2023-2024学年上海市闵行区古美高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市闵行区古美高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数为奇函数，且在(0,π2)上是严格增函数的是A.y=−sinx B.y=cosx C.y=tanx D.y=|sinx|2.用数学归纳法证明12+22+…+(n−1)2+A.(k+1)2+2k2 B.(k+1)3.已知向量a=(λ,1)，b=(2,3)，若a与b的夹角θ是锐角，则实数λ的取值范围是(

)A.(−32,+∞) B.[−32,+∞)4.已知正方形ABCD的边长为4，点M、N分别在边AD、BC上，且AM=1，BN=2，若点P在正方形ABCD的边上，则PM⋅PN的取值范围是(

)A.[−6,6] B.[−6,2] C.[−2,6] D.[−2,2]二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知角α的终边经过点P(−3,4)，则tanα=______．6.在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于______°.7.复数z=11+i(i是虚数单位)8.在复平面上，复数z1=2+i，z2=1−i对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则OA9.若数列{an}为等差数列，a2=−4，a510.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA=acosB，则B=______．11.已知复数z1=2−i，z2=1+mi，m∈R，若z112.已知向量a=(−3,4)，b=(1,2)，则b在a方向上的投影向量为______．13.已知数列{an}的通项公式为an=1(n=1)14.已知复数z满足|z|=1，则|z−3+4i|的取值范围是______．15.若A、B、C三点共线，对任意一点O，有OA=sinx⋅OB+12OC16.设函数y=3sinx+cosx−m在x∈[0,2π]上恰有两个零点x1，x2，则三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，在平行四边形ABCD中，点E足AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点(AF=23AD,BG=23BC)，设AB=a，AD=b．

(1)18.(本小题14分)

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6=212，公比q=−12．

19.(本小题14分)

已知关于x的实系数一元二次方程x2−2x+k=0．

(1)若方程有一个根1+2i(i是虚数单位)，求k的值；

(2)若方程有两实根x1，x220.(本小题16分)

已知向量m=(12,12sin2x+32cos2x)，n=(f(x),−1)，且m⊥n．

(1)求函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间；

(2)已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，其对应边分别为21.(本小题18分)

对于集合A={a1,a2,a3,⋯,an}，n≥2且n∈N∗，定义A+A={x+y|x∈A,y∈A且x≠y}.集合A中的元素个数记为|A|，当|A+A|=n(n−1)2时，称集合A具有性质Γ．

(1)判断集合A1={1,2,3}，A2={1,2,4,5}是否具有性质Γ，并说明理由；

(2)设集合B={1,3,p,q}(p，q∈N，且3<p<q)具有性质Γ参考答案1.C

2.B

3.D

4.C

5.−46.60

7.−18.1

9.3n−10

10.π411.−2

12.(−313.3214.[4,6]

15.π6+2kπ或5π616.2π3或8π17.(1)解：∵E是AB的中点，AF=23AD，BG=23BC，

∴EF=AF−AE=23AD−12AB18.解：(1)∵S6=212，公比q=−12．

∴a1(1−(−12)6)1−(−12)=212，解得19.解：(1)关于x的实系数一元二次方程x2−2x+k=0，若方程有一个根1+2i(i是虚数单位)，

则方程的另一个根为1−2i，

故(1+2i)(1−2i)=3=k；

(2)方程有两实根x1，x2，

则20.解：(1)向量m=(12,12sin2x+32cos2x)，n=(f(x),−1)，且m⊥n．

所以m⋅n=0，即12f(x)−12sin2x−32cos2x=0，

所以f(x)=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3)，

令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，

解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z；

k=0时，求得函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间是[π12,7π21.解：(1)A1+A1={3,4,5}，|A1+A1|=3，故集合A1具有性质「．

A2+A2={3,5,6,7,9},|A2+A2|=5<4×32，故集合A2不具有性质Γ

(2)因集合B具有性质Γ，

故|B+B|=6，B+B={4,1+p,1+q,3+p,3+q,p+q}．

(i)若4<1+p<1+q<3+p<3+q<p+q，

则1+q<3+p2(1+p)=4+(1+q)2(1+q)=(1+p)+(3+p)，解得p=4q=5，

经检验，符合题意，故p，q的值分别为4，5．

(ii)若4<1+p<3+p<1+q<3+q<p+q，

则3+p<1+q2(1+p)=4+(3+p)2(3+p)=(1+p)+(1+q)，解得p=5q=9，

经检验，符合题意，故p，q的值分别为5，9．

(3)不妨设a1<a2<a3<⋯<an−1<an，

则在集合A+