2023-2024学年江西省赣州市高一下学期期末考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省赣州市高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(m+1,3m−1)，b=(−2,1)，若a/​/b，则A.−37 B.17 C.12.如图，△A′B′C′是水平放置△ABC的直观图，其中B′C′=A′C′=1，A′B′//x′轴，A′C′//y′轴，则△ABC的周长为(

)

A.1+2+3 B.4+23.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是(

)A.若α/​/β，m/​/α，l/​/β，则l/​/m

B.若l⊥m，l⊥α，则m/​/α

C.若α⊥β，l⊥α，则l/​/β

D.若l//α，m⊂α，且l，m共面，则l/​/m4.已知某圆锥的侧面积为4π，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的底面半径为(

)A.33 B.233 5.勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB=a，AD=b，E为BF的中点，则AE=A.45a+25b B.56.设a=12sin84∘−3A.b<c<a B.a<b<c C.c<b<a D.a<c<b7.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，∠ACB=90∘，AC=4A.37 B.3+3112 C.8.已知定义在R上的偶函数f(x)，当x∈[0,2π)时，f(x)=cosx−|cosx|，对任意x∈[0,+∞)总有f(x+2π)=2f(x).当a，b∈[m,n]时，f(a)−f(b)≤4恒成立，则n−mA.6π B.19π3 C.28π3 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于向量的说法正确的是(

)A.若a/​/b，b/​/c，则a/​/c

B.若单位向量a，b夹角为π6，则向量a在向量b上的投影向量为32b

C.若a与b不共线，且s10.在△ABC中，AB=4，AC=6，AB⋅AC=12，P为△ABC内(含边界)任意一点，则A.BC=27

B.若|PA|=|PB|=|PC|，则S△PBC=73311.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P是AA1的中点，点M是正方体内(A.动点M在底面ABCD内轨迹的长度是22

B.点M所在平面截正方体所得截面的面积为92

C.三角形A1D1M在正方体内运动形成几何体的体积是2

D.存在某个位置三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.cos75∘−cos13.位于水东镇的和谐钟塔是赣州市标志性建筑，高度约为113m.塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30∘和45∘，且∠BAC=45∘，则B，C两点间的距离为

m.(14.已知一个正四棱台的上下底面边长之比为1:3，体积为10433，若此正四棱台的内切球存在，则这个内切球的表面积为

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式及对称中心;(2)将f(x)的图象向右平移π4个单位后得到g(x)的图象，求函数y=g(x)在x∈[0,π16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为π4，E为线段PA上的点．

(1)若E为线段PA的中点，证明：PC/​/平面BDE;(2)若E为线段PA上靠近A的三等分点，求三棱锥C−BDE的体积．17.(本小题12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m=(1−2cos2B2(1)求C;(2)若a+b=2，c=3，∠C的平分线交AB于点D，求CD18.(本小题12分)

如图，点C在直径为AB的半圆O上，CD垂直于半圆O所在的平面，BC/​/平面ADE，且CD/​/BE．

(1)证明：平面ADE⊥平面ACD;(2)若AB=5，AO⋅AC=12，异面直线AD与BE所成的角是π4，在线段BC上是否存在点F，使得二面角D−AF−C19.(本小题12分)设O为坐标原点，定义非零向量OM=(a,b)的“友函数”为f(x)=asinx+bcosx(x∈R)(1)记OM=(1,1)的“友函数”为f(x)，求函数f(x)的单调递增区间(2)设ℎ(x)=cos(x+π6)−2cos(3)已知点M(a,b)满足6a2+5ab+b2<0，向量OM的“友函数”f(x)在x=x0处取得最大值参考答案1.B

2.C

3.D

4.B

5.A

6.D

7.A

8.C

9.BC

10.ABD

11.BC

12.−13.11314.12π

15.解：(1)根据函数f(x)的部分图象，可得A=2；

因为34×2πω=5π12+π3，所以ω=2；

根据五点作图法，可得2×5π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，

又因为|φ|<π，所以φ=−π3，

所以f(x)=2sin(2x−π3)，

由2x−π3=kπ，k∈Z，可得x=π6+kπ2，k∈Z，

故f(x)图象的对称中心为(π6+kπ2,0)，k∈Z，

(2)将f(x)的图象向右平移16.(1)证明：如图，连接AC交BD于O，连接OE．

因为底面ABCD是正方形，所以O为AC的中点，又点E为线段PA的中点，所以OE//PC，

因为OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，所以PC/​/平面BDE；

(2)解：因为∠PCD为PC与平面ABCD所成的角，所以∠PCD=π4，△PCD为等腰三角形，PD=CD=4，

因为点E为线段PA上靠近A的三等分点，所以点E到平面ABCD的距离为13PD，

所以VP−BCD=117.【解答】解：(1)由m⊥n，得m⋅n=0，

即m⋅n=(1−2cos2B2,cosC)⋅(c,2a−b)=c(1−2cos2B2)+(2a−b)cosC=0，

利用二倍角公式和边化角可得：−sinCcosB+(2sinA−sinB)cosC=0，

即2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，所以18.解：(1)因为点C在半圆O上，AB为直径，所以BC⊥AC，

而CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，于是CD⊥BC，

又AC∩CD=C，AC，CD⊂平面ACD，则有BC⊥平面ACD，

由CD/​/BE知点B，C，D，E共面，又BC/​/平面ADE，

平面BCDE∩平面ADE=DE，BC⊂平面BCDE，因此BC/​/DE，即有DE⊥平面ACD，

又DE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD．

(2)如图，过点C作CH垂直AF于H，并连接DO，

因为CD垂直于半圆O所在的平面ABC，且AF⊂平面ABC．

所以DC⊥AF．

又因为CH⊥AF，且CH∩DC=C，

所以AF⊥平面DCH．

由DH⊂平面DCH，得AF⊥DH，

所以∠CHD为二面角D−AF−C的一个平面角．

因为AO⋅AC=12，所以AC=1．

又因为异面直线AD与BE所成的角是π4，所以CD=AC=1，

在Rt△ABC中，BC=(5)2−12=2，

由cos∠CHD=32222，得tan∠CHD=CDCH=133，

所以CH=31313CD=31319.解：(1)向量OM=(1,1)的“友函数”f(x)=sinx+cosx=2sin(x+π4)，

当x+π4∈[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z时，函数f(x)单调递增，