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文档简介
第7章矩阵的广义逆7.2矩阵的加号逆1矩阵的加号逆的计算定义设,若存在,使得
AGA=A;
GAG=G;(AG)H=AG;(GA)H=GA.则称矩阵G为矩阵A的Moore-Penrose广义逆,记为A+,简记为M-P广义逆或加号逆。定理7.5
设则A的加号逆存在且唯一。若奇异值分解为则加号逆为证
设若r=0,则零矩阵为A的加号逆。若由定理4.16,存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V,使得易验证G满足四个Penrose方程。再验证唯一性。设满足四个Penrose方程,则,定理7.6
求A的满秩分解:求矩阵的M-P广义逆的方法:A=FG则推论当rankA=m当rankA=n证:用定义即可例7.3
求矩阵的加号逆解:A的满秩分解为则2矩阵加号逆的性质定理7.7:设,则(1)(A+)+=A;(2)(A+)H=(AH)+;(3)(A)+=
+A+;(4-5)rankA=rankA+=rankA+A=rankAA+;(6)A+=(AHA)+AH=AH(AAH)+;(7)(AHA)+=A+(AH)+;(AAH)+=(AH)+A+(8)若UHU=Im,VHV=In,则(UAV)+=VHA+UH;(9)AA+=ImrankA=m.(10)A+A=InrankA=n.3矩阵加号逆的应用在实际问题中,当线性方程组有解时,常需求出线性方程组的无穷多个解中2-范数最小的解,即极小范数解。定理7.8设,若线性方程组Ax=b是相容的,则唯一极小范数解其通解是则当且仅当即rankA=n时解唯一。定理7.9设,则方程组Ax=b的全部最小二乘解是定义设,若存在,使得则称是方程组Ax=b的最小二乘解。极小范数最小二乘解推论1
设,则是矛盾方程组的最小二乘解的充分必要条件是,是方程组的解。推论2
设,则是矛盾方程组的最小二乘解的充分必要条件是,是方程组的解。例7.4
设的极小范数解求解
由于极小范数解
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