函数的概念及表示 （学生版）

PAGE21授课主题函数的概念及表示年级高一知识梳理知识点一：函数关系与依赖关系的联系(1)具有依赖关系的两个变量，不一定具有函数关系；(2)当且仅当对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定值时，才称这两个变量之间有函数关系；(3)运用图形语言说明变量x，y间的关系：结合依赖关系及函数（初中）的定义可知，图2-1中变量x，y间具有依赖关系，但不具有函数关系；而图2-2中变量x，y间具有函数关系和依赖关系．知识点二：函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.注：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）可以“多对一”、“不可一对多”；（4）A中元素的无剩余性；（5）B中元素的可剩余性。知识点三：区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：设a，b∈R，且a<b，规定如下定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x<a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)1.区间的左端点必小于右端点；2.区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；3.用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示；4.无穷大(∞)是一个符号，不是一个数，因此它不具备数的一些性质和运算法则；5.包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“＋∞”或“－∞”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号．知识点四：同一个函数1.前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.知识点五：常见函数的值域(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a<0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).知识点六：函数的三种表示方法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系知识点八.分段函数分段函数在书写时要用大括号，把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段的定义域.1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.4.注意事项(1)分段函数是一个函数而不是几个函数；(2)分段函数中各段自变量的取值范围的交集是空集；(3)处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系.例题讲解知识点1、函数关系的判断例1、下列对应是集合到集合的函数的是(

)A．，B．，，C．，D．，例2、下面图象中，不能表示函数的是(

)A．B．C．D．练习：1．(多选)下列对应关系是实数集上的函数的是()A．：把对应到 B．：把对应到C．：把对应到 D．：把对应到2．(多选)托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是(

)A．B．C．D．3．已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是(

)A．B．C．D．4．(多选)下列是函数图象的是(

)A．B．C．D．知识点二、区间的表示例1、把下列数集用区间表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}.练习：1．集合可用区间表示为()A． B． C． D．2．若实数满足，则用区间表示为()A． B． C． D．知识点三、函数的定义域例1、函数的定义域为(2)求函数的定义域为________．例2、已知函数的定义域为，则函数的定义域是__________.(2)已知函数的定义域为[－2,2]，则函数的定义域为______.(3)函数的定义域为，则函数的定义域是__________.例3、已知函数的定义域为，则函数的定义域是(

)A． B． C． D．例4、已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为()A．{x|x∈R} B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．练习：1．函数的定义域为______．2．函数的定义域为________.3．已知函数的定义域为则的定义域为_________________4．函数的定义域为，则的定义域为________.5．如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x(单位：m)的矩形草坪(阴影部分)，要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______.知识点四、同一函数的判断例1、下列函数表示同一个函数的是(

).A．与 B．与

C．与 D．与练习：1．下列各函数中，与函数表示同一函数的是(

)A． B．C． D．2．下列每组中的函数是同一个函数的是(

)A．， B．，C．， D．，3．下列各组函数为同一函数的是()①与;②与;③与.A．①② B．① C．② D．③知识点五、三种函数的表示方法例1、某公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：行进的站数123456789票价111222333此函数的关系除了图表之外，能否用其他方法表示？练习：1．司生产了10台机器，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.2．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数.3．已知完成某项任务的时间与参加完成此项任务的人数之间满足关系式，当时，；当时，，且参加此项任务的人数不能超过8．(1)写出关于的解析式；(2)用列表法表示此函数；(3)画出此函数的图象．知识点六、求函数值或值域例1、已知，，求：(1)；(2)；(3).例2、试求下列函数的定义域与值域．(1)，；(2)；(3)；(4).练习：1．)(多选)下列函数与的值域相同的是(

)A． B．C． D．2．求下列函数的值域.(1);(2);(3),.(4)知识点三函数解析式例1、根据下列条件，求的解析式.(1)已知(2)已知(3)已知是二次函数，且满足练习：1．根据下列条件，求的解析式(1)已知满足(2)已知是一次函数，且满足；(3)已知满足2．根据下列条件，求函数的解析式．(1)已知，则的解析式为__________．(2)已知满足，求的解析式．(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．知识点八、分段函数例1、已知函数.(1)求的值；(2)若，求的值.例2、已知函数．(1)求的值；(2)画出函数的图象．例3、已知.(1)用分段函数的形式表示该函数.(2)画出区间上的的图象；(3)根据图象写出区间上的值域.练习：1．已知函数(1)求，，；(2)若，求的值．2．已知函数.(1)求，的值；(2)作出函数的简图；(3)由简图指出函数的值域；3．已知函数.(1)在所给坐标系中作出的简图；(2)解不等式.4．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①公里以内(含公里)，票价元；②公里以上，每增加公里，票价增加元(不足公里的按公里计算)．如果某条线路的总里程为公里，(1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式；(2)画出该函数的图像．举一反三1．函数的定义域为(

)A．B．C．D．2．若函数的定义域为，则的定义域为(

)A． B． C． D．3．若函数的定义域为，则的定义域为(

)A．B．C．D．4．已知函数的定义域是，则的定义域是(

)A． B． C． D．5．下列四组函数中，表示同一函数的是(

)A．与B．与C．与D．与6．下列四组函数中，表示相同函数的一组是(

)．A．， B．，C．， D．，7．下列函数中，值域是的是()A．B．，C．，D．8．某同学离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d轴表示该学生离学校的距离，t轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是()A．B．C．D．9．(多选)下列四个图象中，是函数图象的是(

)A．

B．

C．

D．

10．(多选)下列各组函数不是同一个函数的是(

)A．与B．与C．与D．与11．(多选)下列函数定义域和值域相同的是(

)A． B． C． D．12．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(

)

A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．当0≤x≤30时，y与x的关系式为D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为13．(多选)下列各曲线中，能表示y是x的函数的是(

)A．B．C．D．14．函数的定义域为______.15．若函数的定义域为[－2,1]，则的定义域为_______，的定义域为______．16．(1)已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．(2)已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．17.试求下列函数的定义域与值域.(1)，(2)(3)(4)18．(1)已知，求的解析式；(2)已知，求函数的解析式；(3)已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；(4)已知，求的解析式．(5)已知的定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．19．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．20．已知函数(1)求的值；(2)若，求的值；(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的定义域和值域．21．已知函数(1)求；(2)若，求的值；(3)在给定的坐标系中，作出函数的图像.22．求下列函数的值域．(1)，；(2)；(3)，；(4)y＝；(5)y＝2x－.课堂小结一.根据图形判断对应关系是否为函数的方法1.任取一条垂直于x轴的直线l；2.在定义域内平行移动直线l；3.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.二.判断一个对应关系是否为函数的方法三．求函数定义域1.如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.2.如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.3.如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合.4.如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集.5.如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.四．判断两个函数为同一函数1.定义域、对应关系两者中只要有一个不同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数.2.函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.3.在化简解析式时，必须是等价变形.五．求函数值1.方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.2.关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.六．求函数值域的常用方法1.观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域.2.配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.3.换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.4.分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.七．求函数解析式1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：(1)换元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.(2)配凑法：即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.3.待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.八．分段函数1.函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.3.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤：(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型；(2)设函数式：设出函数的解