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文档简介
中学数学微积分
一、导数
1.导数的定义
定义:设函数y=f(x)在点/的某邻域内有定义,若极限lim/G)一,('%)存在,则称函
Xf%x-xQ
数/在点/处可导,并称该极限值为函数/在点/处的导数,记为/(%)(或
九』崇若令x=%+Ax,Ay=/(/+8)-/(、),则
lim,一,(。)可改写为,(玉>十人)一,(玉>)=r(x0).所以,导数是函数增量A),与自
x»0X-XQADAx
变量增量Ax之比的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均改变率(又称差商),而导数
/,(X。)则为了在X。处关于X的改变率.若lim/3一,㈤极限不存在,则称/在点/处不行
X-XQ
导.
2.导函数
若函数在区间/上每一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数),则称/为/上的可
导函数.此时,对每一个xe/,都有/的一个导数/'(x)(或单侧导数)与之对应,这样就定
义了一个在/上的函数,称为/在/上的导函数,也简称为导数,记为了'或即
/,(x)=lim上但二xG.
17A-0Ax
3.导数的几何意义
函数/在点/处的导数/(与)是曲线y=/(x)在点(%,%)处的切线斜率.曲线y=/(x)
在点(%,No)处的切线方程为y—yQ=/'(x0)(x—x0).
4.求导法则
(1)基本求导法则
①(N土y)=ur±vr;
②=〃"+〃/,(c〃)'=c"(c为常数);
④反函数导数电1=_L;
dxdx
dy
⑤复合函数导数包=包.£色.
dxdudx
(2)基本初等函数导数公式
①(c)'=0(c为常数);
②(x“)'=ax"T(a为随意实数);
③(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx;
④(tanx)=sec2x>(cotx)=-esc2x,
(secx)=secxtanx,(esex)=-cscxcotx;
⑤(a')'=a,lna,(e')'=e'.
⑥(log“x)',(Inx/=-•
xlnax
5.导数的应用
(1)推断函数单调性
定理:设函数“X)在区间I上可导,则〃x)在/上递增(减)的充要条件是r(x)>()(<()).
推论:设函数/(X)在区间/上可导,若/'(x)>0(<0),则/(X)在区间/上严格递增(严
格递减).
(2)函数的极值
定义:若函数/(x)在点4的某邻域U(x0)内对一切xeU(/)有
,/(x0)>/(%)(/(^)</(X)),则称函数/(x)在点与取得极大(小)值,称点与为极大(小)
值点.极大值和微小值统称为极值;极大值点和微小值点统称为极值点.
(3)最值
对于闭区间[a,可上的连续函数/(x),我们只要比较了在全部稳定点、不行导点和区间端点
上的函数值,就能从中找到f在区间[a,句上的最大值与最小值.
二、定积分
1.定义:设/是定义在[a,句上的一个函数,J是一个确定的实数.若对任给的正数£,总
存在某一正数使得对[a,句的任何分割T,以及在其上随意选取的点集侑},只要用<5,
就有'/(A)©,-/<£,则称函数/在区间[。,句上可积或黎曼可积;数J称为/在区间
1=1
[a,可上的定积分或黎曼积分,记为其中/称为被积函数,x称为积分变量,
[a,可称为积分区间,a/分别称为这个定积分的下限和上限.
牛顿一莱布尼茨公式:若函数/在[。,可上连续,且存在原函数/,即F(x)=/(x),
xe[«,b],则/在[a,可上可积,且J:/(xg=FS)-F(a),这称为牛顿一莱布尼茨公式,
它也常写为[/(万通=*对匕.
2.几何意义:对于[a,可上的连续函数/,当"x)20,xe[«,b],定积分的几何意义就
是y=/(x),x=a,x-h,y=0所围成的曲边梯形的面积;当xe[«,同时,
这时是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数,不妨称之为“负面积”;对于
一般非定号的/(x)而言,定积分1/的值则是曲线y=/(x)在x轴上方部分全部曲边梯形的正面
积与下方部分全部曲边梯形的负面积的代数和.
3.性质:
性质1:若/在[。,句上可积,左为常数,则以在[a,可上也可积,且
性质2:若/、g都在[a,句上可积,则f+g在[a,可上也可积,且
f[/(x)±g⑺及=f/(x依±fg"g'
性质3:若于、g都在[a,句上可积,则7-g在[a,可上也可积.
性质4:/在口,句上可积的充要条件是:任给ce(a,>),/在[a,可与[“,句上都可积.此
时又有等式\"f(x)dx=+[J(xg.
性质5:设/为[a,句上的可积函数.若/(x)20,xe[a,h],则[)(》>仪20.
性质6:若/在[a,句上可积,则仍在[a,句上也可积,且1性.
性质7:(积分第一中值定理)若/在[a,可上连续,则至少存在一点自€口,h],使得
<•I)
性质8:设/在[a,句上连续,若尸(x)=,xe[a,可贝!JE(x)在[a,句上到处
可导.
4.定积分的应用
①求平面图形的面积:由连续曲线y=/(x)(20)以及直线x=a,x=b(a<b),y=0所
围成的曲边梯形的面积为A=f/(xg=J:Mc,假如/在[a,可上不都是非负的,则所围成
图形的面积为A=J,/(x)Rr=f]y".一般地,由上、下两条连续曲线y=/j(x)与y=/(x)
以及两条直线x=a,x=b(a<))所围成的平面图形的面积为A=f"(x)-/(%))&.
三、例题选讲
例1求下列函数的导数.
(1)y=x5x3+x;(2)y=sinx+cosx;
(3)y=x;(4)y=x2cosx+3x+l.
1+x
解析:依据求导法则及四则运算进行求解.
(1)yf=(x5)+(x3)+x'=5x4+3x2+1;
(2)yr=(sinx)+(cosx)=cosx-sinx;
_xr(l+x)-x(l+x)_1
⑶T岛(1+X)2=(17^;
(4)yr=(x2)cosx+x2(cosx)+3=2xcosx-x2sinx+3.
例2求过曲线y=21nx上点A(e,2)处的切线方程.
fO
解析:利用导数的几何意义得到切线斜率是解题关键.•・•:/=(21nx)由导数的几何
X
意义,曲线在点A(e,2)处的斜率%=*|」==,故所求的切线方程为y-2=*(x-e),即
xee
2x-ey=0.
例3求=+8的单调区间.
解析:令y'=4x3_4x=4xQ2-1)=4x(x+1)=0,得f=0,x2--i,x3=1,
列表如下;
X(-00,-1)(-1,0)(0,1)(1,+00)
/(X)小于0大于0小于0大不)
/(X)单调递减单调递增单调递减单调递增
所以/(x)在区间(—1,0),(1,+00)上单调递增;在区间(一8,—1),(0,1)上单调递减.
例4已知函数/(x)=x3一;x2+bx+C.
(I)若F(x)有极值,求〃的取值范围;
(2)若/(X)在x=l处取得极值,当xe[-1,2]时,/(x)</恒成立,求C•的取值范围;
(3)若/(X)在x=l处取得极值时,证明:对[-1,2]内的随意两个值占,x2,都有
解析:⑴f'(x^3x2-x+b,令/'Q”。,由△>(),得1一1»>0,即。<g;
(2)因为/(x)在x=l处取得极值,故/⑴=0,即3-1+6=0,得b=—2,令/'(x)=0,
22
得为二一§,々=1,当x的取值为一§,1,一1,2时,经比较,当尤=2时,/(x)max=2+c,
所以2+c</,解得c>2或cv-l;
(3)可以计算得了(x)m,x=2+c,/(x)mm=—:+c,所以对[一1,2]内的随意两个值七,/,
都有|/(西)一/(了2
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