专题4.3 对数-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题4.3对数一、单选题1．下列运算中正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.【详解】对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；对于选项B，，故B选项错误；对于选项C，错误，正确的应该是，故C不正确；对于选项D，，故D正确．故选：D．2．若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，求出的值，即可得解.【详解】由，得．又，所以．故选：D.3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a>5或a<2 B．2<a<3或3<a<5C．2<a<5 D．3<a<4【答案】B【详解】由对数的定义知所以2<a<3或3<a<5.选B.4．已知函数是奇函数,当时,,则(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根据奇函数的定义及对数的运算即可求解.【详解】由题意可知，，因为函数是奇函数，所以，故选：A．5．已知．若，则a＝（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由题可得出，即可求出.【详解】因为，所以，因为，所以，解得或2，因为且，所以.故选：A.6．已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案．【详解】因为，，所以．故选：D.7．定义在R上的函数满足，，且当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据条件可得，算出即可.【详解】∵，∴定义在R上的函数满足：，，∴故选：C8．已知，，则可以用、表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把指数式改为对数式，用换底公式把换成以18为底的对数，把真数36和45用5，9，18的乘除表示，然后用对数运算法则变形可得．【详解】，∴．故选：B．【点睛】本题考查对数的运算法则，考查对数的换底公式．解题时注意化为同底的对数，然后考虑对数的运算法则变形．9．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数和对数的互化以及对数运算法则即可得出结果.【详解】由可得，又所以.故选：B10．在下列四组函数中，与表示同一函数的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.【详解】对于A中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数；对于B中，函数的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；对于C中，函数的定义域为，而函数的定义域为，但是解析式不一样，所以两个函数不是同一个函数；对于D中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以不是同一个函数，故选:B.11．已知函数，则（

）A．-1 B．0C．1 D．2【答案】A【分析】根据分段函数解析式代入计算可得；【详解】解：因为所以，故选：A.12．设、，，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知变形可得出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为、，，，则，即，由题意可得，，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：A.13．已知为上的奇函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的值，然后利用奇函数的定义得出，即可得出结果.【详解】由题意得，由于函数为上的奇函数，因此，，故选A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，解题时要结合函数的解析式进行计算，考查计算计算能力，属于基础题.14．已知函数，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由对数函数的性质得出，再根据函数的单调性得出答案.【详解】由图可知，，即当时，函数为增函数，即故选：A【点睛】关键点睛：本题在比较大小时，关键是利用对数的运算，结合单调性得出.15．若，且，则等于A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】设，得到，再结合对数的运算公式，即可求得的值，得到答案.【详解】由题意，设，则，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的化简、运算求值问题，其中解答中熟记对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．设函数且，那么是（

）．A．奇函数，且在上是严格增函数 B．奇函数，且在上是严格减函数C．偶函数，且在上是严格增函数 D．偶函数，且在上是严格减函数【答案】A【分析】利用对数运算整理函数解析式，根据指数函数的单调性以及函数奇偶性的定义，可得答案.【详解】由，则，即，因为在上单调递增，在单调递减，所以在上单调递增；由，则为奇函数.故选：A.17．已知函数关于直线对称，对任意实数恒成立，且当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数关于直线对称可得为偶函数，由得是周期为的周期函数，最后利用周期性和奇偶性把转化到已知区间上求解.【详解】因为函数关于直线对称，所以关于轴对称，所以为偶函数，又，所以，所以是周期为的周期函数，所以故选：B18．党的二十大报告指出，“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战.加强污染物协同控制，基本消除重污染天气.”按照相关规定，某化工厂产生的废气中的某类污染物经过过滤装置的处理，含量降至过滤前的以下才能排放.已知过滤过程中，废气中污染物的含量（单位：mg/L）与时间（单位：min）的关系为，其中，是常数.若时，该类污染物的含量降为过滤前的，那么废气至少需要过滤（

）才能排放（结果保留整数，参考数据：）.A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】依题意可得，两边取对数求出的值，再令，根据指数与对数的关系及对数的运算法则计算可得.【详解】解：依题意可得，所以，两边取对数可得，所以，则，所以，令，即，所以，即，所以，所以废气至少需要过滤才能排放.故选：C19．已知某抽气机每次可抽出容器内空气的，要使容器内的空气少于原来的，则至少要抽的次数是（参考数据：）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意得出，将指数式化为对数式，解出的取值范围，即可得出结果.【详解】抽气机抽次后，容器内的空气为原来的，由题意可得，，因此，至少要抽的次数是.故选：B.【点睛】本题考查指数模型的应用，同时也考查了指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．当，且时，下列说法正确的是（

）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则A．①与② B．②与④C．② D．①②③④【答案】C【分析】对于①④，，无意义；由对数函数的性质可判断②③.【详解】对于①，若，无意义，则①不正确；对于②，若，则，则②正确；对于③，若，则，则或，则③不正确；对于④，若，无意义，则④不正确；故选：C.二、多选题21．已知，现有下面四个命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【分析】当时，由可得，进而得，当时，利用指对互化及换底公式可得.【详解】当时，由，可得，则，此时，所以A正确；当时，由，可得，则，所以B正确.故选：AB.【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题.22．已知，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】先判断，即可判断A；利用判断B；利用B的结论判断C；利用C的结论判断D.【详解】因为，所以，即A不正确；因为，所以，即B正确；由可知，，C正确；由可知，，则，即D正确．故选：BCD.23．已知函数，若，则的值可能为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AC【解析】根据，分和两种情况，利用对数方程和一元二次方程的解法求解.【详解】当时，，解得，当时，，解得，所以实数的值是2或－1，或故选：AC24．对于函数定义域内的任意当时，下述结论中正确的是（）A． B．C． D．E．【答案】CD【分析】利用对数的基本运算性质进行检验：A：根据对数的定义域可知，B：，C:，D:在单调递增，E:根据对数的运算法则和基本不等式即可得到．【详解】对于，函数的定义域为，故无意义，错误，对于，当，时，，，错误；对于，，正确．对于，在单调递增，则对任意的，都有即；∴正确对于，，=，∵∴，∴错误．故选【点睛】本题主要考查了对数的基本运算性质，对数函数单调性的应用，基本不等式的应用，属于知识的简单综合应用25．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（

）A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为0C．方程有无数个根 D．函数是增函数【答案】BC【分析】画出的图象，数形结合得到AD错误，B正确，再结合，在同一坐标系内画出，结合交点个数可得C正确.【详解】画出的图象，如下：可以看出无最大值，最小值为0，在每一段上单调递增，但在R上不具有单调性，故AD错误，B正确，因为，在图中画出，与有无数个交点，故有无数个根，C正确.故选：BC26．已知，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用基本不等式判断AB，由不等式性质和指数函数性质判断C．由基本不等式结合对数运算法则判断D．【详解】对于A，，则，当且仅当，时，等号成立．对于B，变形得，所以，当且仅当，即时，等号成立，故B错误．对于C，因为，所以，即，则．对于D，由可得，，，当且仅当，即，时等号成立．故选：ACD．27．下列计算结果为有理数的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】利用指数运算、对数运算化简选项ABD并判断结果，再分析选项C的结果作答.【详解】对于A，，结果是有理数；对于B，，结果是有理数；对于C，因为，且是无理数，因此不是有理数；对于D，，而，且是无理数，因此不是有理数.故选：AB28．已知正实数，满足，且，则的值可以为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】AD【分析】根据指对互化公式和指数的运算律即可求解.【详解】因为正实数，满足，且，所以，所以，所以，所以即解得或，当时，当时，故选：AD.29．下列命题正确的是（

）A．函数的图象过定点B．已知，，则C．若，则a的取值范围是D．为偶函数【答案】CD【分析】由函数的奇偶性、对数函数及指数函数的性质对选项逐一判定即可求得结果.【详解】对于A：令，则，故A错误；对于B：因为，所以，又得，两式相乘得，即，故B错误；对于C：因为即；若则，与矛盾；若则，故a的取值范围是，故C正确；对于D：函数的定义域为关于原点对称，，则为偶函数，故D正确.故选：CD30．设函数定义域为，若存在，且，使得，则称函数是上的“函数”，下列函数是“函数”的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A，根据基本不等式可知A不正确；对于B，当，时，计算可知B正确；对于C，根据基本不等式可知C不正确；对于D，当，时，计算可知D正确.【详解】对于A，当时，所以，所以，故函数不是“函数”故A不正确；对于B，当，时，，，满足，故函数是“函数”，故B正确；对于C，当正数时，所以，故函数不是“函数”，故C不正确；对于D，当，时，，，满足，故函数是“函数”，故D正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：理解新函数的定义是解题关键.三、填空题31．计算＝________.【答案】0【分析】利用对数运算性质和换底公式可得结果.【详解】.故答案为:032．计算：______________．【答案】【分析】利用指数、对数的运算性质以及对数恒等式可计算得出所求代数式的值.【详解】原式.故答案为：.【点睛】本题考查指数式与代数式的混合运算，考查指数、对数的运算性质以及对数恒等式的应用，考查计算能力，属于基础题.33．指数式的对数形式为_______.【答案】【分析】根据对数的概念和指数式和对数式的互换公式即可求解.【详解】由，根据指数式和对数式的互换公式，得.故答案为：.34．计算结果是_．【答案】4【分析】利用对数和指数的运算性质即可求解.【详解】因为，，，，所以．故答案为：.35．若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．【答案】＜【分析】作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解【详解】易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.故答案为：＜36．已知，，则______.【答案】【分析】利用指数互化及对数运算性质求解【详解】则，故故答案为：【点睛】本题考查指对互化及对数运算性质，是基础题，注意对数运算性质的合理运用．37．已知函数是定义域为的奇函数，当x<0时,，则___________.【答案】【分析】根据x<0时,，利用是定义域为的奇函数求解.【详解】解：因为函数是定义域为的奇函数，且当x<0时,，所以，故答案为：38．______．【答案】【分析】由指数和对数运算法则直接计算即可.【详解】.故答案为：.39．=______【答案】/【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质即可求解.【详解】，故答案为：.40．若为奇函数，当时，，则______．【答案】-2【分析】求出的值，利用奇函数的定义可求得的值.【详解】当时，，，又为奇函数，所以.故答案为：.四、解答题41．已知，，试用a，b表示下列各对数：（1）；

（2）；（3）；

（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】根据对数的运算性质及计算可得解.【详解】（1）；

（2）；（3）；

（4）42．不用计算器，求下列各式的值：（1）；

（2）.【答案】（1）；（2）2【分析】根据对数的基本公式与求解即可【详解】（1）；（2）43．计算：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用指数的运算性质化简可得结果；（2）利用指数的运算性质以及换底公式化简可得结果.(1)解：原式.(2)解：原式.44．计算：(1)＋－＋；(2)2log－log＋log－．【答案】(1)；(2)－1【分析】（1）根据指数运算法则求得结果；（2）根据对数运算法则求得结果.(1)原式＝10＋9－＋27＝；(2)原式＝log－log＋log－3＝log()－3＝2－3＝－1．45．求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）5.【解析】（1）利用指数的运算性质即可求