矩阵分析 课件 1.1 线性空间_第1页
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文档简介

矩阵分析矩阵理论是一门具有高度实用价值的数学理论。在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理，系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切联系。矩阵理论在内容上也在不断更新和发展。本课程将介绍矩阵理论中最经典的一部分。它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特别向量、矩阵、二次型的相关内容。第1章线性空间与线性变换1.1线性空间1、线性空间的概念与性质定义1.1

设是一个非空集合，是一个数域，在集合

中定义两种运算：“加法”运算,“数乘”运算。如果对于这两种运算封闭，且这两种运算满足下列八条运算律：实数域复数域运算的结果是V中的元素则称为数域上的线性空间。(1)

加法交换律(2)

加法结合律

(3)

零元素

在中存在一个元素，使得对任意,都有(4)负元素

对于中任意元素都存在一个

元素使得(5)(6)数乘结合律(7)

数乘关于数分配率(8)数乘关于元素分配率例1

为实数域上的线性空间，为复数域上的线性空间。例2

复数域上的全体矩阵构成的集合为上的线性空间。按向量的加法和数乘运算按矩阵的加法和数乘矩阵线性空间向量空间（复矩阵空间）

例3

实数域上次数不超过的一元多项式

全体

构成实数域上的线性空间。例5

全体正实数的集合，定义加法与数乘：构成线性空间。

例4

闭区间上全体连续实函数组成的集合

构成实数域上的线性空间。按多项式的加法和数乘运算按函数的加法和数乘运算

例6

数域上全体维向量组成的集合，对于向量加法及如下定义的数乘运算不构成线性空间。(5)性质1：零元素是唯一的。性质2：任意元素的负元素是唯一的。性质3：性质4：定义1.2

设是数域上的线性空间，为中的一组元素,如果存在中一组数

使得则称可由线性表示，或是的线性组合。2、元素组的线性相关性定义1.3

如果存在中不全为零的数

使得则称线性相关；否则称线性无关。定义1.4

设是数域上的线性空间，若(I)中每个元素都可由(II)中元素线性表示,则称组(I)可由组(II)线性表示；若组(I)与组(II)可以互相线性表示，则称组(I)与组(II)等价。

是中两个元素组，元素组的极大无关组，秩等概念自行复习性质

元素组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个元素线性表示。性质极大（线性）无关组性质：

含有零向量的向量组一定线性相关；整体无关部分无关；部分相关整体相关；如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；如果向量组

(I)可以由向量组(II)线性表出，那么向量组(I)的秩向量组(II)的秩；等价的向量组秩相同。本节小结010203线性空间的

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