高中数学-微积分

中学数学微积分

一、导数

1.导数的定义

定义：设函数y=f（x）在点/的某邻域内有定义，若极限lim/G）一,（'%）存在,则称函

Xf%x-xQ

数/在点/处可导，并称该极限值为函数/在点/处的导数，记为/（%）（或

九』崇若令x=%+Ax,Ay=/（/+8）-/（、）,则

lim，一，（。）可改写为，（玉＞十人）一，（玉＞）=r（x0）.所以，导数是函数增量A），与自

x»0X-XQADAx

变量增量Ax之比的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均改变率（又称差商），而导数

/,（X。）则为了在X。处关于X的改变率.若lim/3一,㈤极限不存在,则称/在点/处不行

X-XQ

导.

2.导函数

若函数在区间/上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称/为/上的可

导函数.此时，对每一个xe/,都有/的一个导数/'（x）（或单侧导数）与之对应，这样就定

义了一个在/上的函数，称为/在/上的导函数，也简称为导数，记为了'或即

/，（x）=lim上但二xG.

17A-0Ax

3.导数的几何意义

函数/在点/处的导数/（与）是曲线y=/（x）在点（%,％）处的切线斜率.曲线y=/（x）

在点（%,No）处的切线方程为y—yQ=/'（x0）（x—x0）.

4.求导法则

（1）基本求导法则

①（N土y）=ur±vr；

②=〃"+〃/,（c〃）'=c"（c为常数）；

④反函数导数电1=_L；

dxdx

dy

⑤复合函数导数包=包.£色.

dxdudx

(2)基本初等函数导数公式

①(c)'=0(c为常数)；

②(x“)'=ax"T(a为随意实数)；

③(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx；

④(tanx)=sec2x>(cotx)=-esc2x,

(secx)=secxtanx,(esex)=-cscxcotx；

⑤(a')'=a，lna,(e')'=e'.

⑥(log“x)',(Inx/=-•

xlnax

5.导数的应用

(1)推断函数单调性

定理:设函数“X)在区间I上可导,则〃x)在/上递增(减)的充要条件是r(x)>()(<()).

推论：设函数/(X)在区间/上可导，若/'(x)>0(<0),则/(X)在区间/上严格递增(严

格递减).

(2)函数的极值

定义：若函数/(x)在点4的某邻域U(x0)内对一切xeU(/)有

,/(x0)>/(%)(/(^)</(X)),则称函数/(x)在点与取得极大(小)值，称点与为极大(小)

值点.极大值和微小值统称为极值；极大值点和微小值点统称为极值点.

(3)最值

对于闭区间［a,可上的连续函数/(x),我们只要比较了在全部稳定点、不行导点和区间端点

上的函数值，就能从中找到f在区间［a,句上的最大值与最小值.

二、定积分

1.定义：设/是定义在［a,句上的一个函数，J是一个确定的实数.若对任给的正数£,总

存在某一正数使得对［a,句的任何分割T,以及在其上随意选取的点集侑｝,只要用<5,

就有'/(A)©,-/<£，则称函数/在区间［。，句上可积或黎曼可积；数J称为/在区间

1=1

［a,可上的定积分或黎曼积分，记为其中/称为被积函数，x称为积分变量，

［a,可称为积分区间，a/分别称为这个定积分的下限和上限.

牛顿一莱布尼茨公式：若函数/在［。，可上连续，且存在原函数/，即F(x)=/(x),

xe［«,b］,则/在［a,可上可积，且J：/(xg=FS)-F(a),这称为牛顿一莱布尼茨公式,

它也常写为［/(万通=*对匕.

2.几何意义：对于［a,可上的连续函数/,当"x)20,xe［«,b］,定积分的几何意义就

是y=/(x),x=a,x-h,y=0所围成的曲边梯形的面积；当xe［«,同时，

这时是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨称之为“负面积”；对于

一般非定号的/(x)而言，定积分1/的值则是曲线y=/(x)在x轴上方部分全部曲边梯形的正面

积与下方部分全部曲边梯形的负面积的代数和.

3.性质：

性质1：若/在［。,句上可积，左为常数，则以在［a,可上也可积，且

性质2：若/、g都在［a,句上可积，则f+g在［a,可上也可积，且

f［/(x)±g⑺及=f/(x依±fg"g'

性质3：若于、g都在［a,句上可积，则7-g在［a,可上也可积.

性质4：/在口，句上可积的充要条件是:任给ce(a,>)，/在［a,可与［“，句上都可积.此

时又有等式\"f(x)dx=+［J(xg.

性质5：设/为［a,句上的可积函数.若/(x)20,xe［a,h］,则［)(》>仪20.

性质6：若/在［a,句上可积，则仍在［a,句上也可积，且1性.

性质7：(积分第一中值定理)若/在［a,可上连续，则至少存在一点自€口，h］,使得

<•I)

性质8：设/在［a,句上连续，若尸(x)=,xe［a,可贝!JE(x)在［a,句上到处

可导.

4.定积分的应用

①求平面图形的面积：由连续曲线y=/(x)(20)以及直线x=a,x=b(a<b),y=0所

围成的曲边梯形的面积为A=f/(xg=J：Mc,假如/在［a,可上不都是非负的，则所围成

图形的面积为A=J，/(x)Rr=f］y".一般地，由上、下两条连续曲线y=/j(x)与y=/(x)

以及两条直线x=a,x=b(a<))所围成的平面图形的面积为A=f"(x)-/(%))&.

三、例题选讲

例1求下列函数的导数.

(1)y=x5x3+x；(2)y=sinx+cosx；

(3)y=x；(4)y=x2cosx+3x+l.

1+x

解析：依据求导法则及四则运算进行求解.

(1)yf=(x5)+(x3)+x'=5x4+3x2+1；

(2)yr=(sinx)+(cosx)=cosx-sinx；

_xr(l+x)-x(l+x)_1

⑶T岛(1+X)2=(17^；

(4)yr=(x2)cosx+x2(cosx)+3=2xcosx-x2sinx+3.

例2求过曲线y=21nx上点A(e,2)处的切线方程.

fO

解析：利用导数的几何意义得到切线斜率是解题关键.•・•：/=(21nx)由导数的几何

X

意义，曲线在点A(e,2)处的斜率％=*|」==，故所求的切线方程为y-2=*(x-e),即

xee

2x-ey=0.

例3求=+8的单调区间.

解析：令y'=4x3_4x=4xQ2-1)=4x(x+1)=0，得f=0，x2--i,x3=1,

列表如下；

X(-00,-1)(-1,0)(0,1)(1,+00)

/(X)小于0大于0小于0大不)

/(X)单调递减单调递增单调递减单调递增

所以/(x)在区间(—1,0),(1,+00)上单调递增；在区间(一8,—1),(0,1)上单调递减.

例4已知函数/(x)=x3一;x2+bx+C.

(I)若F(x)有极值，求〃的取值范围；

(2)若/(X)在x=l处取得极值，当xe［-1,2］时，/(x)</恒成立，求C•的取值范围；

(3)若/(X)在x=l处取得极值时，证明：对［-1,2］内的随意两个值占，x2,都有

解析：⑴f'(x^3x2-x+b,令/'Q”。，由△>(),得1一1»>0,即。<g；

(2)因为/(x)在x=l处取得极值，故/⑴=0,即3-1+6=0,得b=—2,令/'(x)=0,

22

得为二一§,々=1，当x的取值为一§，1，一1，2时，经比较，当尤=2时，/(x)max=2+c,

所以2+c</,解得c>2或cv-l；

(3)可以计算得了(x)m,x=2+c,/(x)mm=—：+c,所以对［一1,2］内的随意两个值七，/，

都有|/(西)一/(了2