2023-2024学年江西省上饶市高一下学期期末教学质量检测数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省上饶市高一下学期期末教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足1+i=z(1−i)(i为虚数单位)，则复数z=(

)A.−i B.i C.1+i D.1−i2.△ABC是边长为1的正三角形，那么△ABC的斜二测平面直观图△A′B′C′的面积为(

)A.616 B.68 C.3.已知向量a=(1,cosθ)，b=(2,sinθ)，若A.2 B.−2 C.12 D.4.已知m,n是空间中两条不同的直线，α,β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m⊂α，则m⊥β B.若m⊂α,n⊂β，则m⊥n

C.若m⊄α，m⊥β，则m/​/α D.若α∩β=m，n⊥m，则n⊥α5.向量a=(1,0)，a与非零向量b的夹角为60∘，则a在b上的投影数量为(

)A.12 B.32 C.16.已知G为△ABC的重心，则(

)A.BG=23AB−13AC 7.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(

)A.a=8，b=16，A=30∘，有两解

B.a=18，b=20，A=60∘，有一解

C.a=30，b=25，A=150∘，有一解

D.8.若函数f(x)=asinωx+cosωx的对称轴方程为x=kπ+π4，A.22 B.−22 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z1，z2是方程x2−2x+5=0A.z1，z2虚部不同

B.z1，z2在复平面内所对应的点关于实轴对称

C.|10.关于函数f(x)=2sin(2x−π3A.(π6,0)是f(x)的一个对称中心

B.函数f(x)在(0,π6)上单调递增

C.函数f(x)图像可由函数g(x)=2cos2x+1的图像向右平移5π1211.如图，若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点A.直线AC1与平面ABCD的夹角的余弦值为63

B.当E与D1重合时，异面直线AE与BF所成角为π3

C.平面C1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若tanθ=2，则sinθ(cosθ−13.设e1与e2是两个不共线向量，AB=3e1+2e2，CB=ke1+e2，14.△ABC中，AB=AC=8，延长线段AB至D，使得∠A=2∠D，则BD+BC的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知a=(2,m)，b=(3−m,−5)(1)若|a+b(2)已知向量a，b的夹角为钝角，求实数m的范围。16.(本小题15分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式及对称中心;(2)求函数f(x)在[π12,π2]上的值域．

(3)先将f(x)的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π1217.(本小题15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足2bcos(1)求∠B;(2)若D为AC的中点，且BD=52，b=3，求△ABC18.(本小题17分)如图1，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60∘，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使PC=3，连接PD，如图(1)证明：AB⊥PC;(2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值;(3)在线段PD上是否存在点N，使得PB/​/平面MCN?若存在，请求出PNPD的值;若不存在，请说明理由．19.(本小题17分)

我们把由平面内夹角成60∘的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“创新坐标系”.如图所示，e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量.若向量OP=xe1+ye2(1)已知a={1,1}，b={2,3}，c={−1,2}，设c(2)已知a={x1,y1}(3)若向量a，b的“创新坐标”分别为{sinx,1}，{cosx,1}，已知f(x)=a⋅b答案解析1.B

【解析】解：∵1+i=z(1−i)，∴z=1+i故选B．2.A

【解析】解：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′=45

结合图形，▵ABC的面积为S▵ABC作C′D⊥A′B′，垂足为D，则C′D=22所以▵A′B′C′的面积S▵A′B′C′即原图和直观图面积之间的关系为S直观图所以，▵A′B′C′的面积为S▵A′B′C′故选：A．3.A

【解析】解：因为a=(1,cosθ)，b=(2,sin所以2cosθ−sin所以tanθ=故答案为A4.C

【解析】解：对于A，m必须垂直于交线才能垂直于β，故A不正确；对于B，若m与n至少有一条必须垂直于交线才能有m⊥n，故B错误；

对于C，可由面面垂直的性质在α内作一条交线的垂线l，

则l垂直于β，再由m⊥β，则m与l平行，可推m/​/α，故C正确；

对于D，只知n垂直α内一条直线，故D错误；

故选C．5.A

【解析】解：因为a=(1,0)，

所以a=1，

又a与非零向量b的夹角为60∘，

所以a在b上的投影的数量为|a|cos<6.B

【解析】解：延长BG，交AC于D点，则D为AC的中点，

则BG=23BD=7.C

【解析】解：对于A，由正弦定理有，asinA=bsinB，解得sinB=bsinAa=16×128=1，

则B=90°，此时三角形有唯一解，错误；

对于B，由正弦定理有，asinA=bsinB，解得sinB=bsinAa=20×3218=539>32，

又

b>a

，所以

B>A

，此时三角形有两解，错误；

对于C，由正弦定理有，asinA8.D

【解析】解：f(x)=asinωx+cosωx=a2+1sin(ωx+φ)，其中tanφ=1a．

由函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ+π4，k∈Z，

得f(x)的最小正周期T=2π，所以ω=1，

所以f(x)=asinx+cosx.

由函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ+π4，k∈Z，

得f(2kπ+π2−x)=f(x)，k∈Z，

令9.ABC

【解析】解：方程

x2−2x+5=0可化为

(x−1)2=−4，

故x=1±2i，则z1，z2是共轭复数，实部相同，虚部互为相反数，故A，B正确;

而|z1|=|1±2i|=5，故C10.BC

【解析】解：对于A：因为f(π6)=2sin⁡(2×对于B：x∈(0,π6)时，2x−π3∈(−π3,0)对于C：函数g(x)=2cos2x+1的图象向右平移5π12个单位得到函数即为函数f(x)，故C选项正确；对于D：方程2f(x)−m=0可化为fx=m2，

当π12⩽x⩽π2时，由题意可知，直线y=m2与函数

y=2sin t+1在当t=2π3时，y=2由图可知，当3+1⩽m2<3时，

直线y=m因此，实数m的取值范围是23+2,6故选BC．11.ACD

【解析】解：选项A:连接AC，AC1，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，AC1=23，直线AC1与平面ABCD的夹角为∠CAC1，

cos∠CAC1=ACAC1=2223=63，故A正确；

选项B：设A1C1、B1D1的交点为M，AC、BD的交点为R，

当E与

D1重合时，F与M重合，连接

D1R，

D1R//BM，

异面直线AE与BF所成的角，即为直线

AD1与

D1R所成的角，

在三角形

AD1R中，

AD1=

22，

D1R=MB=

BB12+M1B2=

6，AR=

2

由余弦定理得

cos

∠

AD1R=

32，则

∠

AD1R

=π6，

所以当E与D1重合时，异面直线AE与BF所成的角为

π6，故12.−2【解析】解：因为tanθ=2，

所以sinθ(cosθ−sin13.−9【解析】解：∵CB=ke1+e2，CD=3e1−2ke2，

∴BD=CD−CB=(3−k)e1−2k+1e2，且AB=3e1+2e2，

∵A，14.18

【解析】解：如图：

过A点作AH⊥BC于H，

设∠D=α，则∠BAC=2α,∠BAH=α,∠ABH=90°−α，

则∠BCD=90°−2α，

所以BC=2BH=2×8sinα=16sinα，

在△BDC中，由正弦定理，得BDsin∠BCD=BCsinD=16，

所以BD=16sin90°−2α=16cos2α，

所以BD+BC=16cos2α+1615.解：(1)由|a+b|=|a−b|平方可得a2+b2+2a⋅b=a2+b2−2a⋅b，则a⋅b=0，

又由向量a=(2,m)，b=(3−m,−5)，【解析】

(1)根据条件可得a⋅b=0，代入坐标运算即可求得m的值；

(2)根据夹角为钝角得到a⋅b16.解：(1)根据函数fx=Asinωx+φ(A>0,ω>0,φ<π)的部分图象，

因为f(5π12)=2又因为φ<π，可得φ=−π3，

令2x−π3=kπ,k∈Z故函数fx对称中心为π(2)令π2+2kπ⩽2x−π3⩽3π2+2kπ,k∈Z，解得5π12+kπ⩽x⩽11π12+kπ,k∈Z，

所以fx在[5π12+kπ,11π12+kπ],k∈Z上单调递减，

令−π2+2kπ⩽2x−π3⩽πf(x)所以函数fx的值琙为−1,2(3)先将fx的图象纵坐标缩短到原来的12，可得再向左平移π12个单位，得到y=即gx令π2+2kπ≤2x−π6≤可得gx的减区间为π结合x∈−π2,π，可得gx【解析】

(1)根据题意，求得f(x)=2sin(2)分别求出fx的单调递增区间和单调递减区间，可得fx在π12(3)根据三角函数的图象变换，求得gx=sin2x−π17.解：(1)因为2bcosC+c=2a，

所以2b×a2+b2−c22ab=2a−c．

即a2+c2−b2=ac，所以cosB=a2+c2−b22ac=12，

又B∈(0,π)，所以B=π3【解析】

(1)由余弦定理得2b×a2+b2−c22ab=2a−c，整理后，再由余弦定理得cos18.解：(1)证明：连接PM，

∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，

∴PM⊥AB．

∵ABCD为菱形，∠ABC=60°.∴CM⊥AB，

且PM∩MC=M，PM，MC⊂平面PMC，

∴AB⊥平面PMC，

∵PC⊂平面PMC，

∴AB⊥PC；

(2)连接BD交MC于点E，过E作PC的平行线交PM于F点，即EF//PC，

故异面直线BD与PC夹角即为∠BEF，

由BMCD=12，所以点E为MC靠近点M的三等分点，则F为PM靠近点M的三等分点，

又由题意可知MC=BC2+BM2−2BC·BM·cos∠ABC=3，所以∠BMC=90°，

则BE=BM2+MC32=233PM=3，且PM⊥AB，

所以BF=BM2+MP32=233，【解析】

(1)只需证明AB⊥面PMC，即可证明AB⊥PC；

(2)通过平行找到异面直线BD与PC所成角的平面角即可解决；

(3)设DB∩MC=E，连接NE，可得PB//NE．BEED19.解：(1)∵a={1,1}，b={2,3}，c={−1,2}，c