选A.

2.答案：B

解析：

本题考查平面垂直的判定定理、考查各种条件的定义并利用定义如何判定一个命题是另一个命题的

什么条件.利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者；容易判断出后者推不出前者；利用各种

条件的定义得到选项.

解析：

解：••・平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直，

二直线mua,那么"mA.0"成立时，一定有“aJ./?”成立，

反之，直线mua,若“a_L£”不一定有1/'成立，

所以直线mua,那么是“al£”的充分不必要条件，

故选B.

3.答案：C

解析:

本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，属于中档题.

根据题意可知三角形AC。为正三角形，取AC的中点G,连接BG,DG,则BG_L平面ACD,记三

棱锥力-BCD的外接球的球心为。，半径为R,过点0作。OJ/BG,与平面AC。交于点。口贝ij。。1_L

平面AC。，Oi为三角形AC。的内心，过0作0H垂直于BG,设GH=X,根据勾股定理列方程求解

即可.

解：由题意，菱形ABC。中，AB=AD=2,BD=26,

由余弦定理得COSNBAD=242-12=

2X2X22

所以4BAD=120。,4WC=60°,

所以三角形AC。为正三角形，

取AC的中点G,连接BG,DG,

因为平面力BC，平面ACD,

又BG14C,平面ABCn平面4CD=AC,BGu平面ABC,

所以BG1平面ACZ),

记三棱锥4-BC。的外接球的球心为O,半径为R,

过点。作OO//BG,与平面AC。交于点01，贝I］。。］，平面4CZ),01为三角形ACD的内心,

过。作0,垂直于BG,设G〃=x,

由题意知，0^=-x2X—=—,OH=GOj=—.

132313

在RtZkZJO”和RtAOOiD中，

有R2=(5/3—X)2+)==2+£解得％=争

所以/?2=)；也

所以S球=4»、：=等

故选C.

4.答案:C

解析：

本题考查了正四棱台的性质，空间角的定义及度量.三角函数的单调性.考查了空间想象能力、转

化、计算能力，属于中档题.

将正四棱台力的侧棱延长交于点匕在正四棱键找出空间角的平面角,

考虑通过三角函数的值大小关系得出角的大小关系.

解：如图，将正四棱台/BCD—4B1GD1的侧棱延长交于点匕

在正四棱锥P-4BCD,设AB=2,高I/。=九.”为A8中点.

二在RtAVOA中，tana=tan/lM。=工=与

AOv2

在Rt△U。“中，tan(i=tanzKHO=—HO=ft,

0<tana<tan。,[a<0<],

侧棱与底面ABCD的对角线80所成角为y,

BD1AC,VO_L底面ABCD,BDu底面ABCD,

VO1BD,ACW。=0,AC、VOu平面VAC,

ABDVAC,1/4(=平面30二8。1^力，：.丫=今

：.a<pc<Y=~7T.

过点C作CE1UD于E,连接EA,由于△VOA三△口)(7,

EA1VD,NAEC为平面CC1D1。与平面AAiDiD所成二面角。.

22241)

S^VDA=^VDxAE=^xABxVH,gpiV/i+2xAE=^x2x>Jh+1,AE=^,

则ZE?+CE2=2AE2<AC2,NAEC为钝角，

a<p<y<6.

故选C.

5.答案：D

解析:

本题主要考查了二面角的大小，涉及平面的翻折、线面垂直的判定、三角函数的最值，属于较难题.

根据半个长方形是正方形，所以对角线互相垂直，在折起过程中始终有线面垂直，进而作出二面角

的平面角，分三种情况讨论得到a的最大值可能在折起平面与底面垂直或面面垂直之后，利用三角函

数知识分别求出这两种情况下的正切值，比较后作答.

解：如下图所示，取BC的中点F,连结EF,则在原平面图形中4BFE为正方形，所以对角线交于

G且互相垂直，在折起过程中8G始终垂直于AG,GF,即BE1面4G凡所以点A在底面的投影始

终在对角线GF上，记点A的投影为。，过点。作。Q1CD于点Q,连结AQ,则乙1Q。为二面角的

平面角a，

当折起过程中点。在FG的延长线上，AO<AG,但OQ>GH,a不可能最大，

V2

当面BFA_L面8COE时即/G_L面8COE时，a=^AHG,tana=—=

GH13

当折起过程中点。在G尸上，a=Z.AQO,tana=设乙4G。=0,则40=4G•sin?=¥sintp,

GO=AG-cos(p,00=--GO•cos45°=--AG-coscp•—=---cos(p>

y22"222*

sn(p

Atana=—=/：呻=^',当且仅当simp=Wcos(p=工时，tcma取得最大值：，

OQi-lCos(p3-cos(p，3，，32

.V21

・・—v

32

故选D

A

6.答案：BC

解析：

本题考查考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、动点截面等基础知识，考查运算求解能力，

考查数形结合思想，是较难题.

也可利用空间坐标系利用向量来判断各选项的正误.

在A中，当P点位于B点时,直线DiP与4c所成的角为:，当P点位于4点时，直线QP与AC所

成的角为:，所以当P点位于4和B之间时，直线。iP与AC所成的角的范围为（［，），故A错误；

442

在8中，1平面41AP,4刀u平面Di&P,.•.平面D14P1平面4AP,故8正确;

在C中，又4/平面BiCDi，D】Cu平面8也以,

•••418〃平面8也。1，又尸为线段上的动点，

P到平面与劣。的距离即为点B到平面当。住的距离，是定值，

又,；△的面积是定值，二力j-CDP=Up-cDD］为定值，故C正确；

在。中，延长AP交正方形ABB14于。点，当。点位于之间时，截面为梯形，当。点与名重合

时，截面为等边三角形，当Q点位于81冬之间时，截面为三角形，但是乙181。1（60。）<44<2。1<

乙44。式90。），所以截面不可能为直角三角形，故。错误.

故选BC.

7.答案：②④

解析：

本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查多面体和旋转体上的最短距离（折叠

与展开图），考查了空间想象能力和推理论证能力，属于较难题.

对于①②，利用CN=PM,分析即可判断；对于③，利用线面垂直判定与性质定理得.4ALL3A/,

与矛盾，从而判断错误，对于④，利用平面A”Bi_L平面时，三棱锥体积最大，

从而得到表面积，即可判断.

解：取AB1中点为P,连结PN,PM,

如图：

对于①，由于ABJBiA/,则力比不垂直PM,

即AB】不垂直NC,所以①错误；

对于②，由于CN=PM（PM的长为定值），

则CN的长是定值，所以②正确；

对于③，由于4B=BM,贝ILLULUD.

若AA/JJ51。，MDnBrD=D,

BXD,MDu平面

则AA/J■平面小DM,

又BiMC平面BiDM,

即小/,这与矛盾，则③错误;

对于④，由于当平面4MBiJ■平面AMD时，

三棱锥a-4MD的体积最大，

此时AQ即为其外接球的直径，所以④正确.

故答案为②④.

8•答案：支；亨

解析：

本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体外接球表

面积的求法，是较难题.

由题意画出图形，找出四棱锥外接球的球心，利用勾股定理求半径，代入球的表面积公式求球的表

面积，再由球的对称性可知，球表面上的点到平面8CED距离的最大值为半径加球心到面的距离.

解:如图，

取BC的中点G,连接OG,EG,可知DG=EG=BG=CG,

则G为等腰梯形BCED的外接圆的圆心，过G作平面BCED的垂线，

再过折起后的三角形AOE的外心作平面ADE的垂线，设两垂线的交点为0,

则。为四棱锥A-BCED外接球的球心.

3

则四棱锥力-BCEC外接球的半径0B=旧+（92=怨.

••・四棱锥a-BCED外接球的表面积为4兀x（叵）2=空；

k373

由对称性可知，

四棱锥A-8CED外接球表面上一点P到平面BCED的最大距离为：迤+3=经更

333

故答案为左;叵毡.

33

9.答案：等

24

解析:

本题主要考查三棱锥的外接球的相关问题，较难.

根据题意找到球心、求出球的半径，把三棱锥ABC的体积表示出来即可解答.

解：取AO的中点为0,连接08,0C,由。CJ.AC,AB1BD,得04=。8=0C=。0,

所以。为外接球的球心，

所以三棱锥D-4BC外接球的表面积为4加（学）2=25兀，

所以AD=5,OB=0C=|,

因为DC=4C,AB=BD.

所以4D，平面OBC,

所以三棱锥。-4BC的体积为

，△丽•AD=•OCsinZBOC）-AD=siuZBOC《段,

当且仅当4B0C=]时，等号成立，所以最大值为爱.

224

10.答案：2^3

解析：

本题考查空间几何体的外接球体积问题，考查正弦定理、余弦定理，是难题.

由题意，该四面体为直三棱柱4BE-FCD中的一部分，其中44BE=60。或120。，这样四面体ABC。

的外接球就是直三棱柱4BE-FCD的外接球，由勾股定理求出三角形ABE的外接圆半径，然后由正

弦定理求AE,由余弦定理求得力BE的最大值，再根据

】飞而体:七枝性ABE-FCD=：x：xAB-BEsinWIx2求得四面体的体积最大值，要注意

«5J/

^ABE=60。或120。处易出错.

解：由已知可知：四面体A8C。是直三棱柱4BE-FCD中的一部分，则四面体A8CO的外接球就是

直三棱柱ABE-FCC的外接球，

旦BE“CD,因为AB和CQ所成的角为60。，所以乙4BE=60。或120。，

设外接球的球心为O,过点。作底面ABE的垂线，交底面ABE于点。'，则。'是三角形ABE的外接

圆圆心，且OO'=[BC=1,0B=后

所以三角形ABE的外接圆半径为02=y/OB2-OO'2=2,

所以在三角形ABE中，由正弦定理得一%=-%=—之=4,AE=2V3，

sinZ.ABEs\nz.AEBs\n^.BAE

当NABE=60°时，由余弦定理得ZE?=12=AB2+BE2-2AB-BE-cos60°=AB2+BE2-AB-

BE>AB-BE,即AB•BEM12,

此时，%而体4BCD=彳咚雌4BE-FC。=XxzxAB-BEsill60°X2<2y/3;

JJ/

当N4BE=120。时，由余弦定理得W=12=AB2+BE2-2AB-BE-cos600=AB2+BE2+AB-

BE>3AB-BE,即AB•BEW4,

此时，％而体4BCD=1咚雌4BE-FCQ=Ixx'打'BE疝160°X2W•

<5J£J

所以四面体ABCD的体积的最大值为2国.

11.答案：{3V2a}

解析：

本题考查了几何体中动点问题，截面周长问题.转化思想，平移平面，找到截面最大时动点位置是

关键，考查运算求解能力，是中档题.

正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为“，体对角线BDi=遍a，根据对称性，只需研究％6停a,苧a］，

函数y=f(x)的值域即可.

解：由题意，连接BQAC,BD,设AC、8。交于点。，

则4c1BD.AC1DD1,

又BDCDDrO.BDDOiU平面BOOi,

AC±平面BO。,又B。U平面BDDi,

.-.ACIBD^同理，ABilBOi，

•:ACABi=A.AC,AB{C平面AB\C,

•••BD]J_平面ABC

故过点尸作垂直于BDi的平面y均平行于平面2BiC,

当期=白时，&,P,0三点在一条直线上，BQU平面八场「，

所以截面周长为AABiC的周长，即3夜a,

当8P=苧a时，即当截面过体对角线BDi的中点时，此时截面为正六边形,

其余各点为各个棱的中点，（如图）截面周长为6后+4=3近a，

易知随着8P的变化，结合相似比关系，中间的六边形长度始终为定值,

再由对称关系可知,BP长度从当a到雪a,周长依然保持定值，

・,・函数y=f(x)的值域为{3&a}.

故答案为：｛3四。｝.

12•答案：弃写

解析：

本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体外接球表

面积的求法，是较难题.

由题意画出图形，找出四棱锥外接球的球心，利用勾股定理求半径，代入球的表面积公式求球的表

面积，再由球的对称性可知，球表面上的点到平面8CED距离的最大值为半径加球心到面的距离.

解:如图，

取BC的中点G,连接OG,EG,可知DG=EG=BG=CG,

则G为等腰梯形BCE。的外接圆的圆心，过G作平面8CEZ）的垂线，

再过折起后的三角形AOE的外心作平面ADE的垂线，设两垂线的交点为0,

则。为四棱锥A-BCED外接球的球心.

3

则四棱锥力-BCEC外接球的半径0B=旧+（亨¥=怨.

••・四棱锥a-BCED外接球的表面积为4兀x（叵）2=空；

k373

由对称性可知，

四棱锥4-BCED夕卜接球表面上一点P到平面BCED的最大距离为：号+品智

故答案为等;手

l(M>7r

13.答案:

解析:

【试题解析】

本题考查了空间几何体外接球的表面积的计算问题，是中档题.

根据题意可知，鳖麻G-4BC经翻折后，所拼成的几何体为三棱锥G-4EB1，结合三棱锥的结构特

征及球的表面积公式求解即可.

解：当G-4BC沿线BG翻折，使点C与点名重合，

则鳖脯Q-4BC经翻折后，A点翻折到E点，4E关于B对称，所拼成的几何体为三棱锥的-

如图，

由BBi=BC=2>/3,AB=2,AC=4,

可得力B]=yjBB^+AB2=4，BiE=+BE2=4，

即4Bp4E为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心Oi，

设三棱锥外接球球心为O,连接内。，则/。_L平面

连接0G，0B],在团OBiQ中作0M18传1，垂足为M,

如图，因为0G=0B】=R,OMIBiG，

所以M是BiG的中点，由矩形”0。出可知。。1=并心=,BC=V3,

因为01为三角形的中心，

所以为。1=|BiB=|x2g=产，

在Rt0口1。。1中，R=[00；+BjO：=^3+=1

所以S—4兀R2_号

14.答案：手；?

解析:

本题考查了几何体中的截面问题，二面角，球的相关知识，属于较难题.

根据图形确定球心位置，根据二面角，三角形知识和勾股定理计算球的半径，由条件可知过E'且与。E'

垂直的截面圆面积最小，求出截面圆的半径，即可得解.

解：如图：

取BD的中点从连接AH,CH,

则BO'H,BD1CH,

NA'HC为二面角A-BD-C的平面角，

故乙A'HC=120°,

由题意可知△48。和4BCD都是边长为3的等边三角形，

设M,N分别是AABD和ABCO的中心，过M,N分别作两平面的垂线,

则垂线的交点就是三棱锥外接球的球心，

•••A'H=CH=乒斗争

•••MH=NH=y，CN=近,

由4OMH*0NH可得乙OHM="HN=60°,

3

・・.ON=

2

OC=WN2+NC2=J(|)2+(网2=亨,即外接球的半径为亨・

由条件可知过E'且与0E’垂直的截面圆面积最小，

又AC=6AE=3V3，

所以4E=攻，即E为A”的三等分点，靠近A端，

2

所以E'M=渔，

2

由图可知0E'=V0M2+E'M2=V3»

则0E',与。。垂直的截面圆半径，外接球的半径构成直角三角形,

所以招到一(回=|,

故答案为叵；也.

24

15.答案：叵:-

24

解析：

【试题解析】

本题考查了几何体中的截面问题，二面角，球的相关知识，属于较难题.

根据图形确定球心位置，根据二面角，三角形知识和勾股定理计算球的半径，由条件可知过E'且与0E'

垂直的截面圆面积最小，求出截面圆的半径，即可得解.

解：如图：

取8。的中点“，连接A'H,CH,

则BDlAH,BD1CH,

.♦.乙47/C为二面角A-BC-C的平面角，

故乙4'HC=120°,

由题意可知△48。和^BCD都是边长为3的等边三角形，

设M,N分别是△4BD和△BCD的中心，过M,N分别作两平面的垂线,

则垂线的交点就是三棱锥外接球的球心，

A'H=CH=&一(J=学，

MH=NH=y,CN=百，

由小OMH*ONH可得上OHM=4OHN=60°,

3

・・.ON=

2

OC=WN2+NC2=J(|)2+(⑹2=吟即外接球的半径为亨.

由条件可知过E'且与0E’垂直的截面圆面积最小，

又4c=6AE=3V3，

所以4E=攻，即E为A”的三等分点，靠近A端，

2

所以E'M=@，

2

由图可知OE'=>JOM2+E'M2=痘,

则0E',与。。垂直的截面圆半径，外接球的半径构成直角三角形，

所以居J可=|,

』=(»=%.

故答案为巨；变.

24

16.答案：(1)证明：•••四边形ABEF为平行四边形，

AB//EF,AB=EF,

XvAB//CD,

EF//CD,

又•••点E为PC的中点，

•••CD=2EF=2AB=2,

在直角梯形A3CZ)中，AB=AD=1,CD=2,

连接30，易得BD=BC=/，BD2+BC2=DC2,

BD1BC,

又PC_L底面ABCD,BDu平面ABCD,

所以PC1BD,

又PCCBC=C,

所以8。_L平面PBC,

又BOu平面PBD,

••・平面PBO，平面PBC-,

(2)由(1)知CD=2,

•••在直角梯形中可得NDCB=45°,

又PC，底面ABCD,

・•・以C为原点，CD为x轴，CP为Z轴建立空间直角坐标系，如图所示:

则4(2,1,0),5(1,1,0),0(2,0,0),设尸(0,0,九)(九>0),

•••~BA=(1,0,0),丽=(-1,一1,九)，~DP=(-2,0,九)，~BD=(1,-1,0)，

•••BD，平面PBC,

.•・平面P8C的法向量可取而=(1,-1,0).

设平面A8P法向量为1=(x,y,z),

由曲丽=0,得俨=。

(五•而=0,l-x_y+hz=°'

・・.可取N=(0j,1),

・•・cos<a,前>==一~9

VzVi+n25

・•・九=2,

・••丽=(一2,0,2),a=(0,2,1),

cos<五>=葭定=缥，

y8xV510

•••P。与平面PAB所成角的正弦值为运.

10

解析：本题考查面面垂直的判定，考查利用空间向量求二面角和线面角，属于中档题.

(1)由题意可得8。1BC,PC1BD,即可证明BD，平面PBC,再利用面面垂直的判定得到平面PBD1

平面PBC；

(2)以C为原点，CQ为x轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，设P(0,0,/i)(/i>0),利用二面角4一

PB-C的余弦值为一叵求出h,再利用法向量求出线面角即可.

5

17.答案：(1)证明：•••4以+8£)2=482,

•••ADA.BD,

•.,底面ABC。为平行四边形，

.-.AD//BC,

•••BC1BD.

又PD1底面ABCD,BCu底面ABCD,

PD1BC.

•：PDCBD=D,PDu平面PBD,BDu平面PBD,

BCJ•平面PBD.

而BCu平面PBC,

平面PBCL平面PBD.

(2)解：由⑴知,BC1平面尸80,则4D_L平面

分别以D4,DB,OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz,

则4(1,0,0),F(0,73,0).C(一1,8,0)，P(0,0,t),Q(一渭,力

..•希=(-l,O,t),=

.-.AP-'BQ=?=1,­••t=1.

故的BQ=

设平面QBD的法向量为记=(x,y,z),

J•前

则=00,

=040,y

-

的

iy

1-?1

-+-z=

X+2

即2

X-0,0

11

-+-Z=

22

令x=l,得记=(1,0,1).

易知平面8OC的一个法向量为访=(0,0,1),

则cos<m,n>==y,

又二面角Q—BD-C为锐角，

.•・二面角Q一BD—C的大小为

解析：本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题.

(1)根据勾股定理得出BC_LBD,结合PD1BC可得BC_L平面P8O,得出平面PB。_L平面PBC；

(2)建立坐标系，根据存•的=1计算的长，求出平面QBO和平面BCQ的法向量，根据法向量

的夹角得出二面角的大小.

18.答案：(1)证明：在21ABe中，连AG,并延长交BC于O,

因为点G为/ABC的重心,

所以需=|,且。为BC中点,

又M为线段AF上靠近点F的三等分点，

匚匚t、i"G2AM

所以一=-=一

AO3AF

所以GM〃。心

又N为AB中点，所以N0〃4C,

5LAC//DF,

所以NO〃DF,所以。，D,F,N四点共面,

又OFu平面QFMGM不在平面。尸N上,

所以GM〃平面OFN;

(2)由题意，AG1BCDE,

所以4O1BC,平面ABCJ•平面BCDE,且交线为BC,

因为BC1CD,所以CO_L平面ABC,

又四边形BCDE为直角梯形，BC=2,DE=1,

所以OE〃CZ),

所以0E1平面ABC,

因为AC〃DF,DEI/BC,

所以平面ABC〃平面DEF,

又ZDE尸与2MBe分别是边长为1与2的正三角形,

故以。为原点，OC为x轴，OE为y轴，。4为Z轴建立空间直角坐标系,

设CD=m,则(1,0,0),0),0)

A(0,0,V3),F(1,m,^),W(-0,^).

因为京=|G，所以M([,警,警),

立=(2,0,0),俞=(泻，争

设平面MBC的法向量1=(a,b,c)，

n-BC=2a=0

则T二彳412rnb.2y[3C

n•BM=-aH--------1-------=0n

、333

取n=(0,V3,—m)>

平面8CO的法向量密=(0,0,1)，

所以二面角M-BC-C的余弦值cos"晶=信=今

解得巾=卫，

3

又疝V=(一2一个,一？),而=(0,771,0),

,T7T777K、IMNCDIm2a

cos<MN,CD>=,——>,=/，•-二—

\MN\\CD\7，

直线MN与CO所成角的余弦值为迫.

7

解析：本题重点考查线面平行的判定及利用空间向量求解二面角及异面直线所成的角，属于较难题.

(1)连AG,并延长交8c于0,通过证明GM〃。尸及0,D,F,N四点共面即可求证;

(2)以。为原点，0C为x轴，0E为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，设CD=m,由二面角M-

BC-D的余弦值为它求出m=叵,再利用向量法求解异面直线MN与CD所成角的余弦值.

43

19.答案：⑴证明：因为24_L平面A8C£>,CDu平面ABC£>,

所以PA1CD,

又ACJ.CD,CAHPA=A,C4u平面PAC,PAu平面P4C,

所以CD_L平面PAC,

•••P。与平面PAC所成的角为ZDPC,

在RtSPCD中，

coszSDPCPD4.

又・••在RtaPAC中，PC=V1T4=V5，APD=2V2.

在RtAPAD中，PA=2,.-.AD=2,

所以在RtMCD中，AD=2,ACAD=60°.

又4BC4=60。，所以在平面ABC。中，

BC//AD,ADu平面PAD,BCC平面PAD,

所以BC〃平面PAD；

(H)因为点用在P8上，设两=4而，

则%/-PCD=^B-PCD=码-BCD=^•2~■A=

所以a

故M为靠近尸的四等分点.

解析：本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，线面平行的判定以及三棱锥体积的

计算，属于中档题.

(/)先通过PAJ•平面A2CD,得到P41C0,进而证得CO_L平面PAC,得到尸。与平面尸AC所成的角

为乙DPC,进而根据题意，求得PD=2VL再通过解直角三角形得到4cAe=60°,再根据NBCA=60°,

得到BC〃/ID,最后通过线面平行的判定定理，即可得到BC〃平面PA。；

（〃）丽=；1而，通过等体积转化，结合力_「8=嗝，得到%的方程，解得义的值，即可得到点M的

位置.

20.答案：（1）证明：取AO的中点尸，连接EF,P凡因为PA=PD,所以PF_L40.

另一方面，因为EF是△48。的中位线，所以EF〃BD.

设P。=CD=BC=1,则A8=2>AD-V2>BD=V2，

所以+=4=432,所以4D1BD,故ADJ.EF.

而EFClPF=F,所以4D1平面PEeffiPEF,所以40J.PE.

（2）解：因为平面PAOJL平面A8C£>于AD,

PFu平面PAO,PFA.AD,,所以PF1平面ABCD

建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，¥，0）,p（0,0,y）,D（-y，0,0）,

8（一孝，篇0）,C（一字，一今0）.所以前=（当,一直,当，FC=（-f,-y,0），

设平面PBC的一个法向量为元=（招y,z）,

R

n•就=-x—\[2yH—z=0

则