专题4.6 第四章：指数函数与对数函数综合-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题4.6第四章：指数函数与对数函数综合一、单选题1．若有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据把分数指数幂化成根式，从而可得到的取值范围，故可得正确的选项.【详解】因为，所以即，故选：D.【点睛】本题考查分数指数幂形式下变量的取值范围，注意将其化成根式的形式，本题属于基础题.2．若函数（，且）恒过定点P，则点P的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，即可获解【详解】当时，，所以函数（，且）恒过定点故选：C3．已知函数恒过定点，则函数不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】利用指数函数的性质求出，，得出的解析式，从而得出结论．【详解】恒过定点，，，为减函数，且过点，的函数图象不经过第三象限．故选：．4．计算：（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数和对数的运算性质计算可得.【详解】原式.故选:C【点睛】本题考查了指数和对数的运算性质,属于基础题5．如图所示，①②③④中不属于函数的一个是（

）.A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解析】根据函数图象可判断②不过点，又指数函数恒过定点即可判断.【详解】解：已知其中的三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点，图象②不过点.故选：【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.6．已知函数为奇函数，且时，，则A． B． C． D．【答案】C【分析】本题首先可以根据函数为奇函数得出，再利用求出的值，然后再通过以及的值计算出的值，最后得出结果．【详解】因为函数为奇函数，所以，即，，，因为，，所以，故选C．【点睛】本题考查的是奇函数的相关性质，若一个函数是定义域包含的奇函数，则一定满足以及，考查计算能力，是简单题．7．函数的定义域是（

）A．（﹣3，0） B．（﹣3，0]C．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）【答案】A【分析】根据真数大于零、分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式解得结果.【详解】函数的定义域满足：，故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域，考查基本求解能力，属基础题.8．设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.9．中国高速铁路技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快而且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（

）A．倍 B．倍C．倍 D．倍【答案】B【分析】根据函数模型，列出关系式，进而结合对数的运算性质，可求出答案.【详解】普通列车的声强为，高速列车声强为，解：设由题意，则，即，所以，即普通列车的声强是高速列车声强的倍.故选：B.【点睛】本题考查函数模型、对数的运算，属于基础题.10．设函数，则（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根据分段函数解析式代入计算即可.【详解】解：函数，即有，，则有．故选：C.11．已知函数，则在下列区间上，函数必有零点的是A． B． C． D．【答案】B【详解】f(－2)＝－4＜0，f(－1)＝－1＜0，f(0)＝e0＝1＞0，f(1)＝e－1＞0，f(2)＝e2－4＞0.由零点存在性定理,∵f(－1)·f(0)＜0，∴f(x)在(－1,0)上必有零点,故选B.点睛:本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间[a,b]内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的实数根.但是反之不一定成立.12．已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是（

）A．10 B．8 C．7 D．6【答案】D【解析】设，求得，得到，再设，得到函数为单调递增函数，且为是奇函数，即可求解.【详解】由题意，设一次函数，因为，可得，解得，所以，故的图象关于对称，又设，可得函数为单调递增函数，且，即，所以是奇函数，则，则，，所以即为的最大值与最小值之和6.故选：D.【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，对数运算性质，以及函数的单调性与奇偶性的综合应用，着重考查了推理与运算能力.13．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.【详解】解：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：B【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.14．在直角坐标系中，函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数为奇函数可排除B，再利用的函数值，即可得答案；【详解】令，，为奇函数可排除B，当时，，且，故选：A.【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力.15．已知，，，则实数，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别构造新函数，，，结合零点的存在定理，求得的范围，即可求解.【详解】由题意，设，可得，所以，根据零点的存在定理，可得，设，可得，所以，根据零点的存在定理，可得，令，可得，所以，可得，综上可得.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的零点的存在定理的应用，其中解答中根据题意设出新函数，结合零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.16．已知函数则（

）A．对任意实数，方程无解B．存在实数，方程有2个根C．存在实数，方程有3个根D．对任意实数，方程有1个根【答案】B【分析】作出函数的图象，设，则方程，即为，结合图象，分，，和四种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，函数，作出函数的图象，如图所示:设，则方程，即为，结合图象，可得①当时，此时方程有两个根，其中，此时方程有1个根或2个根；②当时，此时方程有两个根，此时方程没有实数根；③当时，此时方程只有一个根，其中，此时方程没有实数根；④当时，此时方程没有实数根，此时方程没有实数根.综合可得，存在实数，方程有2个根.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，以及合理使用换元法分析求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.17．若函数是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）【答案】C【解析】由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式.【详解】解：∵是奇函数，，即，整理可得，，，，，，整理可得，，解可得.故选：C.【点睛】本题考查由奇偶性求参数，考查指数相关的不等式的求解，属于基础题.18．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围．【详解】解：函数，的图象如图：关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，方程化为：，，，开口向下，对称轴为：，可知：的最大值为：，的最小值为：2．．故选：．【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．19．定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”．已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件结合诱导公式化简可得，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错.【详解】若，则，所以，故选项A符合条件；，故选项B不符合条件；，即，又，∴，故选项C不符合条件.，即，又，∴，故选项D不符合条件；故选：A.20．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053C．1073 D．1093【答案】D【详解】试题分析：设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.二、多选题21．下列函数在定义域上为单调递增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在其定义域上的单调性，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数在定义域上不单调；对于B选项，函数在定义域上为增函数；对于C选项，函数，则有，可得，函数的定义域为，该函数在定义域上为增函数；对于D选项，函数在定义域上不单调.故选：BC.22．下列运算法则正确的是（

）A．B．C．（且）D．【答案】CD【分析】取可判断A选项的正误；取，可判断B选项的正误；利用对数的换底公式可判断C选项的正误；利用指数的运算性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若，则无意义，A选项错误；对于B选项，若，，则无意义，B选项错误；对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确；对于D选项，当，、时，，D选项正确.故选：CD.23．若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（

）．A． B． C． D．【答案】BC【分析】对底数分情况讨论即可得答案.【详解】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．故选：BC【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.24．设函数=ln(x2-x+1)，则下列命题中正确的是（

）A．函数的定义域为RB．函数是增函数C．函数的值域为RD．函数的图象关于直线x=对称【答案】AD【分析】求得对数型复合函数的定义域、单调性、值域以及对称性，即可判断和选择.【详解】A正确，∵x2-x+1=>0恒成立，∴函数的定义域为R；B错误，函数y=ln(x2-x+1)在x>时是增函数，在x<时是减函数；C错误，由x2-x+1=可得y=ln(x2-x+1)≥，∴函数的值域为；D正确，，故函数的图象关于直线x=对称.故选：.【点睛】本题考查对数型复合函数性质的求解，属综合基础题.25．已知与是终边相同的角，且，那么可能是第（

）象限角.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】BD【分析】确定，考虑的奇偶两种情况，分别计算得到答案.【详解】与是终边相同的角，且，故，故，当时，，是第四象限角；当时，，是第二象限角.综上所述：可能是第二或四象限角.故选：BD26．已知，现有下面四个命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【分析】当时，由可得，进而得，当时，利用指对互化及换底公式可得.【详解】当时，由，可得，则，此时，所以A正确；当时，由，可得，则，所以B正确.故选：AB.【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题.27．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】本题首先可以根据题意绘出函数的大致图像，然后根据当时得出恰有三个互异的实数解需要满足，最后通过计算即可得出结果.【详解】当时，函数的大致图像如图所示：因为当时，，所以要存在实数a，使关于的方程恰有三个互异的实数解，需要满足且，解得，故选：A、B.【点睛】本题考查根据方程根的数目求参数，能否绘出函数的图像是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题.28．已知，均为正实数，若，，则（

）A． B． C． D．2【答案】AD【分析】令，代入可求出，可得与的关系式，再代入即可求出，的值.【详解】令，则，所以，即，解得或，即或，所以或，因为，代入得或，所以，或，，所以或.故选：AD.【点睛】本题主要考查了对数的运算及性质，属于中档题.29．给出下列结论，其中不正确的结论是（

）A．函数的最大值为B．已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称D．已知定义在R上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021【答案】AB【分析】由复合函数的单调性可求的最大值、在上减函数时a的范围，结合指对数函数图象的关系、奇函数的性质可判断C、D的正误；【详解】1、函数中，若令，即有，故A错误；2、函数（且）在上是减函数，知：，即有，故B错误；3、函数与互为反函数，图象关于直线对称，故C正确；4、定义在R上的奇函数在内有1010个零点，由函数的对称性可知在内有1010个零点，即函数的零点个数为2021，故D正确；故选：AB【点睛】本题考查了指对数函数的性质，利用函数的单调性、奇偶性、对称性以及反函数知识判断正误；30．已知函数，若关于x的方程有四个不等实根，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．的最小值为10【答案】ACD【分析】画出函数图像，根据对称性得到，根据图像得到，，根均值不等式得到最值，变换，根据基本不等式得到最值，得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：根据图像知：，，故，A正确；，，B错误；，化简得到，，，当，即时等号成立，又，此时仅有三个根，所以等号不成立，，C正确；，即，即，，，当，即时等号成立，D正确.故选：ACD.三、填空题31．______【答案】【解析】利用指数幂运算和对数恒等式计算，即可得到答案；【详解】因为，故答案为：32．已知函数，函数g(x)=则函数g(x)的最小值是________.【答案】0【分析】根据已知条件可知分段函数g(x)在x<0、x≥0上分别单调递减、单调递增，由此可确定g(x)的最小值【详解】当x≥0时，g(x)=为单调增函数∴g(x)≥g(0)=0当x<0时，g(x)=为单调减函数∴g(x)>g(0)=0∴函数g(x)的最小值是0故答案为：0【点睛】本题考查了指数函数，利用其构成的分段函数在不同区间的单调性，确定最值33．__________．【答案】6【分析】先计算,再计算第一部分，利用对数的概念计算第二部分，然后得到答案.【详解】，故答案为：6.【点睛】本题考查指数幂，和对数的求值，注意正确使用指数幂的运算法则.34．要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）【答案】160【分析】设底面长方形的长宽分别为和,先求侧面积，进一步求出总的造价，利用基本不等式求出最小值.【详解】设底面长方形的长宽分别为和,则，所以总造价当且仅当的时区到最小值则该容器的最低总造价是160.故答案为：160.35．已知表示，中的较大数．若，则的最小值为______．【答案】【分析】将函数写成分段的形式，再分别求最小值比较可得函数的最小值.【详解】，当时，，且，取得最小值；当时，，故的最小值为．故答案为.【点睛】本题主要考查了分段函数的性质，属于基础题.36．给出下列函数：①；②；③；④.（1）是定义在上的偶函数；（2）对任意且，有，其中同时满足上述两个条件的函数是________(填序号)．【答案】②③【分析】根据函数的奇偶性的定义和判定方法，以及基本初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数，，的定义域都是，且都满足，所以都是定义域上的偶函数；根据对数函数的图象与性质，可得函数为非奇非偶函数，不符合题意，又由对任意且，有，可得函数是上的单调递减函数，根据二次函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，不符合题意；当，可得，在上为单调递减函数，符合题意；当，可得，在上为单调递减函数，符合题意；故答案为：②③37．若关于的方程的解集为空集，求实数的取值范围______.【答案】【分析】设函数，分类讨论，求得函数的值域，进而得到的取值范围，再结合题意，即可求解.【详解】由题意，设函数，当时，函数在为单调递减函数，函数的值域为；当时，函数在为单调递增函数，则函数的值域为；当时，函数在为单调递增函数，则函数的值域为，综上可得的值域为，所以的取值范围是，又因为的解集为空集，所以实数的取值范围.故答案为：.【点睛】本题主要考查含有绝对值函数的值域的求解及应用，其中解答中分类讨论去掉绝对值号，求得函数的值域是解答的关键，着重考查推理与运算能力.38．已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______.【答案】【分析】作出函数的图象，结合图象得出，，得到，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，因为方程有四个根且，由图象可知，，可得，则，设，所以，因为，所以，所以，所以，即，即的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.39．已知定义在上的函数满，当时，，则_______.【答案】【分析】由可得周期为4，再利用周期性，再利用求解即可．【详解】由题，，所以，故周期为4．所以，又，故．【点睛】本题考查周期性，在求较大数的函数值时可以先利用周期性将自变量变换到较小的数，再根据题目函数性质，将自变量变换到已知函数表达式的定义域中进行求解．40．如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.【答案】【分析】先利用已知求出的值，再求点D的坐标.【详解】由图像可知，点在函数的图像上，所以，即.因为点在函数的图像上，所以，.因为点在函数的图像上，所以.又因为，，所以点的坐标为.故答案为【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题41．如图，一图形由一个扇形与两个正三角形组成，其中扇形的周长为，圆心角的弧度数为，半径为．(1)若，求；(2)设该图形的面积为，写出关于的函数表达式．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用扇形弧长公式列等式，代入即可得到；（2）利用扇形的面积公式和三角形面积公式求面积即可.【详解】（1）依题意可得，，若，则．（2）因为扇形的面积为（）所以两个正三角形的面积之和为（），故．42．（1）计算：；（2）设，求的值．【答案】（1）4；（2）2．【分析】（1）根据指数的运算性质直接计算即可；（2）通过换底公式可得，，进而可得解.【详解】（1）原式．（2）∵，∴．同理可得，，则，，∴．∴．43．已知函数是指数函数．(1)求的表达式；(2)判断的奇偶性，并加以证明(3)解不等式：．【答案】（1）（2）见证明；（3）【分析】(1)根据指数函数定义得到，检验得到答案.(2)，判断关系得到答案.(3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）∵函数是指数函数，且，∴，可得或（舍去），∴；（2）由（1）得，∴，∴，∴是奇函数；（3）不等式：，以2为底单调递增，即，∴，解集为．【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.44．已知函数（且），．（1）若，求的取值范围；（2）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据求出的值，由得出的范围，由对数函数的性质可得结果；（2）由对数的性质可得，进而可得的范围.【详解】（1）函数（且），，，函数．若，，故的取值范围为．（2）不等式，即，，解得，故不等式的解集为．45．已知实数，定义域为的函数是偶函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）求实数值；（Ⅱ）判断该函数在上的单调性并用定义证明；（Ⅲ）是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上递增，证明详见解析；（Ⅲ）不存在.【分析】（Ⅰ）根据函数是偶函数，得到恒成立，即恒成立，进而得到，即可求出结果；（Ⅱ）任取，且，根据题意，作差得到，进而可得出函数单调性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，由函数是偶函数，所以函数在上递减，再由题意，不等式恒成立可化为恒成立，即对任意的恒成立，根据判别式小于0，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）因为定义域为的函数是偶函数，则恒成立，即，故恒成立，因为不可能恒为，所以当时，恒成立，而，所以．（Ⅱ）该函数在上递增，证明如下设任意，且，则，因为，所以，且；所以，即，即；故函数在上递增．（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，而函数是偶函数，则函数在上递减．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．则恒成立，即，即对任意的恒成立，则，得到，故，所以不存在．【点睛】本主要考查由函数奇偶性求参数，用单调性的定义判断函数单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型.46．已知函数是定义在R上的偶函数,当时,(1)画出函数的图象;(2)根据图象写出的单调区间,并写出函数的值域.【答案】(1)见解析；(2)单调区间为:上是增函数,上是减函数,值域【分析】(1)由偶函数的图象关于y轴对称可知,要画出函数的图象,只须作出当时的图象,然后关于y轴对称即可;(2)观察图象,结合函数单调性和值域的定义,写出的单调区间及值域.【详解】(1)函数的图象如图所示(2)由图象得,的单调区间为:上是增函数,上是减函数,值域为.【点睛】本题考查了偶函数的性质:图象关于y轴对称和数形结合思想,函数的图象可直观反映其性质,利用函数的图象可以解答函数的值域(最值),单调性,奇偶性等问题,也可用来解答不等式的有关题目.47．已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值;(2)用定义证明在上为减函数;(3)若对于任意，不等式恒成立，求的范围.【答案】(1)，.(2)证明见解析.(3)【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案.（2）根据函数单调性的定义即可证明结论.（3）利用函数的奇偶性和单调性将恒成立，转化为对任意的都成立，结合求解二次函数的最值，即可求得答案.【详解】（1）为上的奇函数，，可得又