高中数学必修2空间几何典型例题及讲解

数学必修2第一章

一、学习目标:

1.相识柱、锥、台、球及其简洁组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简洁物

体的结构。

2.能画出简洁空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直观图，

能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。

二、重点、难点：

重点：空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；空间几何体

的三视图与直观图的画法。

难点：柱、锥、台、球结构特征的概括；识别三视图所表示的空间几何体;几何体的侧面绽开

图，计算组合体的表面积和体积。

三、考点分析：

三视图是新课程改革中出现的内容，是新课程高考的热点之一，几乎每年都考，同学们要予

以足够的重视。在高考中常常以选择、填空题的形式出现，属于基础或中档题，但也要关注三视

图以供应信息为目的，出现在解答题中。这部分学问主要考查学生的空间想象实力与计算求解实

力。

1.多面体

棱柱、棱锥、棱台

2.旋转体

圆柱、圆锥、圆台、球

3.三视图

（1）正视图、侧视图、俯视图

（2）三种视图间的关系

4.直观图

水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法

4.多面体的面积和体积公式

名称侧面积（S«（）全面积（S至）体积（V）

棱棱柱直截面周长X1S底・h=S直—一・h

S侧+2S底

柱直棱柱chS底・h

棱锥各侧面面积之和

棱1

S例+S底—S底h

3

锥正棱锥-chz

2

棱台各侧面面积之和1

棱一h（S上底+SF底

3

|(C+c')h，S例+S上底+S卜底

台正棱台+上底6下底）

表中S表示面积，c，、c分别表示上、下底面的周长，h表示高度，h，表示斜高，1表示侧棱长。

5.旋转体的面积和体积公式

名称圆柱圆锥圆台球

S恻

271rl7rrl7i(r1+r2)l

222

S金27tr(l+r)7rr(l+r)7c(ri+r2)l+7t(ii+r2)4nR

43

223

Vnrh(即nrl)—irrh—nh(ri+rir2+r2)-TtR

333

表中1、h分别表示母线长、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径，小n分别表示圆台上、

下底面的半径，R表示半径。

学问点一柱、锥、台、球的结构特征

例1.下列叙述正确的是（）

①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。

②两个底面平行且相像，其余各面都是梯形的多面体是棱台。

③有两个面相互平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。

④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥。

⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成

的旋转体叫圆台。

⑥用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台。

⑦通过圆锥侧面上一点，有多数条母线。

⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体。

A.①②③④⑤⑥⑧B.①③④⑦⑧

C.①②⑤⑧D.⑤

思路分析：遇到概念推断问题，肯定要在理解透彻相关概念的基础上，细致分析，假如推断

它是正确的，必需能紧扣定义，而不是模棱两可地去作推断；假如推断它是错误的，只需找到一

个反例即可。

解答过程：如图所示，由图（1）可知①是错误的；由图（2）可知②③是错误的；由图（3）

可知④是错误的；由图（4）可知⑥是错误的。

因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线，所以“通过圆锥侧面上一点，有多

数条母线。”是错误的，即⑦是不正确的。

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的应当是球面，半圆面旋转一周形成的

才是球体。所以⑧是错误的。

所以只有⑤是正确的。故应选D。

解题后的思索：在作推断的时候没有严格的依据定义进行多角度分析，而是只抓住定义中的

某一点就作出推断，简洁导致错误。

学问点二组合体

例2.如图，下列组合体是由哪几种简洁几何体组成的？

解答过程：

（1）由一个三棱锥和一个四棱锥组成，为左右结构

（2）由两个三棱锥组成，为上下结构

（3）由圆锥和圆台组成，为上下结构

学问点三柱、锥的侧面绽开图

例3.小明在一个正方体盒子的每个面都写有一个字母，分别是：A、B、C、D、E、F,其平面

绽开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“A”相对的面所写的字母是哪一个？

思路分析：在每个格子中标明你所想象的面的位置，如将A格标明"上”，将B格标明"前”

等等。

解答过程：为字母“E”

解题后的思索：本题突出考查了学生将正方体各面绽开图复原为正方体的空间想象实力。

例4.如图所示，为一个封闭的立方体，在它的六个面上标出A,B,C,D,E,F这六个字母，

现放成下面三种不同的位置，所望见的表面上的字母已标明，则字母A,B,C对面的字母分别是

（）

A.D,E,FB.F,D,EC.E,F,DD.E,D,F

思路分析：本题处理方法比较敏捷，要将几个图结合起来一起分析。

解答过程：由（1）（2）两个图知，A与B,C,D相邻，结合第（3）个图知，B,C与F共

顶点，所以A的对面为E同理B,C的对面分别为D,E,故选择B。

解题后的思索：本题考查推理实力以及空间想象实力。也可先结合图（1）（3）进行推断。

例5.用长和宽分别是3%和"的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的底面半径？

思路分析：要留意哪条边是圆柱的母线，哪条边是圆柱底面的圆周。

解答过程：设圆柱底面圆的半径为r,由题意可知矩形长为底面圆的周长时，3%=2犷，解

3131

得矩形宽为底面圆的周长时，万=2",解得r=上。故圆柱的底面半径为3或上。

2222

解题后的思索：本题学生常常会丢解，即主观认为只有图中所示的状况，即以3万作为底面周

长，而忽视了它也可作为母线这种状况。

学问点四旋转体中的有关计算

例6.一个圆台的母线长12。加，两底面面积分别为4农m2和25笈Tn2,求：

(1)圆台的昌1；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长。

思路分析：通过作截得此圆台的圆锥的轴截面，构造直角三角形与相像三角形求解。

解答过程：(1)作4"J.Q4

7rr'=4"r=2•/成2=25乃R=5

：.AH=3

4H=7122-32=3V15

(2)与AVAO相像

"A.

~VA~AO

VA=20

解题后的思索：通过构造旋转体的轴截面，将立体问题转化为平面问题。

例7.已知球的两个平行截面的面积分别为5万和8万，且距离为3,求这个球的半径。

思路分析：两截面的相互位置可能出现两种状况，一种是在球心。的同侧，另一种是在球心

0的异侧。

解答过程：(1)当两截面在球心O的同侧时，

如图所示，设这两个截面的半径分别为外，弓，球心0到截面的距离分别为4,42,球的半径

为R。

•/4•片=5肛九・=8肛.二L=5,4=80

又丁R?=r：+d；=r1+d\,

?.d；一或=r；-r；=3,

即(4—4)(4+4)=3。

X•/d}-d2=3,

[d——3,[d,—2,

・••,x:「解得，।

[dl+a2=1,[a2=—1.

又丁d2>0,.•.这种状况不成立。

(2)当两截面在球心0的异侧时，4+&2=3,

由上述解法可知(4一4)(4+4)=3,

\d+乩=3,[d—2,

.•Jx12解得《x1

[J,—d2=1,\d2—1.

:.R=个r：+d；=j5+4=3。

综上所述，这个球的半径为3。

解题后的思索：同学们要留意不要只对同侧的状况进行探讨,而忽视对另一种位置关系的探

讨。

学问点五画几何体的三视图

例8.画出如图所示的三棱柱的三视图。

思路分析：在正视图中，中间的竖线看不到，应画成虚线；侧视图是从左侧看三棱柱投射到

竖直的正对着的平面上的正投影，所以不是三棱柱的一个侧面，而应当是过底面正三角形的一条

高线的矩形。

解答过程：

解题后的思索：画三视图的时候要做到“长对正、宽相等、高平齐”，还要留意实线与虚线的

区分。

学问点六三视图中的推想问题

例9.依据下列三视图，说出各立体图形的形态。

思路分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。正视图反映物体的主要

形态特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和正视图共同反映物体的长相等。

侧视图和俯视图共同反映物体的宽相等。据此就不难得出该几何体的形态。

解答过程：（1）圆台；（2）正四棱锥；（3）螺帽。

解题后的思索：三视图的画法里要留意“长对正”，“高平齐”，“宽相等”，另外，还要熟识基

本空间几何体的三视图。

七、直观图的还原与计算问题

例10.已知△ABC，是水平放置的边长为a的正三角形ABC的斜二测水平直观图，那么

的面积为。

思路分析：先依据题意，画出直观图，然后依据△A，B，C直观图的边长及夹角求解。

解答过程：如图甲、乙所示的实际图与直观图。

A'B'=AB-a,O'C--OC--a。在图乙中作CD±AE于D，,则

24

C'D'=—O'C'=~a.所以SAAB©=』A'B'-C'D'=Lxax逅a=^a'故填逅

28MBC2281616

解题后的思索：该题求直观图的面积，因此应在直观图中求解，需先求出直观图的底和高,

然后用三角形面积公式求解。本题旨在考查同学们对直观图画法的驾驭状况。

例11.如图所示，正方形的边长为1C7M,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则

原图形的周长是。

思路分析：先依据题意，由直观图画出原图形

解答过程：逆用斜二测画法的规则画出原图如下图所示，由BC//OA且BC=OA,易知OABC

为平行四边形。在上图中，易求O，B，=拒，所以OB=2近。

又OA=1,所以在RtABOA中，A3=7(272)2+12=3。

故原图形的周长是2x(3+l)=8(cm),应填

y*

J；B

D'0Ax

解题后的思索：该题考查的是直观图与原图形之间的关系，及逆用斜二测画法的规则。

例12：已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下面底中心)的上、

下底面边长分别是2cm与4cm，侧棱长是ncm,试求该三棱台的体积。

思路分析：利用棱台的体积计算公式，求出棱台的高，上、下底面的面积，代入公式即可。

解答过程：如图所示，。'、。是上、下底面的中心，连结。0‘、O'B'、0B,在平面BOO'B'

内作于E。

•.•△A'5'C'是边长为2的等边三角形，。'是中心,

：.0，B，4x2x2=正

323

4J3

同理OB=*,则=-=2上A/3

33

在RtAB'EB中,BB'=遥,BE=^~

3

J42J42

/.BrE=--，即棱台高为？一emo

3

A7V14

所以三棱台的体积为V枝台

3

7

(cm3)o

解题后的思索：将求体积的立体问题转化为平面问题求解，是立体几何中的常用方法。

例13：一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49万cm?和400万cm?,求球的

表面积和体积。

思路分析：求球的表面积和体积关键是求出球的半径，可考虑球的轴截面。

解答过程：（1）当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面。由球的截面性质，知

AOJ!BO2,且01、以分别为两截面圆的圆心，则。。iLAa，1B02O

设球的半径为

•乃•O?8，=49%,B=7。

同理，乃•0仙2=400万，.•.O|A=20。

设OO]=x,则OC)2=X+9。

在R/AOO1A中，R-=x2+202,

在中，R2=(X+9)2+72,

.-.X2+202=72+(X+9)2,解得X=15。

R2=X2+202=252,/./?=25o

23

S球=4成2=2500万(cm),匕米=：成3=62；00万(cm),

球的表面积为2500;rcm2,体积为殷W^cn?。

3

(2)当截面位于球心。的两侧时，如图所示为球的轴截面。由球的截面性质，知。3〃OzB,

且Q、02分别为两截面圆的圆心，则_LAO,,OO21O2B。设球的半径为R。

2

7iO2B,:.O2B=7.

2

同理，7r-OtA=400%，O|A=20。

设。iO=x,则OO?=9—X。

在R/AOO|A中，R2=x2+400,

在m△00/中，R?=(9-x)2+49,

.-.X2+400=(9-X)2+49,解得x=-15,不合题意，舍去。

综上所述，球的表面积为2500/rcm2,体积为国迎乃cn?。

3

解题后的思索：解题时要留意，球的截面可能位于球心的同侧，也可能位于球心的两侧。

例14：求半径为R的球内接正方体的表面积。

思路分析：正方体内接球时，球与正方体关系如图(1),过不相邻的两条棱的平面截球，所

得截面如图(2),只有深刻理解其相互关系，才能画出正确的截面图进行解题。

⑴

解答过程：如图（1）所示，设正方体棱长为X,2=（2/?）2,

._2A/3_

.,x------R，

3

、2

.‘一A（2之

一》正方体表面积一°XK=8R、

7

即正方体的表面积为8/?2。

解题后的思索：组合体问题，尤其是球与其他几何体的组合问题，始终是高考中的热点，所

以同学们在平常的解题中应留意视察，有关球的组合体中各图形的位置关系。

（答题时间:60分钟）

一、选择题:

1.下列儿何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）

A.①②B.0(3)C.①④D.②④

2.将正三棱柱（底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱）截去三个角（如图甲所示，A、B、C分

别是aGHI三边的中点）得到几何体如图乙所示，则该几何体按如图所示方向的侧视图为（）

3.假如用□表示一个立方体，用餐表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么

下图中由7个正方体叠加而成的几何体的正视图是（）

CD

4.下列说法正确的是（)

A.相互垂直的两条直线的直观图肯定是相互垂直的两条直线

B.梯形的直观图可能是平行四边形

C.矩形的直观图可能是梯形

D.正方形的直观图可能是平行四边形

5.已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA=4,AC=2V3,则该三棱锥得

到侧视图的面积为（）

3____

A.9B.6C.-V13D.V39

2

6.若正方体的八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积

之比是（）

A.V3B.72C.马D.—

V32

二、填空题:

6.一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是

7.圆台的两底面半径分别为2,5,母线长是3亚，则其轴截面面积是

三、解答题:

8.画出下列几何体的三视