材料力学课件：梁弯曲时的位移

弯曲变形2024年7月5日2第五章梁弯曲时的位移1、梁的挠曲线近似微分方程及其积分3、梁的刚度校核2、求解梁的挠度与转角的叠加法4、如何提高梁的刚度3§5－１概述4PAB一、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。用w

表示。与y

同向为正，反之为负。二、转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用

表示，逆时针转动为正，反之为负。三、挠曲线：变形后的轴线，称为挠曲线。是光滑曲线，其方程为：四、转角与挠曲线的关系：挠度、转角、挠曲线小变形wqC1xy5wqC1xyxy6§5－2挠曲线微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程

小变形纯弯曲∶横力弯曲∶xyxy7二、挠曲线方程（弹性曲线）直接积分法∶就是挠曲线近似微分方程等截面直梁：积分常数由边界条件(boundarycondition)决定。82、位移边界条件

、支点位移条件：

、连续条件：

、光滑条件：PABDP91，梁的端点∶自由端、固定端、外伸端、中间铰、截面变化点等等；2，载荷的端点∶分布力的起终端、集中力(力矩)点，等等；3，内力的特殊点∶M=0的点为挠曲线的拐点，等等；分段积分的特殊点:10微分方程的分段情况和位移边界条件PABCKABMCABCPDPABCDPL例6-2-1：求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。qmaxymaxxy解：

建立坐标系并写出弯矩方程

写出微分方程的积分并积分

应用位移边界条件求积分常数

写出弹性曲线方程并画出曲线

最大挠度及最大转角LqAB解：

建立坐标系并写出弯矩方程

写出微分方程的积分并积分

应用位移边界条件求积分常数

写出弹性曲线方程并画出曲线

最大挠度及最大转角qmaxymaxxy解：

分段并写出弯矩方程

写出微分方程的积分并积分

应用位移边界条件求积分常数PLaxy14PLaxy

写出弹性曲线方程并画出曲线

最大的挠度及转角ABOA段弯曲，AB段直线(刚体位移)q

maxymax15解：

建立坐标系并写出微分方程

微分方程的积分

应用位移边界条件求积分常数M0ABL=a+bayxb16M0ABL=a+bayxb

写出弹性曲线方程并画出曲线17§5-3按叠加原理求梁的挠度与转角一、载荷叠加：三、逐段刚化法叠加：四、对称性与反对称性的应用：二、微分累积：18多个载荷同时作用于结构而引起的变形

等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。P1P2P1P2=+y1=y11+y12

y2=y21+y22一、载荷叠加：y22y12y21y11y1y2

y11=d11P1

y12=d12P2

y21=d21P1

y22=d22P2

dij为j单位力在j处方向作用下在i处产生i方向的位移aaPqaaPaaq=+例6－4-1按叠加原理求A点转角和C点挠度.解、

载荷分解如图

、由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。

、叠加例6－4-2按叠加原理求C点挠度.解、

载荷无限分解微分集中力∶

、微力作用下的C处微分挠度dy:

、叠加二、微分累积：q00.5LABC0.5LxdxdydP=q(x)dx21对称结构在对称载荷作用下∶

挠曲线图对称;四、对称性与反对称性的应用对称结构在反对称载荷作用下∶

挠曲线图反对称.22L/2q0ABL/2C=+q0/2ABCABCq0/2解、

载荷变换如图

查表并利用对称性和反对称性

、叠加例6－4--3按叠加原理求C点挠度.MPABL1CL2等价PABL1CL2PBCL2等价例6-4-4求AB梁的转角和挠度.=+三、逐段刚化法叠加：全梁分段，逐段考虑变形，再叠加。注意刚体位移！AC段刚体位移为零BC段刚体位移为斜直线刚化AC段PABL1CL2刚化AC段PABL1CL224求B点的转角和挠度.解：结构变换后，查表求简单载荷变形。PABL1CL2PBCL2MPABL1CL2=+25§5-4梁的刚度校核一、梁的刚度条件其中[

]称为许用转角；[y/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：

、设计截面尺寸；

、设计载荷。对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。(特殊构件例外）

、校核刚度：26例6－5-1下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的[

]=0.001弧度,试

校核此杆的刚度.ABL=400mma=0.1mCP1=1KND200mmP2=2KN=+P1=1KNABCDABCDP2=2KN+=MP2ABLaCDP2BaCABCDP227ABLaCP1D200mmP2=P1=1KNABCD+MP2ABLaCDP2BaC+图1图2图3解：

结构变换，查表求简单载荷变形。

叠加求复杂载荷下的变形28

校核刚度29

试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面B的转角qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。已知EI为常量。例题5-5

为利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图b)和简支梁BC(图c)所组成。外伸梁在支座B左侧截面上的剪力和弯矩应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，它们的指向和转向如图b及图c所示。

图c中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况与原外伸梁BC段完全相同，注意到简支梁B支座处的外力2qa将直接传递给支座B，而不会引起弯曲。简支梁BC，由q产生的

Bq

、wDq(图d)，由MB产生的

BM、wDM

(图e)。可查有关式，将它们分别叠加后可得

B、wD，它们也是外伸梁的

B和wD。图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，其转角就是上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|·a，应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去,才是原外伸梁的A端挠度wA*5-4梁挠曲线的初参数方程I.初参数方程的基本形式前已得到等直梁的挠曲线近似方程为弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系为q(x)向上为正

为了使下面导出的挠曲线初参数方程(initialparametricequation)中除了包含与位移相关的初参数q0和w0以外，也包含与内力相关的初参数FS0和M0，先将二阶的挠曲线近似微分方程对x取二阶导数求得等直梁挠曲线的四阶微分方程以x=0代入以上四式，并注意到以x为自变量时上列四式中的积分在坐标原点(x=0)处均为零，于是得式中，FS0，M0，

0和w0为坐标原点处横截面(初始截面)上的剪力、弯矩、转角和挠度，它们是初参数方程中的四个初参数。37

将积分常数C1，C2，C3，C4代入上述表达式中的后二式即得转角和挠曲线初参数方程的基本形式：初参数方程中的四个初参数可由梁的边界条件确定38

显然，如果梁上的分布荷载是满布的(分布荷载在全梁上连续)，而且除梁的两端外没有集中力和集中力偶，亦即荷载和内力在全梁范围内为连续函数，则可直接应用上述两个方程。简支梁或悬臂梁受满布分布荷载作用时就属这种情况。在此条件下，当分布荷载为向下的均布荷载时，q(x)=-q，从而有39

试利用初参数方程求图示简支梁的跨中挠度wC和B截面的转角qB。已知梁的EI为常量例题5-6x401.根据边界条件确定初参数

另一初参数q0需利用x=l处挠度等于零的边界条件求出。将以上三个初参数代入挠曲线的初参数方程，并注意该公式中的q(x)=-q，有由x=0处的边界条件得：解得例题5-6解:x412.列出挠曲线方程和转角方程，并求挠度wC和转角qB将已得到的四个初参数代入初参数方程得：挠曲线方程即转角方程即例题5-642将x=l/2代入(1)式，得将x=l代入(2)式，得例题5-6x43II.一般情况的处理

这里所说的一般情况是指梁上分布荷载不连续，梁上除两端外其余部分也有集中力或集中力偶等作用的情况。此时，外力(荷载和约束力)将梁分为数段，每段梁的挠曲线方程和转角方程各不相同，但相邻两段梁在交界处的挠度和转角仍连续。现就几种常遇情况下的初参数方程加以讨论。44初参数：q0≠0(其值未知)，w0=0情况一45转角方程：挠曲线方程：AC段梁（0≤x≤a）CB段梁（a≤x≤l）46

CB段梁转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于自x=a处开始有向下的均布荷载而在AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中增加的项。

未知初参数q0可由x=l处wB=w|x=l=0的边界条件求得。47情况二初参数：

0≠0(其值未知)，w0=048AC段梁（0≤x≤b）CB段梁（b≤x≤l）转角方程：挠曲线方程：49

CB段梁的转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于考虑C截面(x=b)以右没有向下的均布荷载，而从由AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中减去了的那部分在C截面以右的均布荷载产生的影响的相关项。未知初参数q0可由wB=w|x=l=0的边界条件求得。50情况三初参数：q0≠0(其值未知)w0≠0(其值未知)51CA段梁(0≤x≤c)AB段梁(c≤x≤c+l)转角方程：挠曲线方程：52

AB段梁的转角和挠曲线方程中的第二项，是由于考虑在由CA段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中，应将向上的约束力在A截面(x=c)偏右截面上产生的剪力的影响包含进去而增加的项。

未知初参数q0和w0

可由边界条件wA=w|x=c=0和wB=w|x=l+c=0求得。53情况四初参数：54AC段梁(0≤x≤d)CB段梁(d≤x≤l)转角方程：挠曲线方程：55

CB段梁的转角和挠曲线方程中第二项，是由于考虑在由AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中，应将外力偶矩Me在C截面(x=d)偏右截面上对应的弯矩所产生的影响包含进去而增加的项。在此例中，四个初参数都是已知的。56

思考:对于情况四中的等直梁，试检验由初参数方程所求得的wB

，wC

，qC

是否符合如下关系：57§5-5梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施I.梁的刚度校核

对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件(stiffnesscondition)：式中，l为跨长，为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)，[q]为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。58

土建工程中通常只限制梁的挠跨比，。在机械工程中，对于主要的轴，；对于传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，。59

图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试按强度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知[

]=170MPa，[

]=100MPa，E=210GPa，。例题5-760

一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸，再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条件不满足，应适当增加横截面尺寸。例题5-7解:611.

按正应力强度条件选择槽钢型号

梁的剪力图和弯矩图分别如图c和图e所示。最大弯矩为Mmax=62.4kN·m。梁所需的弯曲截面系数为例题5-762

而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz≥367×10-6m3/2=183.5×10-6m3=183.5cm3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178cm3，虽略小于所需的Wz=183.5cm3，但所以可取20a号槽钢。例题5-7632.

按切应力强度条件校核

图c最大剪力FS,max=138kN。每根槽钢承受的最大剪力为例题5-764

Sz,max

为20a号槽钢的中性轴z以下半个横截面的面积对中性轴z的静矩。根据该号槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：z例题5-765当然，的值也可按下式得出：

每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为

Iz

=1780.4

cm4

1780cm4例题5-766

故20a号槽钢满足切应力强度条件。于是例题5-7673.校核梁的刚度条件

如图a，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度wmax。由叠加原理可得例题5-768梁的许可挠度为由于因此，所选用的槽钢满足刚度条件。例题5-769II.提高梁的刚度的措施(1)增大梁的弯曲刚度EI

由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同(E≈210GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。70

跨长为l的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为(2)

调整跨长和改变结构的体系71

如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为而且跨中挠度减小为72而此时外伸端D和E的挠度也仅为73

所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座。74§5-6梁内的弯曲应变能

在本教材的§3-6中曾讲述了等直圆杆扭转时的应变能，并利用功能原理导出了密圈圆柱螺旋弹簧受压(拉)时弹簧高度变化量的计算公式。

本节研究等直梁在线弹性范围内工作时，由于作用在梁上的外力作功而在梁内蓄积的弯曲应变能Ve，并利用功能原理来求梁在简单荷载情况下的位移。75

等直梁在线弹性范围内纯弯曲时(图a)，其曲率为常量，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在梁弯曲后对应的圆心角为76

图b示出了Me与q的上列线性关系。图b中斜直线下的三角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值Me过程中，外力偶所作的功：它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能：将代入上式可得77

梁在横力弯曲时，既有与弯曲变形相应的弯曲正应变能，又有与剪切变形相应的剪切应变能。但如同在§5-2开始时所述，工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小，可略去不计。梁在横力弯曲时其长为dx的微段内的弯曲应变能为78从而全梁内的弯曲应变能为式中，M(x)为任一横截面上弯矩的表达式，亦即弯矩方程。此式在求梁系(例如两根交叉在一起的梁)的位移等问题时是有用的。顺便指出，由于直梁横力弯曲时，

，因此上式也可写作79§5-5梁内的弯曲应变能MxP1P2y80例6－6－1用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？aaACBxy81§5-6简单超静定梁的求解方法1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知量。

、几何方程——变形协调方程：

、建立静定基用反力代替多余约束所得到的结构——静定基。=q0LABxyRBq0ABMAq0AB82

、物理方程——变形与力的关系

、补充方程

、求解其它问题（反力、应力等）

、几何方程——变形协调方程：=q0LABxyRBq0AB=RBABq0AB+

、几何方程——变形协调方程：

、物理方程——变形与力的关系

、补充方程解：

、建立静定基例6－7－2结构如图，

求B点反力。q0LABLBCq0ABRB==RBABq0AB+84思考:前两例中,如果分别取下图示静定基,几何方程该怎样写?(图1)几何方