矩阵分析 课件 2.3 正交变换与对称变换_第1页
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文档简介

2.3

正交变换与对称变换1、正交变换定义2.6如果欧氏空间V的线性变换

T保持内积不变，即对，都有，则称

T为正交变换。例2.8平面旋转变换（平面围绕坐标原点按逆时针方向旋转角）就是欧氏空间的一个正交变换。这是因为，对中任意向量和，有所以

T是正交变换。任意例2.9

设

A是

n阶正交矩阵，的线性变换是正交变换。这是因为，对任意，有定理2.5

设

T是

n维欧氏空间V的线性变换，则下列命题等价：（1）T是正交变换；（2）T保持元素的长度不变，即对任意，有（3）T把V的标准正交基仍变为标准正交基；（4）T在V的任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵。证

（1）（2），有（2）（1），有将上式两边展开，得由于代入上式得即

T是正交变换。T是正交变换，对任意T保持内积不变，则对任意（1）（3）T是正交变换，设标准正交基，则有于是是标准正交基。（3）（1）如果和都是V的标准正交基，任取，有于是即

T是正交变换。（3）（4）及（4）（3）由定理2.4即得。是V的例2.10

设T是欧氏空间的线性变换，对任意恒等变换是一个正交变换。事实上，即由定理2.5知

T是一个正交变换。2、对称变换定义2.7设

T是欧氏空间V的线性变换，如果对任意都有，则称

T为对称变换。定理2.6n维欧氏空间V的线性变换

T是对称变换充分必要证

设是V的标准正交基，且其中，则有于是条件是它在

V的任一标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。如果

T是对称变换，则有于是对任意，有从而

A是实对称矩阵。反之，若

A是实对称矩阵，则有且即

T为对称变换。推论

设

T

是

n

维欧氏空间V的对称变换，则存在V的证

取V的标准正交基，且设其中

A是实对称矩阵。由于存在正交矩阵

Q，使得其中是对角矩阵，令则由定理2.4知，是V的标准正交基，且

T在该基下的矩阵为标准正交基，使

T在该基下的矩阵为对角矩阵。

例2.10

设是欧氏空间V中一个单位元素，定义证明：（1）T是线性变换；（2）T是正交变换；（3）T是对称变换。证

（1）对任意，有故

T是线性变换。对任意（2）对任意，有故

T是正交变换。（3）对任意，有

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