2024年高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义练习含解析新人教A版必修4

PAGE1-2.4.1平面对量数量积的物理背景及其含义1.已知|a|=3,向量a与b的夹角为,则a在b方向上的投影为(D)(A) (B) (C) (D)解析:向量a在b方向上的投影为|a|cosθ=3×cos=.故选D.2.设向量a,b满意|a+b|=,|a-b|=,则a·b等于(A)(A)1 (B)2 (C)3 (D)5解析:因为|a+b|=,所以|a+b|2=10,即a2+2a·b+b2=10.①又因为|a-b|=,所以a2-2a·b+b2=6.②由①-②得4a·b=4,则a·b=1.3.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·等于(D)(A)-a2 (B)-a2 (C)a2 (D)a2解析:·=(+)·=·+=a2+a2=a2.4.若非零向量a,b满意|a|=|b|,且(2a+b)·b=0,则向量a,b的夹角θ为(A)(A) (B) (C) (D)解析:由(2a+b)·b=0得2a·b+b·b=0,即2|a|·|b|·cosθ+b2=0,又|a|=|b|,且a,b为非零向量,所以2|a|2cosθ+|a|2=0,所以cosθ=-,所以θ=.故选A.5.已知向量a与b不平行,且|a|=|b|≠0,则下列结论中正确的是(A)(A)向量a+b与a-b垂直 (B)向量a-b与a垂直(C)向量a+b与a垂直 (D)向量a+b与a-b平行解析:设a,b的夹角为θ,则0<θ<π,因为(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以(a+b)⊥(a-b),A正确,D错误;因为(a-b)·a=a2-a·b=a2-a2cosθ≠0,所以a-b与a不垂直,B错误;因为(a+b)·a=a2+a·b=a2+a2cosθ≠0,所以a+b与a不垂直,C错误.故选A.6.若向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-()b,则a与c的夹角为(D)(A)0 (B) (C) (D)解析:a·c=a·［a-()b］=a·a-a·b()=a·a-a·a=0,则a与c的夹角为.故选D.7.函数y=tan(-)(0<x<4)的图象如图所示,A为图象与x轴的交点,过点A的直线l与函数的图象交于C,B两点,则(+)·等于(D)(A)-8 (B)-4(C)4 (D)8解析:由题中正切函数图象知|OA|=2,A为BC的中点,所以(+)·=2=8.故选D.8.若等边△ABC的边长为1,平面内一点M满意=+,则·的值为(D)(A) (B) (C) (D)-解析:=+=-+,=+=-,所以·=-+·-=-.9.已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a与b的夹角为.

解析:因为(a+2b)·(a-b)=|a|2-2|b|2+a·b=-2,|a|=|b|=2,所以a·b=2,设a与b的夹角为θ,所以cosθ==.因为θ∈[0,π],所以θ=.答案:10.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=.

解析:因为c=ta+(1-t)b,所以b·c=ta·b+(1-t)b2=t×1×1×+(1-t)×1=+1-t=1-.因为b·c=0,所以1-=0,所以t=2.答案:211.以下四种说法中正确的是.

①假如a·b=0,则a=0或b=0;②假如向量a与b满意a·b<0,则a与b所成的角为钝角;③△ABC中,假如·=0,那么△ABC为直角三角形;④假如向量a与b是两个单位向量,则a2=b2.解析:由数量积的定义知a·b=|a||b|cosθ(θ为向量a,b的夹角)①若a·b=0,则θ=90°或a=0或b=0,故①错.②若a·b<0,则θ为钝角或θ=180°,故②错;③由·=0知B=90°,故△ABC为直角三角形,故③正确;④由于a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,故④正确.答案:③④12.在△ABC中,M是线段BC的中点,AM=3,BC=10,则·=.

解析:·=(+)·(+)=(-)·(+)=-=9-×100=-16.答案:-1613.已知|a|=1,|b|=.(1)若a∥b且同向,求a·b;(2)若向量a,b的夹角为135°,求|a+b|.解:(1)若a∥b且同向,则a与b的夹角为0°,此时a·b=|a||b|=.(2)|a+b|====1.14.已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,a=3e1-2e2,b=2e1-3e2.(1)求a·b的值;(2)求a+b与a-b的夹角的大小.解:(1)a·b=(3e1-2e2)·(2e1-3e2)=6-13e1·e2+6=6-13cos120°+6=.(2)设a+b与a-b的夹角为θ,则cosθ===0,所以θ=90°,即a+b与a-b的夹角为90°.15.O为△ABC所在平面内一点,且||2+||2=||2+||2=||2+||2,求证:⊥.证明:设=a,=b,=c,可得=c-b,=a-c,=b-a.由已知得+=+=+,得a2+(c-b)2=b2+(a-c)2=c2+(b-a)2,即c·b=a·c=b·a,所以·=(b-a)·c=b·c-a·c=0,即⊥.16.已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=3,则向量2a+3b在向量2a+b方向上的投影为(D)(A) (B) (C) (D)解析:依据数量积公式可得投影为====,故选D.17.已知菱形ABCD边长为2,∠B=,点P满意=λ,λ∈R,若·=-3,则λ的值为(A)(A) (B)- (C) (D)-解析:由题意可得·=2×2×cos60°=2,·=(+)·(-)=(+)·[(-)-]=(+)·[(λ-1)·-]=(1-λ)-·+(1-λ)·-=(1-λ)·4-2+2(1-λ)-4=-6λ=-3,所以λ=.故选A.18.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°且AC=BC=4,点M满意=3,则·=.

解析:·=(+)·=·=(-)·==4.答案:419.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠B