03-MATLAB矩阵运算解析

3MATLAB矩阵运算在MATLAB中，矩阵和向量这两个词经常换用。严格的说，矩阵是指以实数或复数为元素的长方形向量。MATLAB的数值矩阵运算能力十分强大。MATLAB提供了几十个函数用来生成各种各样的矩阵。导航矩阵定义矩阵的基本运算特殊矩阵稀疏矩阵3.1 矩阵定义在MATLAB中，矩阵用中括号括起来表示，同一行的数据用空格或逗号分隔，不同行用分号分隔。1直接输入A=ones(3,4)%生成3×4阶全1矩阵B=magic(3)%生成3×3阶魔方矩阵C=randn(2,3)%生成2×3阶正态分布随机数矩阵I=eye(3)%生成3×3阶单位矩阵3.2 矩阵的基本运算3.2.1矩阵的加减运算两个矩阵的加减运算必须满足以下两个条件之一维数相同，即行数和列数分别相同；其中一个为标量。A=[124;231;145];B=ones(3);X=A+B3.2 矩阵的基本运算3.2.2矩阵的乘法在MATLAB中，乘法运算符为*。矩阵A*B有意义，当且仅当满足下列条件之一：矩阵A的列数等于矩阵B的行数；其中之一为标量。A=magic(3)%A为3阶魔方矩阵B=pascal(3)%B为3阶帕斯卡矩阵C=A*BD=A.*B%注意乘法和点乘的区别3.2 矩阵的基本运算3.2.3矩阵的除法A=[1,2;3,4];B=[2,2;2,2];X=A./B%A中元素除以B中相应元素Y=A.\B%B中元素除以A中相应元素A=rand(3)B=pascal(3)A\B%矩阵左除，结果与inv(A)*B相同B/A%矩阵右除，结果与B*inv(A)相同3.2 矩阵的基本运算3.2.4矩阵转置和共轭转置A=[1,2,3]B=A‘%实矩阵的普通转置C=[2+3i,1+2i]D=C’%对于复矩阵，“’”表示共轭转置E=C.‘%普通转置用“.’”表示普通转置用“.’”表示3.2 矩阵的基本运算3.2.5矩阵指数运算A=[1,3;2,4;2,5];X=exp(A)%其中X(i,j)=exp(A(i,j))3.3 特殊矩阵3.3.1空矩阵a=1:4;b=find(a<1)%操作无结果时返回空矩阵b=[]size([])%空矩阵维数为0ans=00sum([])ans=03.3 特殊矩阵3.3.2eye矩阵,zeros矩阵eye(3,2)%单位矩阵可以是长方阵ans=100100[eye(2),zeros(1,2)]ans=1000103.3 特殊矩阵3.3.3

hadamard矩阵哈得马德矩阵广泛的应用在信号处理和数值分析中。哈得马德矩阵满足H‘*H=n*I的性质，当n能被4整除时，哈得马德矩阵存在hadamard(4)ans=11111-11-111-1-11-1-113.4 稀疏矩阵在实际应用中，常常碰到含有大量0元素的矩阵，这样的矩阵称为稀疏矩阵。如果按照普通矩阵对待稀疏矩阵，0元素将占据大量的存储空间和内存空间，影响运算速度。为了提高计算机的存储效率，采用了只存储非零元素和表示这些元素行列位置的下标数组的方法。同时，为了回避对零元素进行复杂的代数运算，采取了特殊的算法来求解这样的矩阵问题。3.4 稀疏矩阵类型函数名描述基本稀疏矩阵生成函数Speye生成单位稀疏矩阵Sprand生成均匀分布随机稀疏矩阵Sprandn生成正态分布随机稀疏矩阵sprandsym生成对称的随机稀疏矩阵spdiags由带状数据生成稀疏矩阵转换函数sparse生成稀疏矩阵full把稀疏矩阵转化成满矩阵find查找非零元素下标spconvert从其它格式中载入稀疏矩阵3.4 稀疏矩阵稀疏矩阵基本运算函数nnz求稀疏矩阵非零元素个数nonzeros求非零元素nzmax非零元素所占存储空间spones把稀疏矩阵的非零元素全部替换成1spalloc为稀疏矩阵分配空间issparse判断是否是稀疏矩阵spfun只对矩阵的非零元素进行运算spy查看稀疏矩阵中非零元素的分布变换函数colmmd对列的秩作最小的变换symmmd对称秩最小变换symrcmCuthill-McKee对称逆变换colperm列变换randperm随机变换dmpermDulmage-Mendelsohn变换线性代数相关函数线性代数相关函数Eigs求稀疏矩阵的特征值Svds求稀疏矩阵的奇异值Luinc不完全LU分解Cholinc不完全Cholesky分解Normest估计稀疏矩阵二范数Condest一范条件数估计3.4 稀疏矩阵线性代数相关函数线性代数相关函数Eigs求稀疏矩阵的特征值Svds求稀疏矩阵的奇异值Luinc不完全LU分解Cholinc不完全Cholesky分解Normest估计稀疏矩阵二范数Condest一范条件数估计Sprank求稀疏矩阵的结构秩迭代法解线性方程组Pcg预处理共扼梯度法Bicg双共扼梯度法bicgstab稳定双共扼梯度法Cgs共扼梯度平方法gmres最小残差法qmr最小残差平方法消元树函数etree求矩阵的消元树向量streeplot画消元树图形treeplot画向量的树图形treelayout显示树的结构其它一些函数gplot按图论画出稀疏矩阵spy显示稀疏结构symbfact因式分解spparms稀疏矩阵程序参数设置spaugment产生对称稀疏不定方阵3.4 稀疏矩阵3.4.1创建和转换稀疏矩阵1直接创建稀疏矩阵u=[12334];v=[12234];s=[54321];S=sparse(u,v,s,4,4)%4*4的稀疏矩阵%稀疏矩阵的显示与满阵不同，只显示非零元素3.4 稀疏矩阵3.4.1创建和转换稀疏矩阵2稀疏矩阵和满阵之间的转换S=sparse(eye(5))full(S)whosNameSizeBytesClassA5x5200doublearrayS5x584sparsearray%稀疏矩阵更节省空间，维数增加后更明显3.4 稀疏矩阵3.4.1创建和转换稀疏矩阵3稀疏矩阵的查看loadwest0479%MATLAB内置的稀疏矩阵west0479whosspy(west0479)%查看矩阵west0479的结构图spy(west0479,15)%采用15个像素单位的点来绘制稀%疏矩阵的结构图3.4 稀疏矩阵3.4.2稀疏矩阵的举例speye(3)%生成3×3阶单位稀疏矩阵,同sparse(eye(3))S=[0100;1000;0100;0010]A=sprand(S)%生成与S相同结构的随机稀疏矩阵B=sprandn(S)%生成与S相同结构的正态随机稀疏矩阵C=sprandsym(A)%由上述矩阵A的下三角及主对角线部分创建的对称阵full(A)full(C)MATLAB中对满矩阵的运算和函数同样可用在稀疏矩阵中3.5矩阵的常用操作方法

3.5.1查找矩阵中的元素1

find函数:返回非零元素的索引和值X=[104-300086];find(X)X(find(X))find(X>1)X(find(X>1))3.5矩阵的常用操作方法

3.5.1查找矩阵中的元素A=[1:4;5:8];ind=find(A>3)%返回大于3的元素的线性索引[m,n]=find(A>3)%返回元素的行下标，列下标A(find(A>3))=03.5矩阵的常用操作方法

3.5.1查找矩阵中的元素2ind2sub和sub2ind函数[I,J]=ind2sub(siz,IND)IND=sub2ind(siz,I,J)siz为矩阵的大小，IND线性索引值，I、J为行列下标A=[1:4;5:8];ind=find(A>3);%返回大于3的元素的线性索引[I,J]=ind2sub(size(A),ind)%返回元素的行、列下标IND=sub2ind(size(A),I,J)%返回线性索引3.5矩阵的常用操作方法

3.5.2删除矩阵中的指定元素