大学物理基础教程（全一册） 第3版 课件 第6、7章 电磁感应 电磁场；振动和波

第6章

电磁感应电磁场教学内容:6.1电磁感应定律6.2

动生电动势和感生电动势6.3

自感和互感6.1电磁感应定律6.1.1电磁感应现象演示：

当条形磁铁插入或拔出线圈回路时,在线圈回路中会产生电流;当磁铁中线圈面积发生变化时，回路中产生电流.

而当磁铁与线圈保持相对静止时,回路中不存在电流.1.闭合导体回路与磁铁之间有相对运动时2.闭合导体回路的一部分在均匀磁场中运动当闭合电键和断开电键时，回路中就有电流产生。以通电线圈代替条形磁铁

当载流主线圈相对于副线圈运动时,线圈回路内有电流产生.演示：3.闭合导体回路与载流线圈无相对运动，且载流线圈中电流改变时，同样可引起电磁感应现象7.1电磁感应定律结论:

当穿过闭合回路的磁通量发生变化时,回路中都有电流产生.这种现象称为:电磁感应现象回路闭合时，回路不闭合时，

电磁感应现象中产生的电流称为感应电流,

相应的电动势称为感应电动势不论采用什么方法，只要使线圈中的磁通量发生变化，线圈中就会出现感应电流，也就是出现感应电动势。而且磁通量变化的越快，感应电流越大；反之越小。7.1电磁感应定律改变通过回路(线圈)的磁通量的办法①B变化，而

S和

θ均不变；②S变化，而B和

θ均不变；③θ变化，而B和S均不变；这就是线圈在磁场中旋转；④B，S和

θ三个量中有两个在变化；⑤B，S和

θ均在变，也会使通过线圈的磁通量发生变化。7.1电磁感应定律

法拉第（MichaelFaraday,1791-1867），伟大的英国物理学家和化学家.他创造性地提出场的思想，磁场就是法拉第最早引入的.他是电磁理论的创始人之一，于1831年发现电磁感应现象，后又相继发现电解定律，物质的抗磁性和顺磁性，以及光的偏振面在磁场中的旋转.1846年荣获伦福德奖章和皇家勋章.6.1.2法拉第电磁感应定律7.1电磁感应定律

当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时,回路中产生的感应电动势的与穿过回路的磁通量对时间变化率的负值成正比.法拉第电磁感应定律1.式中2.式中“-”的物理意义是感应电动势总是反抗磁通的变化LL回路绕行方向dSn时,电动势的方向与L的方向相反;电动势的方向与L的方向相同.时,7.1电磁感应定律令每匝的磁通量为

1、

2、

3

感应电流：感应电荷：3.若回路由N匝线圈串联而成全磁通(磁通链):N称为磁通链数.则7.1电磁感应定律例题6-1

一长直螺线管，半径r1=0.020m，单位长度的线圈匝数为n=10000，另一绕向与螺线管绕向相同，半径为r2=0.030m，匝数N=100的圆线圈A套在螺线管外，如图所示.如果螺线管中的电流按0.100A/s的变化率增加，求(1)圆线圈A内感应电动势的大小和方向；(2)在圆线圈A的a，b两端接入一个可测量电量的冲击电流计.若测得感应电量q=20.0×10-7C，求穿过圆线圈A的磁通量的变化值.已知圆线圈A的总电阻为10Ω.分析：7.1电磁感应定律εRIIAab分析：(1)取线圈A

的绕行正方向与螺线管内电流的方向相同，则回路A的法线en的方向与螺线管中B的方向相同.通过A每匝线圈的磁通量为解：7.1电磁感应定律εRIIAabEi=4π×107×104×100×3.14×(0.020)2×0.100

≈1.58×10-4(V)(2)在线圈A的两端接入冲击电流计，形成回路.得感应电量为7.1电磁感应定律(1)取线圈A

的绕行正方向与螺线管内电流的方向相同，则回路A的法线en的方向与螺线管中B的方向相同.通过A每匝线圈的磁通量为NS6.1.3楞次定律楞次(1804~1865),俄国物理学家和地球物理学家,1845年倡导组织了俄国地球物理学会.1836年~1865年任圣彼得堡大学教授,兼任海军和师范等院校物理学教授.7.1电磁感应定律

电磁感应现象产生的感应电流的方向,总是使感应电流的磁场通过回路的磁通量阻碍原磁通量的变化.楞次定律闭合电路中感应电流的方向，总是要使得它激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化。

闭合电路中感应电流的磁通总是力图阻碍引起感应电流的磁通的变化。7.1电磁感应定律“感应电流的方向”是我们应用此定律的目的。“总是”意味着不论哪一种情况下都是如此。“阻碍原来磁场的变化”或“阻碍原来磁通量的变化”。当原来的磁场增强时，感应电流产生反方向磁场，阻碍原来磁场增强；当原来磁场减弱时，感应电流产生同方向磁场，阻碍原来磁场减弱。具体来说，是阻碍原来磁通量的变化，而不是阻碍原来的磁通量。当磁通量增加时，感应电流产生反方向磁场，阻碍原来磁通量增加；当原来磁通量减少时，感应电流要产生同方向的磁场，阻碍原来磁通量减少。7.1电磁感应定律“阻碍”和“变化”“增反减同”其中的“增”和“减”指的是通过线圈的磁通量的“增加”和“减少”，“反”和“同”指的是感应电流的磁场与原来磁场的方向之间的关系。教材上将其表述为：在发生电磁感应时，导体闭合回路中产生的感应电流具有确定的方向，总是使感应电流所产生的磁场穿过回路面积的磁通量，去补偿或者反抗引起感应电流的磁通量的变化.

7.1电磁感应定律NSNS_+_+2.举例增反减同7.1电磁感应定律SNSN_+_+改换磁铁的极性增反减同7.1电磁感应定律GNSGSNGSNGNS7.1电磁感应定律(1)确定闭合电路中原来磁场的方向(2)确定磁通量如何变化即磁场是增强还是减弱，具体地说，是确定通过闭合回路中的磁通量是增加还是减少。(3)根据楞次定律确定感应电流产生的磁场方向

具体的说：如果磁通量增加，感应电流产生反向磁场；如果磁通量是减弱，感应电流产生同向磁场，即“增反减同”。(4)用右手螺旋法则确定感应电流的方向

3.利用楞次定律的解题步骤7.1电磁感应定律

(1)这里一定要注意：定律中所说感应电流的磁场总是要阻碍原来磁场的变化，并不是要阻碍原来的磁场。

(2)楞次定律之所以有如上的形式，是符合能量守恒定律的，否则，能量就会无中生有。

4.说明N电磁永动机

过程将自动进行，磁铁动能增加的同时，感应电流急剧增加，而i

，又导致

i

…而不须外界提供任何能量。7.1电磁感应定律定律中负号的说明负号表示电动势的方向，也就是表示感生电流的方向。这就是说：这样的法拉第电磁感应定律不仅能给出了感应电动势的大小，而且也给出了感应电动势的方向。

(3)考虑了楞次定律之后，法拉第电磁感应定律的形式7.1电磁感应定律例题6-2如图所示，一长直电流I旁距离

处有一与电流共面的圆线圈，线圈的半径为R，且R<<r.就下列两种情况求线圈中的感应电动势.。(1)若电流以速率

增加(2)若线圈以速率v向右平移.解：因为R<<r，所以线圈所在处磁场可看作均匀(1)按法拉第电磁感应定律，感应电动势大小为感应电动势：逆时针方向.7.1电磁感应定律(1)按法拉第电磁感应定律，感应电动势大小为由楞次定律可知，感应电动势为逆时针方向.(2)按法拉第电磁感应定律由楞次定律可知，感应电动势为顺时针方向.7.1电磁感应定律

在考虑到楞次定律之后，一般把法拉第电磁感应定律写成如下的形式

在实际使用中，先计算电动势的大小，然后用楞次定律确定电动势的方向。

由楞次定律可知，感应电动势为顺时针方向.7.1电磁感应定律(2)按法拉第电磁感应定律6.2动生电动势和感生电动势动生电动势麦克斯韦涡旋电场的假说感生电动势感生电场感生电场(涡旋电场)的计算引起Φ变化的原因：1.磁场变化（B变化）2.导体运动（S变化）3.线圈转动（θ变化）回路动引起的动生电动势

动磁场变引起的感生电动势

感感应电动势++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++NS1.磁场不变，导体运动

动生电动势

2.导体不动，磁场变化

感生电动势+++++++++++++++++++++++++++++++++++a-b---++动生电动势的非静电力来源洛伦兹力6.2.1动生电动势1.动生电动势的定义在恒定磁场中，运动着的导体内部产生的电动势叫做动生电动势。

+++---运动着的导线ab相当于一个电源.

在电源内部，电动势方向是由低电势指向高电势的，因此a点的电势比b点的高，a端相当于电源的正极，b端相当于负极.2.动生电动势中的非静电力问题：洛仑兹力是静电力还是非静电力？+-7.2动生电动势和感生电动势非静电力所对应的非静电场强电动势的定义ab上的动生电动势在电源内部把单位正电荷从b移到a，非静电力做的功7.2动生电动势和感生电动势ab上的动生电动势由于v与B垂直,与dl平行，+-电动势方向b

a导体ab中的电子同时参于两种运动。（1）随导体向右做匀速直线运动。速度为v（2）受洛仑兹力向下漂移（形成电流），速度为u

合速度为v

′=v+u，所受的洛仑兹力3.

动生电动势能量来源7.2动生电动势和感生电动势f的作用是提供非静电能，形成电流，该力在单位时间内所做的功为而力f′的功率为7.2动生电动势和感生电动势回路的电能来自外界的机械能，而不是来自磁场的能量，这就是发电机的能量原理.例题6-3如图所示，长为L的铜棒在磁感强度为B的均匀磁场中，以角速度

在与磁场方向垂直的平面内绕棒的一端沿顺时针方向转动，求铜棒两端的感应电动势.解：在PQ上距P点为l处，取一小段dl，方向由P指向Q，则该段上的电动势为+++++++++++++++++++++++++++++++++++PQ(v×B)·dl=vBdl=lωBdl

7.2动生电动势和感生电动势电动势的方向就是非静电力的方向，即为v×B的方向，由P指向Q，Q点的电势高，P点的电势低。7.2动生电动势和感生电动势计算动生电动势的方法有两种：1.用洛仑兹力公式推导出的计算；2.用法拉第定律计算。若是闭合电路，可用公式求出回路的动生电动势；若是一段开路导体，则将其配成为闭合电路，仍可用此式计算，所求得的是导体两端的电动势。7.2动生电动势和感生电动势例一矩形导体线框，宽为l，与运动导体棒构成闭合回路。如果导体棒一速度v作匀速直线运动，求回路内的感应电动势。解：

BAv法一电动势方向A

B7.2动生电动势和感生电动势法二：

BAvx7.2动生电动势和感生电动势.NSNS产生了感生电动势！产生了动生电动势！7.2动生电动势和感生电动势判断：矩形线圈中出现动生电动势矩形线圈中出现感生电动势矩形线圈中出现感生电动势7.2动生电动势和感生电动势判断：

(1)电动势等于把单位正电荷从电源的负极经电源内部移动到电源的正极非静电力所做的功(2)我们把感应电动势划分成动生电动势和感生电动势具有一定的相对性。

7.2动生电动势和感生电动势1.感生电动势的定义导体固定不动，因磁场的变化而在导体内产生的感应电动势叫做感生电动势。

2.感生电动势中的非静电力（1）使电荷加速的力不是洛仑兹力（2）使电荷加速的力不是库仑力6.2.2感生电动势感生电场7.2动生电动势和感生电动势

产生感生电动势的非静电力是洛伦兹力？还是静电场力？

麦克斯韦认为：变化的磁场总是要在其周围的空间激发电场，这种电场不同于静电场，叫做感生电场（或涡旋电场）。

其电场强度用E感表示，电荷在感生电场中也会受到感生电场力qE感的作用。

3.麦克斯韦假说

所以产生感生电动势的原因是，变化的磁场在空间激发感生电场，电荷在感生电场中受电场力的作用而定向运动形成电流。7.2动生电动势和感生电动势

式表明，感生电场

Ek沿回路

L的线积分等于磁感应强度B穿过该回路所包围面积的磁通量随时间变化率的负值。

当选定积分回路的绕行方向后，面积的法线方向与绕行方向呈右手螺旋关系。7.2动生电动势和感生电动势感生电动势：

感生电场是非保守场

和均对电荷有力的作用.4.感生电场和静电场的对比

静电场是保守场

静电场由电荷产生；感生电场是由变化的磁场产生

.感生电动势的公式：（1）相同点：（2）不同点①电场线不同②产生的原因不同③性质不同（遵守的规律不同）7.2动生电动势和感生电动势③性质不同（遵守的规律不同）

静电场满足静电场的高斯定理和环路定理高斯定理说明，静电场是有源场；

环路定理说明静电场是无旋场；静电场是有源场无旋场，

从而可以引入电势的概念来描述静电场。7.2动生电动势和感生电动势感生电场是涡旋性质的场，是有旋场，满足=0感生电场是无源有旋场，为非保守力场。因而不能引入电势的概念。

E＝E库＋E感7.2动生电动势和感生电动势

感生电场与变化的磁场的关系:5.涡电流及应用感应电流不仅能在导电回路内出现，而且当大块导体与磁场有相对运动或处在变化的磁场中时，在这块导体中也会激起感应电流.这种在大块导体内流动的感应电流,叫做涡电流,简称涡流.应用热效应、电磁阻尼效应.7.2动生电动势和感生电动势由变化的磁场所激发电场线是闭合曲线,无源场,涡旋场,非保守场对处于其中的静止电荷有作用力由静止电荷所激发电场线起正终负，不闭合，有源场，保守场

静电场感生电场对导体中的自由电荷有作用力总结：感生电场和静电场的异同7.2动生电动势和感生电动势[实验一]线圈中的电流增大。

现象：在闭合开关K的瞬间，灯S2立刻正常光．而灯S1却是逐渐从暗到明，要比灯S2迟一段时间正常发光．7.3自感和互感6.3.1自感6.3自感和互感1.

自感现象分析：

由于线圈L自身的磁通量增加，而产生了感应电动势，这个感应电动势的作用是阻碍磁通量的增加，即原来所加电压相反，阻碍线圈中电流的增加，故通过与线圈串联的灯泡的电流不能立即增大到最大值，它的亮度只能慢慢增加．[实验二]线圈中的电流减小。7.3自感和互感现象:开关断开时，灯泡不是立即熄灭，而是先闪亮一下，然后熄灭。III’I’[实验二]线圈中的电流减小。这种由于线圈自身内部的电流发生变化，而在线圈自身内部引起的感应现象叫做自感现象，产生的电动势叫做自感电动势，用εL表示或ε自表示。7.3.1自感7.3自感和互感2.自感系数一个密绕的N匝线圈，通有电流为I，B∝I

设通过线圈的磁通量为Φ自，则Φ自∝I

线圈自身的电流产生的磁场通过自身的磁通量叫做自感磁通。

Ψ自∝I

Ψ自叫做自感磁链。

Ψ自＝LI（6-12）L是比例系数，它是由线圈本身的性质所决定的，与Ψ自和I无关。7.3自感和互感（6-13）

理论和实验均表明，L与线圈的几何形状、尺寸大小、匝数以及周围磁介质及其分布有关，而与回路中的电流无关.说明L是反映线圈自感强弱的物理量，我们把它叫做自感系数，简称为自感。（1）（2）7.3自感和互感2、自感的两种定义

（1）自感系数在数值上等于线圈中的电流强度为1单位时，线圈自身的磁通匝链数；

或者说，自感系数在数值上等于单位电流引起的自感磁链。

（2）自感系数在数值上等于线圈中电流变化率为1单位时，线圈中产生的感应电动势。7.3自感和互感例题6-5设一空心密绕直螺线管，单位长度上的匝数为n，长为l，半径为R，且l>>R

，求螺线管的自感L

。解：设螺线管通电流I，对于长直螺线管，管内各处的磁场可近似地看作是均匀的，管内的磁感应强度的大小为

B=μ0nI

Φ自＝BS＝μ0nπR2I

求自感的方法与求电容器的电容的方法很相似；7.3自感和互感Ψ自＝NΦ自＝nlΦ自

＝μ0n2lπR2I

3.说明

（1）公式中的负号负号表明εL总是与反号（2）自感系数L是反映线圈自感强弱的物理量L只与线圈的几何形状、尺寸大小及匝数有关。它是由线圈本身的性质所决定的，当线圈中有磁介质时，L还与介质的性质有关。(3)自感系数L是由线圈本身的性质决定的；为空芯线圈的自感系数。（4）自感的单位Ψ自—韦伯、I－安培、E自—伏特、t—秒7.3自感和互感

L的单位就是亨利（用H表示）。亨利是比较大的单位，自感常用毫亨和微亨作单位。

1亨（H）＝103毫亨（mH）1毫亨（mH）＝103微亨（μH）(5)自感的利用与危害7.3自感和互感例题6-6右图是一段同轴电缆，它由两个半径分别为R1和R2的无限长同轴导体圆柱面组成，两圆柱面上的电流大小相等，方向相反，中间充满磁导率为

μ的磁介质。求电缆单位长度上的自感系数。注：对于同轴电缆来讲，单位长度上的自感定义为其中Ψ

是通过图中矩形PQRS面积上的磁通量。7.3自感和互感解：由安培环路定理可求出内柱面内部和外柱面外部的磁场均为零，两圆柱面间的磁感应强度为在距轴线为r处，取一宽度为dr的窄条，小窄条的面积为dS=ldr，由于dr很小，在dS内B可认为是均匀的，所以

dФm=BdS=Bldr所以长为

l

的一段电缆的自感系数为单位长度上的自感系数为7.3自感和互感7.3自感和互感对于同轴电缆来讲，单位长度上的自感定义为I1产生的磁场的磁感应线将通过线圈2，在线圈2中产生的磁通叫做互感磁通，记为Φ12；通过线圈2的磁通匝链数，叫做互感磁链，记为Ψ12，当线圈中1的电流I1发生变化时，在线圈2中要产生感应电动势。

6.3.2互感1.互感现象两个线圈，即线圈1和线圈212I1I2

由于其中一个线圈中电流发生变化，而在另一个线圈中出现感应电动势的现象叫做互感现象，产生的电动势叫做互感电动势。

7.3自感和互感2.互感系数

当两个线圈的相对位置确定以后，I1产生的磁感线通过线圈2，在线圈2中产生的互感磁通为Φ21，互感磁通匝链数为Ψ21，7.3自感和互感I1产生的磁场的磁感应线将通过线圈2，在线圈2中产生的互感磁链为Ψ21Ψ21∝I1

Ψ21＝M21I1

I11I22

I2产生的磁场的磁感应线将通过线圈1，在线圈1中产生的互感磁链为Ψ12Ψ12∝I2

Ψ12＝M21I27.3自感和互感

M12＝M21＝M

Ψ21＝MI1（3）Ψ12＝M

I2（4）当I1发生变化时，线圈2中就会产生互感电动势，（7-16）

M21和M12是比例系数，我们把M21叫做线圈1对线圈2的互感系数，把M12叫做线圈2对线圈1的互感系数。7.3自感和互感当I2发生变化时，线圈1中也会出现互感电动势（7-16）2、互感的两种定义

（1）两个线圈的互感系数M，在数值上等于其中一个线圈中的电流为1单位时产生的磁场通过另一个线圈的磁通匝链数。（2）两个线圈的互感系数M，在数值上等于其中一个线圈中的电流强度变化率为1单位时，在另一个线圈中产生的互感电动势。7.3自感和互感例题6-7如图6-13所示，为两个同轴螺线管1和螺线管2，同绕在一个半径为R的长磁介质棒上.它们的绕向相同，螺线管1和螺线管2的长均为l，

单位长度上的匝数分别为n1和

n2，且l

>>

R

。(1)试由此特例证明M12=M21=M；（要记住的）(2)求两个线圈的自感

L1和

L2与互感M之间的关系.解：设在原线圈中通电流I1，管内的磁感强度为

是螺线管的体积.7.3自感和互感同理，也可设在副线圈中通电流I2，管中的磁感强度为

通过原线圈的磁通匝链数为

电流I2产生的磁场穿过螺线管1每一匝的磁通量为7.3自感和互感

(2)已计算出长螺线管的自感为

，所以式中k称为耦合系数，此例中的耦合系数等于1，这叫做两个线圈完全耦合，一般情况下，耦合系数由两个线圈的相对位置决定，它的取值为0≤k≤1.7.3自感和互感4.说明

互感系数M虽然是通过Ψ12，Ψ21，I1，I2，ε互1，ε互2，，这八个量来计算的，然而M却与这八个量无关。

M由两个线圈的几何形状、尺寸大小、匝数以及两个线圈的相对位置所决定。（1）M是由两个线圈的几何形状、尺寸大小、匝数以及两个线圈的相对位置所决定的。（2）互感M是描述互感强弱的物理量。从（3）式和（4）式可以看出，对于相同的电流变化率，M越大。ε互也就越大，说明互感越强，M越小，ε互也越小，说明互感越弱。这说明互感M是描述互感强弱的物理量。（3）互感的单位

亨利，与自感的相同。7.3自感和互感因此，在建立磁场的过程中，外界（即电源）必须提供能量来克服自感电动势做功.可见，在含有电阻和自感的电路中，电源提供的能量分成两部分，一部分转换为电阻上的焦耳热，另一部分则转换为线圈中的磁场的能量.6.3.3磁场的能量1.自感磁能在开关未闭合时，线圈中的电流为零，也没有磁场.当把开关闭合后，线圈中的电流由零逐渐增大，但是不能立即增大到稳定值I，因为在电流的增长过程中，线圈有自感电动势产生，它会阻止磁场的建立.自感电动势为电源反抗自感电动势所做的功为这就是当自感为L的线圈中的电流为I时，载流线圈所具有的磁场能量，称为自感磁能.当撤去电源后，这部分能量又全部被释放出来，转换成其他形式的能量.7.3自感和互感在dt时间内电源电动势反抗自感电动势所做的功通过做功，电流把等值的能量转化为储存在线圈中磁场的能量Wm2.磁场的能量假设长直密绕螺线管内充满磁导率为

的均匀介质，单位长度的匝数为n，通过的电流为I0，螺线管内的磁感应强度的大小螺线管的自感系数磁场能量磁能密度7.3自感和互感它适用于各种磁场.对磁场中的任一体积元

，其包含的磁能为

对磁场占据的整个空间积分，便得到该磁场的总能量6.4电磁场麦克斯韦总结了前人的实验和理论，对整个电磁学进行研究，首先提出了涡旋电场的假说，即变化的磁场要在空间激发感生电场.其次，又提出了位移电流的假说，即变化的电场要在空间激发磁场.1865年麦克斯韦终于建立了包括电荷守恒定律、介质方程以及电磁场方程在内的完备方程组.后经赫兹、亥维赛、洛伦兹等人进一步的加工，得出了电磁场方程组——麦克斯韦方程组.6.4.1位移电流恒定电流产生的恒定磁场中，安培环路定理可以写成在接有电容器的交流电路中，将安培环路定理应用于曲线L位移电流的电流密度定义为位移电流的大小即通过电场中某截面的位移电流强度，等于位移电流密度在该截面上的通量，或者说，位移电流在数值上等于穿过任一曲面的电位移通量对时间的变化率.麦克斯韦认为，传导电流I和位移电流

可以共存，两者之和称为全电流，即称为全电流密度.从上式可以看出，全电流的电流线是连续的.引入了位移电流后，麦克斯韦把从恒定电流的磁场中总结出来的安培环路定理推广到非恒定电流情况下更一般的形式，即此式表明，磁场强度H沿任意闭合曲线L的线积分，等于穿过以L为边线的任意曲面S上的全电流强度，这就是全电流的安培环路定理.虽然位移电流和传导电流在激发磁场方面是等效的，但它们却是两个不同的概念.传导电流是大量自由电荷的宏观定向运动，而位移电流的实质却是电场对时间的变化率.传导电流通过电阻时会产生焦耳热，而位移电流不对应电荷的移动，没有热效应.位移电流的引入深刻揭露了电场和磁场的内在联系和依存关系，反映了自然现象的对称性.法拉第电磁感应定律说明变化的磁场能激发涡旋电场，位移电流的假说表明变化的电场能激发涡旋磁场，两种变化的场存在互相联系，变化的电场与变化的磁场相互激发，形成了统一的电磁场.6.4.2麦克斯韦方程组麦克斯韦通过总结发现：①除静止电荷激发无旋电场外，变化的磁场还将激发涡旋电场②变化的电场和传导电流一样激发涡旋磁场，这就是说，变化的电场和变化的磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场.下面根据麦克斯韦的基本假说，首先介绍由他总结出来的麦克斯韦电磁场方程组的积分形式.7.4电磁场是电介质中的高斯定理是磁场的高斯定理.是推广后的法拉第电磁感应定律是全电流安培环路定理麦克斯韦方程组的微分形式电场强度E和磁感应强度B所满足的微分方程，7.4电磁场这两个方程与数学上的波动方程在形式上是完全一样的，从而麦克斯韦认为，电磁场是以波动的形式传播的.麦克斯韦预言了电磁波的存在.并且在这个波动方程中，有一个常数，这个常数是波的传播速度，麦克斯韦计算出这个常数等于光在真空中的速度，即由此麦克斯韦认为，光也是电磁波.在有介质时，麦克斯韦方程组尚不够完备，还需要补充三个描述介质性质的方程，称为介质性能方程.对各向同性的介质来说，这三个方程是6.4.3电磁场的物质性讨论静电场和恒定磁场时，总是把电磁场和场源（电荷和电流）合在一起研究，因为在这些情况中电磁场和场源是有机地联系在一起的，没有场源时电磁场也就不存在.在场随时间变化的情况中，电磁场一经产生，即使场源消失，它也可以继续存在，这时变化的电场和变化的磁场相互激发，并以一定的速度按照一定的规律在空间传播，这说明电磁场具有完全独立存在的性质，反映了电磁场具有物质的基本特性.我们已经知道，电磁场不仅具有能量、动量，而且还具有质量.谢谢！第7章

振动和波教学内容：7.1.简谐振动；

7.2.简谐波1）简谐运动的描述2）简谐运动的动力学方程和能量3）

简谐运动的合成1）机械波产生的条件和分类2）平面简谐波的描述3）波的能量和强度4）波的叠加

驻波1.定义：物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动2.

实例:心脏的跳动、钟摆、乐器、活塞、秋千、地震等3.周期和非周期振动平衡位置（机械）振动广义振动：物理量在某一数值附近做周期性变化交流电的电流、电压、电磁场中的E

和H波动是振动的传播过程.振动是激发波动的波源.机械波电磁波波动机械振动在弹性介质中的传播(声波、水波).交变电磁场在空间的传播（无线电波、光波）.物质波两类波的不同之处机械波的传播需有传播振动的介质;电磁波的传播可不需介质.能量传播反射折射干涉衍射三类波的共同特征机械波物质波一切微观粒子（电子、中子、质子）等的波动性振动的分类：受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动简谐振动机械振动的成因:7.1简谐振动最简单、最基本的振动8.1简谐运动简谐运动复杂振动合成分解弹簧振子：由质点和轻弹簧组成的振动系统回复力;惯性.则1.动力学方程和运动学方程m受力F=－kx由牛顿第二定律令F

凡满足以上特征的运动叫简谐运（振）动.物体受线性恢复力的作用;或加速度与位移大小成正比,而方向相反。x：t时刻的位移；A：振幅；ω:为物体的角频率；φ:是初相位．称为简谐运动的运动学方程解为:A、φ为待定系数=ma7.1.1简谐振动的描述动力学方程8.1简谐运动简谐运动方程速度为:加速度为:可见:

a(t)振动超前v(t)π/2；v(t)振动超前x(t)π/2速度振幅:vm=ωA1）振幅A

简谐运动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值加速度振幅:am=ω2A2）周期频率圆频率周期T：物体作一次完全振动所经历的时间2.谐振动的速度与加速度A的值可由振动的初始条件来确定,3.简谐振动的特征物理量8.1简谐运动所以弹簧振子:频率ν:单位时间内物体所作的完全振动的次数3.简谐振动的特征物理量速度振幅:vm=ωA1）振幅A

简谐运动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值加速度振幅:am=ω2A2）周期频率圆频率周期T：物体作一次完全振动所经历的时间A的值可由振动的初始条件来确定,8.1简谐运动所以弹簧振子:频率ν:单位时间内物体所作的完全振动的次数圆频率ω

:(角频率)

物体在2π秒时间内所作的完全振动次数单位:rad/s3）相位和初相位相位(ωt+φ):决定物体在任意时刻的振动状态初相位φ:决定初始时刻振动物体的运动状态弹簧振子:8.1简谐运动圆频率ω

:(角频率)

物体在2π秒时间内所作的完全振动次数单位:rad/s3）相位和初相位相位(ωt+φ):决定物体在任意时刻的振动状态初相位φ:决定初始时刻振动物体的运动状态弹簧振子:相位是一个非常重要的物理量，用它可以很方便地比较两个简谐运动的步调。规定：相位大的振动为超前。对两个同频率的振动可规定：时间因子大的振动为超前．两个同频率简谐运动在任意时刻的相位差都等于其初相位之差，与时间无关。4）相位差:8.1简谐运动相位是一个非常重要的物理量，用它可以很方便地比较两个简谐运动的步调。规定：相位大的振动为超前。对两个同频率的振动可规定：时间因子大的振动为超前．两个同频率简谐运动在任意时刻的相位差都等于其初相位之差，与时间无关。

一个振动每超前一个T，则相位就超前2π，两个同频率的简谐运动的Δφ和Δt的关系，可表示为

对于同频率的两个简谐运动，当相位差两振动同相．当相位差两振动反相。4）相位差:8.1简谐运动图图图取1）曲线表表示法4.曲线表示法和旋转矢量表示法8.1简谐运动

三者出现最大值的时刻也不相同，但振动周期却相同．x-t曲线的高低反映了振幅的大小。A=0.03

初相φ=0；显然t=0时振动位移最大。

虚线表示的振动比实线表示的振动相位超前0.05s即1/4个周期.初相决定了曲线在t轴上的位置。

曲线的“密集”或“疏散”反映了频率的大小，T=0.2s.8.1简谐运动由曲线可以看出：

以O

为原点,旋转矢量的端点在x轴上的投影点的运动为简谐运动.2）旋转矢量表示法用几何方法来表示简谐振动作一矢量A,使它在oxy平面上绕点o作逆时针匀速转动,角速度ω,其矢量的端点在x轴上的投影点的运动为简谐运动.8.1简谐运动

M简谐振动的几个特征量旋转矢量的长度A等于简谐振动的振幅.又称为振幅矢量；矢量转动的角速度ω等于简谐振动的角频率；任一时刻t旋转矢量与x轴的夹角

等于简谐振动的相位；相应的矢量旋转的周期T和频率ν等于简谐振动的周期和频率矢量A以角速度ω旋转一周，相当于物体在x轴上做一次完全振动．8.1简谐运动例题7.1

一物体沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点O，振幅A=0.06m，周期T=2s．当t=0时，物体的位移x=0.03m，且向x轴正方向运动．求：⑴

此简谐运动的运动学方程；⑵

t=0.5s时物体的位移、速度和加速度；解

⑴设运动学方程为速度为其中A=0.06m，

与初始条件t=0，x=0.03m代入振动的运动学方程得

解得

因t=0时，物体向x轴正方向运动．即初相位应取8.1简谐运动⑵当t=0.5s时，物体的位移为物体的速度为物体的加速度为8.1简谐运动7.1.2简谐运动的能量1.简谐运动的特征方程弹簧振子当一个物体所受的合外力是线性回复力时，物体做简谐运动；反过来说，一个物体若做简谐运动，它受到的合外力应是线性回复力，这就是简谐运动的动力学特征．2.简谐运动的能量

简谐运动的回复力是保守力，系统总机械能守恒．

弹簧振子具有动能，又具有弹性势能动能又因弹性势能8.1简谐运动2.简谐运动的能量

简谐运动的回复力是保守力，系统总机械能守恒．

弹簧振子具有动能，又具有弹性势能动能又因弹性势能弹簧振子做简谐运动时，动能和势能按余弦或正弦的平方关系做周期性变化．弹簧振子的机械能为

弹簧振子的总能量取决于弹簧的劲度系数和振动的振幅。

当位移最大时，势能也最大，速度为零，动能也为零；当物体在平衡位置时，势能为零，动能达到最大值8.1简谐运动3.简谐运动能量图4T2T43T能量简谐运动的能量8.1简谐运动简谐运动能量守恒，振幅不变势能的表达式4.势能随位移的变化曲线势能曲线是抛物线，且势能随物体位置x改变而改变，在任一位置x，总能量与势能之差就是动能.简谐运动的能量例题7.2质量为0.2kg的物体，以振幅A=5cm做简谐运动，其最大加速度amax

=0.2

m/s2，求：⑴

振动的周期；⑵

通过平衡位置时的动能；⑶

总能量；⑷

物体在何处动能和势能相等解

⑴因为所以振动的周期为⑵通过平衡位置时速度最大，动能也最大⑶总能量为⑷当

时，则有故简谐运动的能量7.1.3

简谐运动的合成1.两个同方向同频率简谐运动的合成设两个简谐运动同方向(x),同频率(ω).运动方程分别为:合位移应在同一方向上(x)

旋转矢量法当A1、A2以相同的频率ω旋转时，合矢量A也以相同的频率ω旋转，其合位移为应用三角函数关系展开合并化简：其中旋转矢量法可更简洁地得到xoxx2x1x2φ1A1φ2A2φA合振动仍为谐振动，角频率与分振动相同，振幅A、初相φ如上.8.1.3简谐运动的合成(1)若相位差(φ2

－φ1)=2kπ

(k=0,±1,±2,…),则分振动同相位,合振动加强(2)若相位差分振动反相位,合振动减弱(3)一般情况下|A1－A2|<A<(A1+A2)(φ2

－φ1)=(2k+1)π(k=0,±1,±2,…),则讨论

2.两个同方向不同频率简谐运动的合成（拍）8.1.3简谐运动的合成2.两个同方向不同频率简谐运动的合成

由于两振动频率不同,则它们的相位差不恒定.合振动一般不是简谐运动.设某时刻两振动相位差为0时,作为计时起点,此时求:x=x1+x2为简单起见.设A1=A2=A则:在|

2－

1|<<(

2+

1)下讨论，随t缓变随t

迅变可认为合振动是频率为合振幅为8.1.3简谐运动的合成合振动方程为合振幅也作缓慢的周期性变化.其大小在0~2A之间xtx2tx1t拍振动时而加强,时而减弱的现象叫拍合振幅每变化一个周期称为一拍，单位时间拍出现的次数称为拍频，它是振幅变化的频率拍频的值可由振幅公式求出由于余弦函数的绝对值的周期为π，因此振幅的变化周期拍频常用此式来测量某一振动的频率．8.1.3简谐运动的合成合振幅每变化一个周期称为一拍，单位时间拍出现的次数称为拍频，它是振幅变化的频率拍频的值可由振幅公式求出由于余弦函数的绝对值的周期为π，因此振幅的变化周期拍频应用：测量某一振动的频率．用标准音叉校准钢琴．用雷达测速器测速．常用此式来测量某一振动的频率．8.1.3简谐运动的合成*3.两个相互垂直同频率简谐运动的合成设质点同时参与两个相互垂直且同频率的简谐运动消去时间得合振动的轨迹方程

一般情况下是一个椭圆方程,椭圆的具体形状和大小以及长、短轴的方位由振幅A1、A2以及相位差

决定。1）

或讨论2）

在第一、三象限的做线振动，斜率：A2/A1质点第二、四象限做线振动，斜率：-A2/A18.1.3简谐运动的合成1)

或讨论2)

3).质点在第一、三象限的做线振动，斜率为A2/A1质点第二、四象限做线振动，斜率为-A2/A18.1.3简谐运动的合成用旋转矢量描绘振动合成图相位差取其它任意值时8.1.3简谐运动的合成简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差4).相位差取其它值时8.1.3简谐运动的合成4.两相互垂直不同频率的简谐振动的合成测量振动频率和相位的方法李萨如图两分频率成整数比8.1.3简谐运动的合成例题7-3

有两个振动方向相同的简谐振动，振动方程分别为⑴求它们的合振动方程；⑵若另有一个同方向的简谐振动则：当φ3为何值时，x1+x3的振幅为最大值？当φ3为何值时，x1+x3的振幅为最小值解：⑴x1、x2是两个同方向同频率的简谐振动，其合振动也是简谐振动，且频率与两个分振动频率相同，角频率均为

πrad/s，合振动方程为合振动振幅为合振动初相φ的正切值为合振动的初相位应在第四象限因此所求的合振动方程为当相位差合振动振幅为合振动初相φ的正切值为合振动的初相位应在第四象限⑵当相位差时，合振动的振幅最大．因，所以时，合振动振幅最小，因此PFmAlθO根据转动定律：而I=ml2在小角度条件下sinθ≈θ(θ<5°)凡满足以上特征的运动叫简谐运动.忽略空气阻力，质点在平衡点附近往复运动.1.单摆(数学摆)重力矩：M=－mgl

sinθ常见的简谐运动*8.1.4几种常见的简谐运动1)方程：单摆的角频率7.1简谐运动PFmAlθO根据转动定律：而I=ml2在小角度条件下sinθ≈θ(θ<5°)单摆作简谐运动3）应用：计时器．

测量重力加速度包括动能Ek和重力势能EP2）

周期单摆的角频率

取决于系统本身的性质，与重力加速度及摆长有关。4）

能量常见的简谐运动7.1简谐运动当θ很小时h为物体相对于平衡位置的高度质点作简谐运动3）应用：计时器．

测量重力加速度包括动能Ek和重力势能EP2）

周期取决于系统本身的性质与重力加速度及摆长有关4）

能量总能量常见的简谐运动7.1简谐运动2.复摆(物理摆)质量为m的任意形状的物体,绕过O点的水平轴作微小的自由摆动，称为复摆.OClθ••P复摆的转动惯量为I,复摆的质心C到O的距离为OC=lM=－mgl

sinθ当θ很小时,M=－mgl

θ由转动定律或重力矩：令简谐运动微分方程复摆的角频率周期应用：测转动惯量常见的简谐运动7.1简谐运动M=－mgl

sinθ当θ很小时,M=－mgl

θ由转动定律或重力矩：令简谐运动微分方程

金属丝上端固定，下端与一均质水平圆盘的中心连接．

将圆盘绕轴扭转一小角度后释放，圆盘在金属丝扭转力矩的作用下在平衡位置附近做往复摆动。

弹簧受扭转所产生的扭转力矩M与所转过的角度θ成正比且方向相反，根据转动定律3.扭摆周期复摆的角频率应用：测转动惯量常见的简谐运动7.1简谐运动为简谐运动微分方程金属丝的扭转力矩M与所转过的角度θ成正比且方向相反，根据转动定律略去轴承摩擦扭摆的动力学方程为解为3.扭摆周期应用：测转动惯量

金属丝上端固定，下端与一均质水平圆盘的中心连接．

将圆盘绕轴扭转一小角度后释放，圆盘在金属丝扭转力矩的作用下在平衡位置附近做往复摆动。常见的简谐运动例题3.7一根质量均匀的细杆长度为l，质量为m，可绕其一端的轴O在竖直平面内自由转动，如图．求杆做微小振动时的周期.解

：在细杆偏离平衡位置为θ角时杆所受重力矩为θ很小，有杆受到的合力矩为线性回复力矩杆的振动为简谐运动．细杆绕O轴转动的转动惯量为细杆振动的周期7.2阻尼振动

受迫振动

共振7.2.1.阻尼振动物体受阻力对弹簧振子令解为在时1.欠阻尼振动式中，A0和φ是由初始条件决定的常数，式中

β叫阻尼系数,ω0叫固有频率阻尼振动的振幅随时间t作指数衰减周期T大于无阻尼自由振动T02.过阻尼振动当阻尼较大系统不再作周期运动而缓慢回到平衡位置.系统不能往复运动,物体更快回到平位置.阻尼振动受迫动共振3.临界阻尼振动7.2.2.受迫振动4.三种阻尼振动比较在欠阻尼和过阻尼状态下，振动物体从运动到静止都需要较长的时间，而临界阻尼的物体从开始运动到回到平衡位置所用时间却是最短．因此当物体偏离平衡位置时，若要它在不发生振动的情况下，能最快地恢复到平衡位置且处于静止状态的最好办法是施加临界阻尼．

为了能使物体做振幅不随时间衰减的周期性振动，往往对振动系统施加连续的周期性外力，这样的振动称为受迫振动．这种周期性外力称为驱动力．

设驱动力按余弦规律变化且初相位为零，稳定状态下，物体与外驱动力同周期振动阻尼振动受迫动共振

假设系统在弹性力、阻力和驱动力的共同作用下做受迫振动

仍令在阻尼较小时，该方程的解为

显然，稳态时受迫振动的振幅与驱动力的幅值F0成正比，也与驱动力的角频率ω有关．得AOω0ωp小阻尼阻尼→0大阻尼共振时的振幅阻尼振动受迫动共振7.2.3.共振

当驱动力的频率为某一特定值时，受迫振动的振幅达到最大值Ar，这一现象称为位移共振，简称共振．相应的频率称为共振频率ωr．

共振时位移与驱动力的相位差共振小故事——唐朝《刘宾客嘉话录》洛阳某僧房中之磬常于齐钟响时自鸣，僧人由此病。其友曹绍夔（太乐令）得知，以锉刀锉磬数处，以后钟响便不再鸣磬。阻尼振动受迫动共振共振的应用和防止钢琴、小提琴等乐器;应用:军队过桥时要便步走;(法国昂热市一座大桥因共振断裂坍塌)装修剧场、房屋时使用吸声材料等.在振动物体底座加防振垫;机器运转时为了防止共振要调节转速;防止:微波炉.微波与食物中的水分子产生共振收音机;调谐装置8.2阻尼振动受迫动共振

在物理实验室内，收藏有“阴阳鱼洗盆”，只要在盆内加一半水，然后用手轻摩双耳，盆中就会波浪翻滚，涌出很高的喷泉，这也是共振原理的应用．1940年，美国全长860米的塔克玛斜拉大桥就在大风下因共振而坍塌．——1952年诺贝尔物理学奖拓展——核磁共振（NMR）核磁矩旋进角速度外磁场交变磁场垂直于方向线频率共振条件▲核磁共振在临床医学上的应用——2003年诺贝尔医学奖阻尼振动受迫动共振一、机械波产生的条件

能传播机械振动的媒质（空气、水、钢铁等）2.

介质作机械振动的物体（声带、乐器等）

1.

波源7.3简谐波3.机械波:机械振动在弹性媒质中的传播二、横波与纵波（按质点的振动方向和波的传播方向的关系）1）

质点的运动情况动画观察注意点：2）

质点向前传播吗？3）波动在空间上的周期性与振动的周期性有什么关系？7.3.1机械波的产生分类

特征：具有交替出现的波峰和波谷.1.横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.绳子上的波是横波8.3简谐波2.纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.

特征：具有交替出现的密部和疏部.

特点：质点的振动方向与波传播方向一致水平放置的弹簧上的波和空气中传播的声波都是纵波。8.2简谐波8.3简谐波说明：(1)

波的传播不是介质质元的传播(2)波是振动状态的传播(4)同相位点----质元的振动状态相同(3)振动具有时间周期性,波动在空间上也有周期性相邻两相同振动状态的点之间的距离为波长

相位差为2

3.

复杂波（研究对象）特点：波源及介质中各点均作简谐振动特点：复杂波：它可分解为横波和纵波；任何形式的波都可以看成是横波与纵波的叠加例如：地震波三.

简谐波注：

（1）波的介质要求：横波仅在固体中传播；纵波可在固体、液体和气体中传播。（2）两种波中各质点都只在各自平衡位置附近振动。8.3简谐波平面波球面波四.平面波和球面波1.波面、波前和波线波线:沿波的传播方向画的带箭头的线叫波线.波面：振动相位相同的点组成的曲面.波前(波阵面):波源最初振动状态传到的点连成的面曲.在各向同性媒质中,波线与波面垂直,即处处正交2.平面波和球面波

按波面的形状可将波分为平面波、球面波和柱面波等平面波的波面是一组平行平面，波线是垂直于波面的平行直线

球面波的波面是以点波源为中心的一系列同心球面，波线是沿半径方向的直线。8.3简谐波沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。··ab

xxu传播方向图中b点比a点的相位落后六.波形曲线(波形图)o

xuty不同时刻对应有不同的波形曲线

五.波是相位的传播

柱面波的波面是以线状波源为轴线的圆柱面，波线是沿垂直于轴线且以轴线上各点为圆心的圆的半径方向的直线．3.柱面波

点波源产生球面波，

线波源产生柱面波。

当研究的位置离波源很远时，波面都可以近似地看成是平面波波面。8.3简谐波沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。··ab

xxu传播方向图中b点比a点的相位落后六.波形曲线(波形图)o

xuty不同时刻对应有不同的波形曲线

波形曲线能反映横波、纵波的位移情况七.波的基本特征量（P279）1.波长

:

在同一波线上两相邻同相点间的距离（一个完整波形的长度）λλ2.波的周期T:波动传播一个波长所需的时间.波的频率

:

媒质质点(元)的振动频率.五.波是相位的传播8.3简谐波波形曲线能反映横波、纵波的位移情况七.波的基本特征量（P）1.波长

:

在同一波线上两相邻同相点间的距离（一个完整波形的长度）λλ2.波的周期T:波动传播一个波长所需的时间.波的频率

:

媒质质点(元)的振动频率.即单位时间内波动所传播的完整波的数目.

一般情况下,波的周期(频率)等于波源的振动周期(频率)波在不同介质中,周期(频率)不变,波长

变.波速ｕ又称相速度(相位传播速度)三者关系3.波速u

:单位时间波所传过的距离8.3简谐波即单位时间内波动所传播的完整波的数目.

一般情况下,波的周期(频率)等于波源的振动周期(频率)波在不同介质中,周期(频率)不变,波长

变.波速ｕ又称相速度(相位传播速度)三者关系3.波速u

:单位时间波所传过的距离7.3.2平面简谐波的描述一.平面简谐波的波函数讨论:

沿+x

方向传播的一维简谐波(u,

)介质中x处的质元在任意时刻t的位移y(x,t)叫波函数。

简谐波：在均匀各向同性、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，介质中各质元均按余弦规律运动.这种振动在介质中的传播形成简谐波。

平面简谐波：波面为平面的简谐波.8.3简谐波

设有一平面简谐波沿轴正方向传播，波速为，坐标原点

处质点的振动方程为OPx7.3.2平面简谐波的描述一.平面简谐波的波函数讨论:

沿+x方向传播的一维简谐波(u,

)介质中x处的质元在任意时刻t的位移y(x,t)叫波函数

简谐波：在均匀各向同性、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，介质中各质元均按余弦规律运动.这种振动在介质中的传播形成简谐波。

平面简谐波：波面为平面的简谐波.8.3简谐波

设有一平面简谐波沿轴正方向传播，波速为，坐标原点

处质点的振动方程为点O

的振动状态用时间推迟方法点P=t时刻点P的运动t-x/u时刻点O的运动=点P振动方程u

沿x轴正向

u

沿x

轴负向8.3平面简谐波的波动方程点O

的振动状态用时间推迟方法点P=t时刻点P的运动t-x/u时刻点O的运动=点P振动方程u

沿x轴正向

u

沿x

轴负向波函数讨论：二、波函数的物理含义1.x=x0

一定,t变化

表示x0处质元的位移随时间t的变化规律.

8.3平面简谐波的波动方程

y

o

该方程表示t时刻波传播方向上各质点的位移,即t时刻的波形（y-x的关系）x2.t=t0

一定,x变化

3.x,t都变化

波函数就表示波线上不同质元在不同时刻的位移，更形象地说，就是波形的传播．波函数讨论：二、波函数的物理含义1.x=x0

一定,t变化

表示x0处质元的位移随时间t

的变化规律.

8.2平面简谐波的波动方程

y

o

该方程表示t

时刻波传播方向上各质点的位移,即t时刻的波形（y-x

的关系）x2.t=t0

一定,x变化

3.x,t都变化

波函数就表示波线上不同质元在不同时刻的位移，形象地说，就是波形的传播．化简得为在空间行进的波，称为行波。利用几个基本特征物理量的关系和

三、波动方程的其它形式:8.3平面简谐波的波动方程波线上各点的简谐运动图8.3平面简谐波的波动方程化简得为在空间行进的波，称为行波。利用几个基本特征物理量的关系和

三、波动方程的其它形式:

坐标为x的质元的振动相位比原点处质元的振动相位落后当

该坐标处质元的振动状态与原点处质元的振动状态完全相同比较，可得其最大值为

如果平面简谐波沿

x轴负方向传播，则t

时刻位于

x

处的质元的位移应该等于原点在这之后

，即

时刻的位移，将所有减号改为加号，就可以得到相应的波函数了。例题

7-5一平面简谐波沿x轴的正方向传播，已知其波动表达式为8.3平面简谐波的波动方程求：⑴波的振幅、波长、周期、波速；⑵介质中质元振动的最大速度；⑶画出t1=0.0025s和t2=0.005s时的波形曲线.解：⑴将已知波动表达式写成标准形式⑵介质中质元的振动速度为⑶当t1=0.0025s时当t1=0.005s时解：由图可见，则周期角频率若设波源处的振动方程为由图可以看出，（质元向y正方向运动）波源的振动初相位为原点处质元的振动方程为例题7.6一根长线用水平力张紧，在上面产生一列向左传播的简谐波，波速为20m/s．在t=0时它的波形曲线如下图．求该简谐波的波函数．8.3平面简谐波的波动方程画出两条波形曲线为例题7.5一根长线用水平力张紧，在上面产生一列向左传播的简谐波，波速为20m/s．在t=0时它的波形曲线如图4.6所示．求该简谐波的波函数．解：由图可见，则周期角频率若设波源处的振动方程为由图可以看出，（质元向y正方向运动）波源的振动初相位为原点处质元的振动方程为

在波的传播过程中，整个波形向左平移，波函数为

在棒上任取一长度为dx的质元，则该质元的体积为dV=Sdx质量为dm=ρdV7.3.3波的能量一.波的能量波动过程就是能量传播的过程

动能形变势能+=波的能量以简谐纵波在直棒中的传播为例

该质元处于平衡位置，两个截面a和b的坐标分别为

x和

x+dx该质元的振动速度为振动动能为形变势能为质元的总能量等于其动能和势能之和1.在行波传播过程中，质元的动能和势能同相且相等.2.质元的动能和势能都随时间作周期性变化.

同时到达最大值，又同时到达最小值零3.质元的总机械能不守恒，沿传播方向，不断地从波源接受能量,又不断把能量释放出去；故波动传播能量.说明:

二.能量密度:平均能量密度:在一个周期内的平均值波的平均能量密度与振幅平方、频率平方、介质的密度成正比8.3.3波的能量和波的强度单位体积媒质中的波动能量.单位时间内通过介质中某面积的能量三.能流(能量通量)、波的强度能流:平均能流：1.能流(能量通量)2.波的强度能流密度的时间平均值P=wuS单位时间内垂直通过单位面积的平均能流，称为平均能流密度或波的强度，用

I表示．

对于声波