2023-2024学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2023-2024学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1）3．（2分）如图所示，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC．如果AD：DB＝2：1，那么AE：AC等于（）A．2：1 B．2：5 C．2：3 D．3：54．（2分）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位，得到的抛物线为（）A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）25．（2分）如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为（）A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.66．（2分）如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（）A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB C．AB•CD＝BD•BC D．BC2＝AC•CD7．（2分）若二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≥﹣4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m＜48．（2分）函数y＝x2﹣4|x|﹣2的自变量x的取值范围为全体实数，其中x≥0部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④当﹣6＜a＜﹣2时，关于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4个实数根．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9．（2分）已知，则＝．10．（2分）请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式．11．（2分）两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为．12．（2分）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，BE＞AE．已知AB为2米，则线段BE的长为米．13．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（﹣1，0），则点Q的坐标为．14．（2分）点（﹣2，y1），（3，y2）为抛物线y＝﹣x2+2x﹣n上两点，则y1y2．（用“＜”或“＞”号连接）15．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝6，BD＝2，则CD的长为．16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为．三、解答题（本题共68分，第17-18题每题4分；第19-21题每题5分；第22-27题每题6分；第28题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（4分）已知一条抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），且经过点（0，4），求抛物线的表达式．18．（4分）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O．（1）写出一个与△ACD相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是；（2）证明：19．（5分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3；（1）求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中画出函数图象．20．（5分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．21．（5分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F．（1）求证：△AFE∽△CFD；（2）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．22．（6分）已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时的函数值相等．（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b图象的对称轴；（2）过P（0，2）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣ax+b的图象交于不同的两点M、N．当MN＝2时，求b的值．23．（6分）已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且AB：AC＝AE：AD．判断BE与BD的数量关系并证明．24．（6分）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为．（1）求绳子所对应的抛物线表达式；（2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？25．（6分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．26．（6分）某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤．结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若每公斤降价2元，则每天的销售利润为元；（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售该品种葡萄获得的利润w最大？最大利润是多少元？27．（6分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）点P（a，y1），Q（3，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求a的取值范围．28．（9分）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．（1）如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCD+∠BAD＝180°，求证：△ACB和△ADC为叠似三角形；（2）如图2，△ACB和△ADC为叠似三角形，若CD∥AB，AD＝4，AC＝6，求四边形ABCD的周长；（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E在AD上，且DE＝DC，F为AC中点，且∠BEC＝∠AEF，若BC＝9，AE＝4，求的值．

2023-2024学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．【解答】解：A.3×9≠5×6，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；B.3×9≠5×8，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；C.3×30＝9×10，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；D.3×9≠6×7，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1）【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2，∴其顶点坐标为（1，2）．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．3．（2分）如图所示，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC．如果AD：DB＝2：1，那么AE：AC等于（）A．2：1 B．2：5 C．2：3 D．3：5【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝＝，求出AE＝2EC，再代入AE：AC求出即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD：DB＝2：1，∴＝，∴AE＝2EC，∴AE：AC＝＝，故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．4．（2分）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位，得到的抛物线为（）A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2【分析】根据“左加右减，上加下减“即可得到答案．【解答】解：将抛物线y＝2x2向下平移3个单位，得到的抛物线为y＝2x2﹣3；故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减“的平移口诀．5．（2分）如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为（）A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.6【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△COD∽△BOA，∴，∴，∴x＝0.4，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．6．（2分）如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（）A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB C．AB•CD＝BD•BC D．BC2＝AC•CD【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．【解答】解：∵∠C是公共角，∴再加上∠A＝∠CBD或∠CBA＝∠CDB都可以证明△CAB∽△CBD，故A，B不符合题意，C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C符合题意．∵∠C＝∠C，若再添加，即BC2＝AC⋅CD，可证明△CAB∽△CBD，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．7．（2分）若二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≥﹣4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m＜4【分析】根据已知得出方程x2﹣4x﹣m＝0有两个实数根，即Δ≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点，∴方程x2﹣4x﹣m＝0有两个实数根，即Δ＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，8．（2分）函数y＝x2﹣4|x|﹣2的自变量x的取值范围为全体实数，其中x≥0部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④当﹣6＜a＜﹣2时，关于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4个实数根．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．【解答】解：如图：①如图所示：函数图象关于y轴对称，则正确；②如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误；③如图所示：当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则正确；④如图所示：当﹣6＜a＜﹣2时，关于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4个实数根，则正确；则正确的个数有3个，故选C．【点评】本题考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9．（2分）已知，则＝＝．【分析】根据分比性质，可得答案．【解答】解：由分比性质，得＝，即＝，故答案为：＝．【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质：＝⇒＝．10．（2分）请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式y＝﹣x2．【分析】根据开口向下，可知a＜0，再根据经过原点，可知c＝0，从而可以写出一个符合要求的二次函数解析式，本题得以解决，注意本题答案不唯一．【解答】解：开口向下，经过原点的二次函数的表达式是y＝﹣x2，故答案为：y＝﹣x2．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．（2分）两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为4：9．【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积之比为4：9．故答案为：4：9【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方．12．（2分）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，BE＞AE．已知AB为2米，则线段BE的长为（﹣1）米．【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵E为边AB的黄金分割点，BE＞AE，AB为2米，∴BE＝AB＝×2＝（﹣1）米，故答案为：（﹣1）．【点评】本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．13．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（﹣1，0），则点Q的坐标为（3，0）．【分析】点P的坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）＝4，即可求解．【解答】解：点P的坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）＝4，则：点Q的横坐标为﹣1+4＝3，故答案为：（3，0）．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到图象上点的性质等函数基本属性，本题是一道基本题．14．（2分）点（﹣2，y1），（3，y2）为抛物线y＝﹣x2+2x﹣n上两点，则y1＜y2．（用“＜”或“＞”号连接）【分析】根据二次函数的对称性将点化在对称轴的同一侧，结合函数的性质比较即可得到答案．【解答】解：由题意可得，抛物线y＝﹣x2+2x﹣n的对称轴为：直线，∴（﹣2，y1）的对称点为：（4，y1），∵﹣1＜0，1＜3＜4，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．15．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝6，BD＝2，则CD的长为2．【分析】根据射影定理计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD•BD，∵AB＝6，BD＝2，∴AD＝6﹣2＝4，∴CD2＝4×2＝8，∴CD＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是射影定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为（，）或（4，3）．【分析】由题意得出P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，由此分两种情形分别求解，可得结论．【解答】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：∵PE⊥BO，CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），∴点P横坐标为4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，∵△PBE∽△CBO，∴＝，即＝，解得：PE＝3，∴点P（4，3）；②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：∵CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，∴BC＝＝＝10，∴BP＝2，∵△PBE∽△CBO，∴＝＝，即：＝＝，解得：PE＝，BE＝，∴OE＝8﹣＝，∴点P（，）；综上所述：点P的坐标为：（，）或（4，3）；故答案为：（，）或（4，3）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平行线的判定、勾股定理、分类讨论等知识，熟练掌握相似三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-18题每题4分；第19-21题每题5分；第22-27题每题6分；第28题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（4分）已知一条抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），且经过点（0，4），求抛物线的表达式．【分析】根据顶点坐标设抛物线解析式为y＝a（x+2）2﹣4，代入已知点坐标计算即可．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），∴设抛物线表达式为y＝a（x+2）2﹣4，∵抛物线经过点（0，4），∴将（0，4）代入y＝a（x+2）2﹣4，得：4a﹣4＝4，∴a＝2，∴y＝2（x+2）2﹣4．【点评】本题考查二次函数函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．18．（4分）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O．（1）写出一个与△ACD相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是△AOE或△BOD或△BCE；（2）证明：【分析】（1）根据两个角相等，两个三角形相似，可证明与△ACD相似的三角形有△BOD或△CBE或△AOE；（2）证明过程同（1）．【解答】（1）解：∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠OAE，∴△AOE∽△ACD，∴∠AOE＝∠C，∵∠AOE＝∠BOD，∴△BOD∽△ACD；∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，∴△CBE∽△ACD，∴与△ACD相似的三角形为△AOE或△BOD或△BCE，故答案为：△AOE或△BOD或△BCE；（2）证明：∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠OAE，∴△AOE∽△ACD，∴∠AOE＝∠C，∵∠AOE＝∠BOD，∴△BOD∽△ACD；∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，∴△CBE∽△ACD．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．19．（5分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3；（1）求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中画出函数图象．【分析】（1）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得到抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），令x＝0，则y＝﹣3，得到抛物线与y轴交点坐标，令y＝0，求出抛物线与x轴交点，即可求解；（2）取点描点连线画图即可．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3，∴y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），令x＝0，则y＝﹣3，抛物线与y轴交点为（0，﹣3），令y＝0，则x1＝3．x2＝﹣1，抛物线与x轴交点为（3，0）和（﹣1，0）；（2）当x＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，即抛物线过点（2，﹣3），根据（1）中的数据画出函数图象如下：【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．20．（5分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．【解答】解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．21．（5分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F．（1）求证：△AFE∽△CFD；（2）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．【分析】（1）根据矩形对边平行，有AE∥DC，可知△AFE∽△CFD；（2）根据相似三角形的性质可得，再利用已知线段的长代入即可求出CF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC，∴△AFE∽△CFD，故△AFE∽△CFD得证．（2）解：由（1）知△AFE∽△CFD，∴，而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3，∴AE＝2，AC＝5，∴＝＝，而AC＝5，∴AF＝，CF＝，故CF的长为．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长度．22．（6分）已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时的函数值相等．（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b图象的对称轴；（2）过P（0，2）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣ax+b的图象交于不同的两点M、N．当MN＝2时，求b的值．【分析】（1）根据对称轴为对称点横坐标和的一半计算即可．（2）设M（x1，2），N（x2，2），根据对称轴为直线x＝2，MN＝2，得到，求得值后，利用对称轴和点的坐标计算即可；【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时函数值相等，∴对称轴为直线x＝2．（2）∵过P（0，2）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣ax+b的图象交于不同的两点M、N，设点M在点N的左侧，设M（x1，2），N（x2，2），∵对称轴为直线x＝2，MN＝2，∴，解得，∴点M的坐标为（1，2），点N的坐标为（3，2）∴，1﹣a+b＝2，∴a＝4，b＝5．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．23．（6分）已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且AB：AC＝AE：AD．判断BE与BD的数量关系并证明．【分析】根据相似三角形的判定方法，利用∠CAD＝∠DAB和AB：AC＝AE：AD可判断△EAB∽△DAC，则∠AEB＝∠ADC，根据等角的补角相等得到∠BED＝∠BDE，从而可判断BE＝BD．【解答】解：BE＝BD．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAB，∵AB：AC＝AE：AD，∴△EAB∽△DAC，∴∠AEB＝∠ADC，∴∠BED＝∠BDE，∴BE＝BD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了等腰三角形的判定．24．（6分）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为．（1）求绳子所对应的抛物线表达式；（2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）先将函数关系式化为顶点式，求出函数的最值，再与小明的身高作比较，即可作答．【解答】解：（1）根据题意，抛物线经过点（0，1），（4，1）．∴，解得，∴绳子所对应的抛物线表达式为：；（2）身高1.70m的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．理由如下：∵，∴当x＝2时，，∵，∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．【点评】本题考查了待定系数法，二次函数的最值，熟练掌握二次函数最值求法是解答本题的关键．25．（6分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠EAC，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到y关于x的函数关系式．【解答】（1）证明：∵等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，，∵∠ADE＝45°，∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE；（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴，∵BD＝x，AE＝y，∴，∴．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．（6分）某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤．结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若每公斤降价2元，则每天的销售利润为800元；（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售该品种葡萄获得的利润w最大？最大利润是多少元？【分析】（1）本题考查二次函数解决销售理论问题，解题的关键是找到等量关系式，根据利润＝利润单价×数量即可得到答案；（2）本题考查二次函数解决销售理论问题，解题的关键是找到等量关系式，根据利润＝利润单价×数量写出函数关系式，结合函数性质即可得到答案．【解答】解：（1）由题意得每天的销售利润为：（20﹣2﹣8）（60+2×10）＝800（元），故答案为：800；（2）设销售单价定为每公斤x元，由题意得，w＝（x﹣8）[60+（20﹣x）×10]＝﹣10x2+340x﹣2080＝﹣10（x﹣17）2+810，∵﹣10＜0，∴当x＝17时w最大，wmax＝810（元），答：销售单价定为每公斤17元时，每天销售该品种葡萄获得的利润最大，最大利润是810元．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．27．（6分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）点P（a，y1），Q（3，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求a的取值范围．【分析】（1）把抛物线解析式转化成顶点式即可求解；（2）分类讨论：当a＞0时，抛物线开口向上时，当a＜0时，抛物线开口向下时，根据点P、Q在对称轴异侧或同侧和二次函数的图象与性质求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0），∴y＝a（x﹣1）2+3﹣a，∴抛物线的顶点坐标为（1，3﹣a）．（2）当a＞0时，抛物线开口向