预备知识10 函数的表示法 （解析版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题10预备知识十：函数的表示法1、掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法2、会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点缺点联系解析法①简明、全面的概括了变量之间的关系；②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值；③便于利用解析式研究函数的性质；①并不是所有的函数都有解析式；②不能直观地观察到函数的变化规律；解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．图象法①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势；②可以直接应用图象来研究函数的性质；①并不是所有的函数都能画出图象；②不能精确地求出某一自变量相应的函数值；列表法①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值；①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系；②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律；知识点二：求函数解析式1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。知识点三：分段函数对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数．注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同；（2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围；（3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集．知识点四：函数的图象1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.2、函数图象的对称变换①的图象的图象；②的图象的图象；③的图象的图象；3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）①的图象的图象；（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）②的图象的图象.（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）对点特训一：函数的三种表示法的应用典型例题例题1．（23-24高二下·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接根据速度的变化快慢得答案.【详解】开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行驶，故图像上升速度变快，选项C符合.故选：C.例题2．（23-24高一上·北京·期中）已知两个函数和的定义域和值域都是集合，其定义如下表：x123x123231132则的值为．【答案】2【分析】根据表格的函数表示得，进而求目标式函数值.【详解】由表知：，则.故答案为：2精练1．（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在上的函数表示为:x0y102设，的值域为M，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据自变量所在区间判断出的值，然后根据表中数据可知值域.【详解】因为满足，所以，由表中数据可知：的取值仅有三个值，所以，故选：B.2．（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列结论中正确的是（

）A．任意一个函数都可以用解析式表示B．函数，的图象是直线上一些孤立的点C．表格可以表示y是x的函数x有理数无理数y1D．图象可以表示函数的图象【答案】BC【分析】利用函数的定义及表示方法一一判定选项即可.【详解】对于A项，并非所有函数都有解析式，故A错误；对于B项，函数，，是直线上对应的五个点，故B正确；对于C项，表格表示函数，因为对于任意自变量，都有唯一的函数值与之对应，故C正确；对于D项，图中对于任意自变量，并非都有唯一的函数值与之对应，故D错误.故选：BC对点特训二：求函数的解析式---待定系数法典型例题例题1．（23-24高一上·四川内江·期中）已知一次函数是R上的减函数，且，则=.【答案】【分析】设，代入，可得解析式.【详解】因为是R上的减函数，所以设，故，所以，解得或，又，得，所以.故答案为：例题2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知是二次函数，若，且．(1)求二次函数的解析式；(2)当时，求二次函数的最大值与最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，根据系数相等得到方程组，求出的值即可；（2）根据二次函数的性质即可得解.【详解】（1）设，由，得，所以，由，得，即，即，所以，解得，所以；（2）函数的对称轴为，所以.精练1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已已知是一次函数，且，求.【答案】或【分析】利用待定系数法求解．【详解】设，则，，或，或．故答案为：或.2．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知二次函数满足，且，.(1)求函数的解析式；(2)若，比较与的大小.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）设出二次函数代入，以及对称轴，求解即可；（2）依题意，分类讨论，得到结果.【详解】（1）设二次函数.由，得图象的对称轴为，所以，解得.由得，，可得.由得，，解得.所以.（2），当或时，，此时.当时，，此时.当或4时，，此时.对点特训三：求函数的解析式---换元法典型例题例题1．（2024高一·全国·专题练习）已知，则有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围.【详解】设，，则，，，所以函数的解析式为，．故选：B.例题2．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）若函数，则．【答案】【分析】利用换元法，令，再用表示代入原函数即可得.【详解】令，则，∴，故，∴.故答案为：.精练1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数，则的最小值是（

）A． B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可.【详解】令，则，且，所以，所以，当时，.故选：B2．（多选）（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，则（

）A． B．C．的最小值为1 D．的图象与轴有1个交点【答案】ACD【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可.【详解】令，得，则，得，故，，，A正确，B错误.，所以在上单调递增，，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确.故选：ACD题型四：求函数的解析式---凑配法典型例题例题1．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则函数的解析式是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用配凑法求解析式即可.【详解】，且，所以，.故选：B.例题2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数，则（

）．A． B．4 C． D．【答案】A【分析】求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【详解】函数，所以，．故选：A．精练1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，且，则（

）A．7 B．5 C．3 D．4【答案】A【分析】利用凑配法求函数的解析式，代入即可求解.【详解】,.,解得．故选：A.2．（22-23高一上·福建厦门·期末）已知，则.【答案】【分析】根据函数解析式凑项法得的解析式，从而可求的值.【详解】因为，所以，则.故答案为：.对点特训五：求函数的解析式---方程组法典型例题例题1．（2024高一·江苏·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令为，则，然后与联立可求出【详解】令为，则，与联立可解得，．故选：D．例题2．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数对定义域内的任意实数满足，则.【答案】【分析】本题可以构造方程组来求函数的解析式【详解】因为，取，则，即，两式相加可得，所以，故答案为：精练1．（22-23高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数，满足，且，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用求出，从而得解.【详解】因为，所以，联立可得，所以，，因为，所以，则，所以.故选：C.2．（23-24高一上·全国·课后作业）若，则．【答案】【分析】将用代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果.【详解】由①，将用代替得②，由①②得.故答案为：.对点特训六：分段函数求值典型例题例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据分段函数的解析式即可求解.【详解】因为，所以.故选：A.例题2．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数，则的值为.【答案】/【分析】利用的解析式，依次计算与即可得解.【详解】因为，所以,则.故答案为：.精练1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数，则（

）A． B．-3 C． D．【答案】C【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.【详解】依题意，，所以.故选:C.2．（23-24高一上·广西贺州·期末）设函数，则的值为；【答案】1【分析】代入即可求解.【详解】,,故答案为：1对点特训七：分段函数图象典型例题例题1．（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数.(1)求，的值；(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出的简图（不用列表）.【答案】(1)，(2)作图见解析【分析】（1）将以及代入解析式，即可得出答案；（2）在坐标系中，描出合适的点，用光滑的曲线连起来，即可得出函数图象.【详解】（1）由已知可得，，.（2）在坐标系中描点，，，，，作出的简图精练2．（23-24高一·山西·期中）设．（1）在图的直角坐标系中画出的图像；（2）若，求t值；（3）求函数的最小值．【答案】（1）答案见解析；（2）或，或；（3）-1.【分析】（1）根据解析式作出函数图像即可；（2）分别将时，时，当时的解析式代入方程，即可求得答案.（3）根据的图像，即可求得最小值.【详解】（1）的图像如下边：（2）当时，，∴；当时，，解得：；当时，，∴，综上所述：或，或．（3）由图可知：当时，，所以函数的最小值为．一、单选题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数，则（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】A【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为，所以，，所以.故选：A2．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】分，，求出解析式，然后可知图象.【详解】当时，，是一条过原点的线段；当时，，是一段平行于轴的线段；当时，，图象为一条线段.故选：A．3．（2024·吉林长春·三模）已知函数，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可.【详解】由函数可得，.故选：B.4．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知函数，若，则的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根据分段函数的解析式，分和两种情况分别求解即可.【详解】由已知得：当时，，解得：，或（舍），当时，，解得：，综上：的值为或,故选：C.5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的图象为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.【详解】因为，所以当时，，故排除ABC，又的图象可由函数的图象向右平移一个单位得到，则D正确.故选：D.6．（23-24高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意取特值点分析判断.【详解】由题意可知：，排除CD；，排除B.故选：A.7．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】换元法求函数解析式即可.【详解】设，则，所以，故，故选：C8．（23-24高一上·上海奉贤·期末）某车辆装配车间每装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产.从当天开始生产的时刻起经过的时间（单位：）与装配完成的车辆数（单位：辆）之间的函数表达式正确的是（

）（数学上，常用表示不大于的最大整数．）A．，； B．，；C．，； D．，.【答案】A【分析】根据条件知当时，，再对选项B、C、D逐项分析，即可判断出选项B、C、D不正确，即可得出结果.【详解】因为车间每装配完成一辆车，所以当时，，时，，时，，时，，时，，所以选项A正确，对于选项B，当时，，所以选项B错误，对于选项C，当时，，所以选项C错误，对于选项D，当时，，所以选项D错误，故选：A.二、多选题9．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数则（

）A． B．的最小值为C．的定义域为 D．的值域为【答案】CD【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得.【详解】依题意，，则，A错误；当时，，当且仅当时取等号，B错误；在中，，解得，因此的定义域为，C正确；显然，，于是，因此的值域为，D正确.故选：CD三、填空题10．（23-24高一上·广东韶关·期中），用表示中的最小者，记为，则函数的最大值为.【答案】/【分析】画出函数的图象，结合图象即可求得结果.【详解】如图所示，，即，，即，由图可知，