专题4.4 对数函数-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题4.4对数函数一、单选题1．若，则A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数，对数函数的图像及运算性质可以得解.【详解】解:根据指数对数的图像可知所以故选C．【点睛】本题考查利用指数，对数函数的图像及运算性质比较大小，属于基础题.2．若函数，则函数的定义域为A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：函数的定义域即为不等式的解集，，解得；考点：函数的定义域；3．已知函数，则函数的减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求得的定义域，然后根据复合函数同增异减确定的减区间.【详解】由解得或，所以的定义域为.函数的开口向上，对称轴为，函数在上递减，根据复合函数单调性同增异减可知函数的减区间是.故选：C4．函数f（x）＝的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数解析式及奇偶性的定义判断的奇偶性，再由上知的大致图象.【详解】根据题意，，其定义域为且，∴，则为奇函数，排除A、D，在区间上，，必有，排除B，故选：C.5．已知，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的运算和指数函数、对数函数的性质判断．【详解】，，，所以．故选：B．6．函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求得的定义域，根据复合函数同增异减原则，求的单调递减区间即可，结合定义域，即可得答案.【详解】令，解得定义域为，根据复合函数同增异减原则，求的单调递减区间，即求的单调递减区间即可，根据二次函数图象与性质，的单调递减区间为，结合定义域可得的单调递减区间为，故选：B7．设，，，则()A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】,,,,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.8．已知的最大值为3，则（

）A．9 B． C． D．7【答案】C【分析】首先将函数写成和的形式，当取得最大值时函数取得最大值，列方程求解.【详解】函数由与复合而成，是增函数，当取得最大值时，函数取得最大值，易知当时，，此时，所以，所以，所以．故选C【点睛】本题考查根据复合函数的最值求参数，属于中档题型，首先需判断复合函数的单调性，复合函数单调性的判断方法是“同增异减”，即当内外层函数单调性一致时为增函数，当内外层函数单调性不一致时是减函数，然后再可判断函数的最值.9．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分析每个数与的大小关系可得答案.【详解】，.故选：C.10．已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数运算的性质，以及对数函数的单调性，得出和的关系，即可得出答案.【详解】因为，，，所以，.故选：C.11．下列函数中，同时满足是奇函数，定义域和值域相同的函数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对选项中的函数，判断其奇偶性，求解其定义域值域，即可进行选择.【详解】因为，都是偶函数，故排除A，D.对函数，是奇函数，其定义域为不等式的解集，即又因为，利用不等式求值域，即可得其值域为，定义域和值域不同，故排除.对函数，显然，其是奇函数，又因为其值域和定义域均为，故满足题意.故选：C.【点睛】本题考查函数的定义域，值域以及奇偶性的判断，属基础题.12．函数y=lgx+的定义域为（

）A．(2，+∞) B．(1，2] C．(0，2] D．(1，+∞)【答案】C【解析】由可得定义域.【详解】要使得函数有意义，则，解得.即函数的定义域为.故选：C.13．已知函数，若所有点构成一个正方形区域，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】判断出函数的单调性，求出函数的值域，从而可得即可求解.【详解】函数在上单调递增，则在上的值域为，因为所有点构成一个正方形，所以，解得.故选：C14．已知奇函数在上是增函数，若则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数为奇函数，只需比较，利用对数性质及指数性质比较，，即可求解.【详解】因为函数为奇函数，所以，因为，且函数在上是增函数，所以，故选B【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，对数函数、指数函数的性质，属于中档题.15．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复合函数的单调性及函数的定义域可得，即得.【详解】∵函数定义域内递增，且在上单调递减，∴函数在上单调递增，且恒成立，所以解得或.故选：C.16．下列关于函数的单调性及奇偶性表述正确的是A．该函数是减函数，并且是奇函数B．该函数是增函数，并且是偶函数C．该函数是减函数，并且是偶函数D．该函数的单调性及奇偶性均无法确定.【答案】A【分析】先由，得为奇函数，设，由在上单调递减，又在上单调递增，由复合函数的单调性结论可得出答案.【详解】设，则的定义域满足，得所以的定义域为，所以为奇函数.设，其图象是由的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的.由函数在上单调递减,所以在上单调递减.又在上单调递增，由复合函数的单调性结论可得在单调递减故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断和单调性的判断，注意复合函数性的结论的应用，属于中档题.17．已知函数且，则正实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造，利用奇偶性定义知为奇函数，根据解析式判断上的单调性，再奇函数性质及单调性有，即可求范围.【详解】由解析式知：函数定义域为，令，由，即为奇函数，所以等价于，而，由、在上递增，故在上递增，所以，可得.故选：B18．设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数运算，化为同底的对数，再利用对数函数单调性比较大小即可.【详解】解：∵，∴

∵，∴综上.故选：B.【点睛】本题考查了对数的运算，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．19．已知函数与，若存在使得，则不可能为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合函数的定义可以判断A选项，其余可将选项全部代入后，看是否能求解出来进行判断.【详解】对于A选项，若，当时，，当时，，相当于1个值对应两个，不符合函数定义，即A错误；对于B选项，，令，则，当且仅当时成立，整理得，解得，即，即，存在，所以选项B正确；对于C选项，，令，得，则，即，存在，所以选项C正确；对于D选项，，可得出，存在所以选项D正确；故选：A20．已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先判断出的范围，再构造函数利用单调性去判断的大小.【详解】，所以；由且，所以，所以，令，，令，则，则，等价于，；又，所以当时，，故，所以.故选：D.二、多选题21．若，，则下列表达正确的是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由对数函数和指数函数、幂函数的性质判断．【详解】解：∵，∴函数在上单调递减，又∵，∴，∴，即，所以选项A正确，选项B正确，∵幂函数在上单调递增，且，∴，所以选项C错误，∵指数函数在R上单调递减，且，∴，所以选项D错误，故选：AB．22．下列四组函数中，f（x）与g（x）相等的是（）A．f（x）＝lnx2，g（x）＝2lnxB．f（x）＝x，g（x）＝（）2C．f（x）＝x，g（x）＝D．f（x）＝x，g（x）＝logaax（a>0且a≠1）【答案】CD【分析】根据相等函数的定义逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于选项A，f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项B，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项C，g（x）＝＝x，两函数的定义域和对应法则相同，是相等函数；对于选项D，g（x）＝logaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数．故选：CD.23．下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据指数函数，对数函数，二次函数和对勾函数的性质，逐一进行检验即可求解.【详解】A．，定义域为，又．故函数为偶函数．当时，单递增，故选项A正确；B．要使函数有意义，则有，定义域不关于对称．故不为偶函数，故选项B错误；C．，对称轴，函数在上单调递增，且为偶函数，故选项C正确；D．，定义域关于原点对称，且，故不为偶函数，故选项D错误，故选：AC.24．已知a＝log23，b＝log0.20.3，则以下结论正确的是（）A．a＞1 B．b＞1 C．a＞b D．a+b＞2【答案】ACD【分析】利用对数运算性质及对数函数单调性即可比较【详解】a＝log23，b＝log0.20.3因为a＝log23，b＝log0.20.3，所以a+b＞2故选：ACD25．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（

）A．B．函数在定义域上是周期为2的函数C．直线与函数的图象有2个交点D．函数的值域为【答案】AB【分析】根据的性质可判断ABD的正误，再根据性质可得函数的图象，从而可判断C的正误，从而可得正确的选项.【详解】根据题意，当时，有，故，故为上的周期函数且周期为2，故B正确.对于A，，而，故，故A正确.因为当时，，此时，故，当时，.此时，故，故在上，的值域为，因为的周期为2，故在上有的值域为，故D错误.根据函数的奇偶性和周期性，可得函数的图象如图所示：故直线与函数的图象有3个交点，故C错误.故选：AB.【点睛】结论点睛：一般地，如果上的函数满足，则的周期为；如果，则的周期为.26．已知，则下列不等关系一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对，结合对数的运算性质和对数函数的单调性进行判断；对，根据基本不等式即可判断；对，取，代入计算即可判断.对，原不等式等价于，进而构造函数，然后根据函数的单调性得到答案.【详解】对，因为，且，则，所以，故选项正确；对，由题意，（此处等号不能成立），故选项正确；对，取，则，故选项错误；对，问题等价于，易知函数在上是增函数，而，则成立，故选项正确.故选：.27．已知，若，，则下述正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据对数的运算性质以及分段函数的处理策略求解.【详解】因为，且，所以，故A正确；当时，，，，所以，故B错误；对于C选项，当，，由对数的性质和运算法则有，当，时，，当中有1个大于等于1，不妨设，，则，则，故C正确；当时，，所以，当时，，由对数的运算法则有：，故D正确.故选：ACD28．若实数a，b，c满足，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】通过等量关系，设出，和的表达式，代入各式子即可得出结论.【详解】由题意，设，则，，，A项，若，即，即，则需要，∵∴A正确.B项，若，则需要，则，显然不成立，∴，即，∴B错误.C项，若，则，即，∵，，∴，∴C正确.D项，∵，∴，D错误.故选：AC.29．关于函数说法正确的是（

）A．定义域为 B．图象关于轴对称C．图象关于原点对称 D．在内单调递增【答案】ACD【分析】由即可求出其的定义域；利用可判断为奇函数；求利用复合函数的单调性即可判断在内的单调性.【详解】因为,所以，所以定义域为，故A正确；因为，所以图象关于原点对称，故B错误，C正确;又在上单调递减，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确.故选：ACD.30．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（

）A．命题“”的否定是“．”B．若函数，则C．“”是“函数在区间内有零点”的充要条件D．函数（其中，且）的图象过定点【答案】BD【分析】对A，任意一种都符合的否定是存在一种不符合；对B，化简得，即可由整体法代入求值.对C，结合零点存在定理，注意需在连续；对D，结合指数函数、对数函数的定点判断即可.【详解】对A，命题“”的否定是“．”，A错；对B，，故，B对；对C，由零点存在定理得，函数需在内连续且，则在区间内有零点，C错；对D，由，故过定点，D对.故选：BD三、填空题31．函数f（x）=+lg（2﹣x）的定义域为______【答案】[1,2)【详解】试题分析：要使函数有意义，需满足，函数定义域为[1,2)考点：函数定义域32．已知函数，则________【答案】4【分析】先写出解析式，取函数值为，求得的值，即可求得的值.【详解】令，即解得，所以得到故答案为：【点睛】本题考查反函数与原函数的关系，根据函数值求自变量，属于简单题.33．如图，点、在函数的图像上，点在函数的图像上，若为等边三角形，且直线轴，设点的坐标为，则___________.【答案】【分析】可结合等边三角形性质求解【详解】如图所示，由题可知，正三角形的边长为2，由几何关系可得，的坐标为，则点坐标为，又在函数上，故有，故答案为：【点睛】本题考查正三角形的性质，对数函数的应用，属于基础题34．设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则________【答案】3【分析】由反函数的性质得函数f（x）＝1og2（x+a）的图象经过点（1，2），由此能求出a．【详解】∵常数a∈R，函数f（x）＝1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（2，1），∴函数f（x）＝1og2（x+a）的图象经过点（1，2），∴log2（1+a）＝2，解得a＝3．故答案为3．【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．35．函数的定义域是_____．【答案】（0，1]【详解】分析：根据函数的解析式有意义，即可求解函数的定义域．详解：由函数满足，解得，即函数的定义域为．点睛：本题注意考查了函数的定义域的求解，函数的定义域表示函数解析式有意义的的取值范围，着重考查了学生的推理与运算能力．36．已知函数，则________．【答案】/【分析】根据指对数运算直接运算求解即可.【详解】解：由题知，.故答案为：37．已知是定义在上的奇函数，且当时，则方程的所有实根之和为________.【答案】【分析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解.【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为在区间上，关于对称，且在区间上，关于对称，故其与直线的所有交点的横坐标之和为0.故所有根之和，即为当时的根，此时，解得.故答案为：.【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.38．若函数在上为减函数，则的取值范围为________.【答案】【分析】根据题意可得在上为减函数,且对恒成立,因此对的正负进行分类讨论,再利用二次函数的性质即可求出答案.【详解】因为函数在上为减函数,设,则在上为减函数,且对恒成立,若,符合题意;若,则,解得;若,则,解得;综上所述,.【点睛】本题考查复合函数单调性的综合运用,结合了二次函数等相关知识,答题时遵循复合函数单调性的“同增异减”法则.39．设，若当时有意义，则a的取值范围是_________【答案】【详解】由题意当时，恒成立，即恒成立，当x≤1时，，∴，∴40．函数的单调增区间是___________.【答案】【详解】，因为对称轴为，所以单调增区间是四、解答题41．已知.（1）求的定义域;（2）判断的单调性.【答案】（1）;（2）函数在单调递减.【分析】（1）根据对数函数的定义即可求解；（2）根据复合函数同增异减性质进行求解即可；【详解】（1）要使函数有意义，则，即，即的定义域为；（2）令，则为减函数，当，函数为增函数，则此时为减函数，即函数的单调递减区间为.【点睛】本题考查复合函数定义域的求法，复合函数单调性的判断，属于基础题42．已知.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并加以说明；（3）求的值.【答案】(1)(2)偶函数(3)【详解】试题分析：（1）根据定义域的要求解出定义域即可；（2）奇偶性的证明首先定义域对称，再求解，得，所以为偶函数；（3）按照对数计算公式求解．试题解析：（1）由得所以函数的域为（2）因为函数的域为又所以函数为偶函数（3）43．利用图象判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)；(4)；(5).【答案】(1)奇函数(2)偶函数(3)偶函数(4)非奇非偶函数(5)偶函数【分析】根据函数解析式，结合二次函数的图象画出（1）（2）（5）的图形，结合指数函数的图象画出（3）的图形，结合对数函数的图象画出（4）的图形，由奇偶函数图象的对称性依次判断即可.【详解】（1）函数的定义域为，对于函数，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，画出函数的图象，如图所示，函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数；（2）函数的定义域为，对于函数，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，画出函数的图象，如图所示，函数图象关于y轴对称，故为偶函数；（3）先作出的图象，保留图象中x≥0的部分，再作出的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得的图象，如图实线部分．由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.（4）将函数的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数的图象，如图，由图知的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，所以该函数为非奇非偶函数；（5）函数，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，画出函数的图象，如图，由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.44．已知函数，（1）判断函数在上的单调性；（2）当时，比较与的大小；（3）若有零点，求实数m的范围．【答案】（1）增函数；（2）时，；时，；（3）．【分析】(1)由定义法证明还是单调性的方法步骤即可得到函数的单调性.(2)由（1）的单调性结论得出的范围，然后由当和时分别得出的范围，从而得出与的大小关系.（3）设，则且，由有零点即方程在且上有实数根，分离参数可得，从而可得答案.【详解】（1）任取，设则由，则，，所以，即所以，所以函数在单调递增.(2)由（1）可知当时，单调递增.所以，设当时，，所以当时，，所以所以时，；时，;(3)(且)设，则且有零点即方程在且上有实数根.又不是方程的实数根.所以，其中且由，当时，所以当且时，有零点.【点睛】关键点睛：本题考查利用定义法证明函数的单调性利用单调性得出函数的范围，从而比较大小，由函数有零点求参数的范围，解答本题的关键是将有零点，通过换元，则且，将之转化为方程在且上有实数根，然后再分离参数可得，属于中档题.45．已知函数．（1）若a＞1，求f（x）的定义域；（2）若f（x）＞0在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）{x|}（2）【分析】(1)由对数函数定义域的要求直接求解即可得出答案;(2)分类讨论和,然后利用复合函数的单调性来求解.【详解】(1)函数．由于所以,所以函数的定义域满足,整理得,所以函数的定义域为.(2)由于函数．且在上恒成立,令，则，所以，所以实数a的取值范围为.【点睛】本题考查了对数函数定义域的求解,考查了对数函数单调性的应用,属于一般难度的题.46．已知的定义域为．(1)求；(2)探究函数的单调性，并证明．【答案】(1)(2)减函数；证明见解析【分析】（1）由于，即可得到所求值；（2）函数在上单调递减，运用单调性的定义，同时结合对数函数的单调性，即可得证.【详解】（1）由于，则有；（2）函数在上单调递减，理由如下：令，则，由于，则，即有，即有，则有函数在上单调递减.47．已知函数.（1）求；（2）求函数的定义域；（3）证明函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）；（3）为偶函数，证明见解析.【分析】（1）将，代入解析式求出和的值，计算即可；（2）对数有意义，即真数大于，列出不等式计算即可；（3）函数为