衔接点01 乘法公式（原卷版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

衔接点01乘法公式1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意义和应用2、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式展开与化简3、掌握立方和，立方差公式，并能灵活展开与化简4、掌握三数和公式展开过程，并能灵活应用1、初中知识再现（1）平方差公式：；注意公式的正逆应用.（2）完全平方公式：（3）高频应用方式：①②③④⑤⑥2、高中相关知识（1）立方和公式：（2）立方差公式：（3）两数和立方公式：过程：（4）两数差立方公式：过程：（5）三数和平方公式：过程：对点特训一：平方差公式的应用典型例题例题1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一个长方形的宽为，长为，则这个长方形的面积是（

）A． B． C． D．例题2．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．例题3．（2023·浙江丽水·模拟预测）先化简，再求值：，其中．精练1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）下列不能用平方差公式计算的是（）A． B．C． D．2．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）已知，，则．3．（2024·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中．对点特训二：完全平方公式的应用典型例题例题1．（2023·广西南宁·模拟预测）阅读材料：数学计算中常利用公式变形求解，例如“已知，，求的值．”可以这样解：将完全平方公式变形得到．请根据阅读材料解决问题：如图，已知长方形周长为，，则的值是（

）A． B． C． D．例题2．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）若，则的值是（

）A．4 B．8 C．12 D．16例题3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）读材料，解答下列问题：若，求的值．小明的解题方法：，，∴10．小亮的解题方法：设：，，则，∴．(1)任选材料中一种方法解答：若，求的值；(2)如图1，长方形空地，米，米，在中间长方形上安放雕塑，四周剩余的宽度相同，设该宽度为x米，则长方形中，米，米（用含x的代数式表示）；(3)在（2）的条件下，如图2，以长方形四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形的面积为平方米，求种花的面积．（结果保留π）精练1．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）仔细观察下图，依据图形面积间的关系，不添加辅助线，便可得到一个熟悉的公式，这个公式是（

）

A． B．C． D．2．（2023·吉林四平·模拟预测）先化简，再求值：，其中．3．（2023·海南海口·模拟预测）（1）计算：；（2）化简．对点特训三：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的应用典型例题例题1．（23-24八年级上·北京·期中）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：；根据材料和已学知识，化简结果为；当时分式的值为．例题2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家．杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．方法提取数学学习活动，是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，在平方差公式的基础上，可以对式子a3﹣b3进行如下推导：．对于，称为立方差公式．公式推导（1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式：．学以致用（2）请灵活运用公式进行因式分解：①；②．③例题3．（23-24八年级上·河南信阳·期末）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：．根据材料和已学知识解决下列问题(1)因式分解：；(2)先化简，再求值：，其中．例题4．（23-24八年级上·江西南昌·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家。杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式。两数的立方差公式是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），这个公式的推导过程如下：a3﹣b3＝a3﹣a2b+a2b﹣b3＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．(1)利用上述方法推导立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）（从左往右推导）；(2)已知a+b＝1，ab＝﹣1，a＞b，求a2+b2，a3﹣b3的值．精练1．（23-24七年级上·上海松江·期中）利用多项式乘法法则计算：（1）=；=．在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：（2）；（直接写出答案）（3）；（直接写出答案）（4）；（写出解题过程）2．（23-24七年级上·上海普陀·阶段练习）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：立方差公式：如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：（2）因式分解：（3）已知：的值3．（23-24七年级上·全国·单元测试）阅读理解题：拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：原式公式：，根据上述论法和解法，（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）因式分解：．4．（23-24·湖南湘潭·）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：

；根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．第01讲乘法公式(分层精练）A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）下列等式能够成立的是（

）A． B．C． D．2．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）下列乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（

）A． B．C． D．3．（23-24八年级上·贵州黔南·阶段练习）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（

）A． B．C． D．4．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）下列各式，能用平方差公式计算的是（

）A． B． C． D．5．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）下列各式，不能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．6．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）多项式加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单项式不能是（

）A． B． C． D．7．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）若多项式是完全平方式，则的值为（

）A．16 B．4 C． D．8．（2023七年级下·江苏·专题练习）由可得，即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（）A．B．C．D．二、填空题9．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若是完全平方式，则的值是．10．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知：，且，则．三、解答题11．（21-22六年级下·山东淄博·期中）根据，可得．即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．(1)把立方和公式①中的b改用－b替代时，可得立方差公式，请直接写出立方差公式______．(2)立方和和立方差公式统称为立方公式，请根据立方公式判断计算能直接运用公式吗？若能，请直接写出答案；