高中数学必修2期末模拟卷02（解析版）

期末模拟卷2

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.复数z=1—240为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】。

【解析】

【分析】

本题考查复数的几何意义，直接由复数z=1—22求出在复平面内对应的点的坐标得答

案.

【解答】

解：复数z=1—2*4为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：（1,一2）,位于第四

象限.

故选O.

2.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,

则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）

\J_B1（2AD-

105105

【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题.

先求出基本事件总数n=25,再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡

片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上

的数的概率.

【解答】

解：从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,

基本事件总数n=5x5=25,

抽得的笫一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：(2,1),(3,1),

(3,2),(4,1),(4,2).(4,3).(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共有m=10个基本事

件，

in0

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=岑=:,

255

故选：D.

3.已知一个三棱柱的高为3,如图是其底面用斜二测画/

法画出的水平放置的直观图，其中

O'A!=O'B'=O'C,=1^则此三棱柱的体积为尸一

()

A.2

B.4

C.6

D.12

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考察直观图与原图的关系，以及棱柱的体积公式，属于基础题.

依据直观图可知原图的底面三角形的底边长为2,高为2,可求出柱体的底面面积，再

依据棱柱体积公式可求出答案.

【解答】

解：设三棱柱的底面三角形为△4BC，由直观图可知8。=2,。2=2,

且BC±OA,S^ABC=：X2X2=2.

故P=2X3=6.

故答案选C.

4.已知非零向量Z,若同=四|丁I，且力.W一27），则记与了的夹角为

（）

A.JB.JC.ID.打

0434

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积，考查了向量垂直的关系，考查了向量夹角的求解,本题的关

键是由垂直求出数量积为0.

由向量垂直可得W•—27）=0，结合数量积的定义表达式可求出

।司2

8s〈4；）=瑞忖，乂|/|=v0方从而可求出夹角的余弦值，进而可求夹角的大

小.

【解答】

解：因为N—27），

所以过・（/-2号）=|砰-2a.；=|砰一2|司可（；08〈乙”=0.

因为国|=>/2\b|,

所以cog〈W,t）=J^L=I&=^,

''2尸||引祠2

故选：B.

5.设a为平面，a,人为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）

A.若a//a,b//a,则。〃bB.若。_1&,a//b,贝ijLLa

C.若a_La,a±b,则b//aD.若a〃a,a±b,则b±a

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解.

【解答】

解：若a〃a,b//a,则a与力相交、平行或异面，故A错误；

若aJLa，a//b,则由直线与平面垂直的判定定理知bJLa,故B正确；

若aJLa，aJLb,则”/a或bua，故C错误；

若。〃。，aJLb，则〃/a，或?>Ua,或〃与a相交，故。错误.

故选：B.

6.已知圆锥的顶点为P,母线PA,P8所成角的余弦值为3PA与圆锥底面所成角为

4

60°，若△P4B的面积为，，则该圆锥的体积为（）

A.2V^TTB.C.2^^7rD.

Jo

【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查线面角的概念、三角形面积公式、圆锥的体积公式，考查转化与化归思想，考

查空间想象能力、运算求解能力.

设底面半径为04=r，根据线面角的大小可得母线长为2r,再根据三角形的面积得到

r的值，最后代入圆锥的体积公式，即可得答案.

【解答】

解：如图所示，设底面半径为04=r,

p

・「FA与圆锥底面所成角为60°，.・.NPAO=60Q，

.,.PA=PB=2T,•「母线%,P8所成角的余弦值为〜

4

/.sinZ.APB=，/.^（2r）2♦=y/7=>r=，

/.V=:•S•PO=<•（7TT2）•y/3r=2^^7T,

UMJ

故选：c.

7.已知数据£1通2,・一电020的方差为4,若/=~2（g—3）,0=1,2,•••,2020）,则新

数据以，敌,,•。,帆20的方差为（）

A.16B.13C.-8D.-16

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题.

根据方差的性质直接计算可得结果.

【解答】

解：由方差的性质知：新数据仇，及，…，？820的方差为：（一2）2x4=16.

故选：4.

8.在△ABC中，A,B,。所对的边分别是mb,c,若/—俨=4才，且

26sin2A+asi]iB=0,则9=（）

c

A.3B.4C.5D.6

【答案】。

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.

根据题目已知条件应用余弦定理和正弦定理进行化简，即可得到答案.

【解答】

解：*/26siii2A+asinB=0，

/.26-28inAcosA+asinB=0,

2sinB-2sinAcosA+sinAsinB=0

4cos4+1=0,

/.cosA=~=—°，又G?一接=4c2

42DC

代入可得：=6.

故答案选O.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件尸为“至少订一

种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件〃为“不订甲报纸”，事件/为“一

种报纸也不订”•下列命题正确的是（）

A.E与G是互斥事件B.尸与/是互斥事件，且是对立事件

C.F与G不是互斥事件D.G与/是互斥事件

【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查了互斥事件和对立事件的概念，属于基础题.

根据互斥事件、对立事件的概念判断即可.

【解答】

解：对于4选项，E、G事件有可能同时发生，不是互斥事件；

对于8选项，F与/不可能同时发生，且发生的概率之和为1,是互斥事件，且是对立

事件；

对于C选项，尸与G可以同时发生，不是互斥事件；

对于。选项，G与/也可以同时发生，不是互斥事件.

故选：BC.

10.下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第

5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以

读出一定正确的信息是（）

A.甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数

B.甲同学的成绩的中位数在115到120之间

C.甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差

D.甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数

【答案】DB

【解析】

【分析】

本题考查了频数分布直方图与应用问题，是基础题.

根据频数分布直方图的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误即可.

【解答】

解：对于A,甲同学的成绩的平均数。(杷05+120x2+130+140)=123,

乙同学的成绩的平均数xz>:(105+115+125+135+145)=125，

所以甲同学的成绩的平均数小于乙同学的成绩的平均数，故A错误；

由题图甲知，B正确；

对于C,由题图知，甲同学的成绩的极差介于(30,40)之间，乙同学的成绩的极差介于

(35,45)之间，

所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差，故C错误；

对于，甲同学的成绩的中位数在115~120之间，乙同学的成绩的中位数在125~130

之间，

所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数，故。正确.

故选：BD.

11.下列结论正确的是()

A.已知云是非零向量，片柒W，若正.7=^./，则］，(万一N)

B.向量心弦满足同=1,|同=2,6与方的夹角为60°，则曰在"上的投影向量

为与

C.点尸在△43C所在的平面内，满足江i+港+用=6，则点P是△ABC的

外心

D.以(1,1),(2,3),(5,-1),(6,1)为顶点的四边形是一个矩形

【答案】DBA

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属中档题.

利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容

易判断选择.

【解答】

解：对A：因为@・(亍一N)=一

又=可得/•('?-/)=()，

故W_L(下一Z),故A选项正确；

对B：因为同=1，|同=2,出与/的夹角为60°，

所以b=lx2x—=1.

故万在方上的投影向量为(不/中,故8选项正确;

对C：点P在△4BC所在的平面内，满足AZ+A号+用=万,

则点P为三角形A8C的重心，故C选项错误；

对D：不妨设4(1,1),5(2,3),C(6,1),£>(5,-1),

则五方十力=(1,2)+(4,-2)=(5,0)=15.

故四边形ABCD是平行四边形；

又4.J3=：LX4+2X(-2)=0.

所以ABLAD.故四边形ABCD是矩形,故D选项正确;

综上所述，正确的有ABD.

故选ABD.

12.如图，在四棱锥产一ABCD中，底面ABC。是正方

形，P4_L底面ABC。，PA=AB,截面BDE与直

线PC平行，与丛交于点£则下列判断正确的是

()

A.E为PA的中点

B.BDL平面PAC

7T

C.PB与CO所成的角为w

0

D.三棱锥C-BOE与四棱锥P-ABCD的体积之比等于1:4.

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考

验分析能力，属中档题.

采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，

锥体体积公式的计算，可得结果.

【解答】

解：对于4,连接AC交8。于点连接EM,如图所示，

•:PC"面BDE,。。g面人/>0且面40。0面8。后=区河，：.PC//EM,

又；四边形A8CO是正方形，为AC的中点,

为PA的中点，故4正确.

对于8，•.•尸4_1面48。。，BDu面ABCZ),PA1BD,

XACLBD.ACQPA=A^4C,P<U面PAC

.•.3。_1面融€;故B正确.

对于C,：AB//C0,二/尸34为/>8与。。所成的角，

•.•PAJL面ABCD,48(2面48。。，PAA.AB，

7T

在五tAP/B中，PA=AB-：.^PBA=-,故C错误.

4

对于D,由等体积法可得Vc^BDE=VE-BCD=x•SBCD・EA，

V

Vp^ABCD=g•SABCD'PA

又：源如=：5电。,「力=2E4，，'^也竺=；,故。正确.

2VP-ABCD4

故选：ABD.

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若复数z满足方程2?+2=0,则之3=.

【答案】±2，^

【解析】

【分析】

本题考查复数的计算，属基础题.

根据题意可得z=土方£，然后根据复数的乘法可得结果.

【解答】

解：由z?+2=0，贝1Jz?=—2—2i2•

所以z=土，，

所以=d・z=±2y/2i,

故答案为：±25/^

14.如图，在平行四边形ABCO中，M,N分别为AO,A8上的点，且

皿=观,舒=瓶，MN交于点P.若无声=则入的值为

【答案】彳9

【解析】

【分析】

本题考查平面向量共线定理的推论，涉及向量的线性运算，属基础题.

用向量无林,病表示怒，结合”,P,N三点共线，即可求得参数值.

【解答】

解：根据题意，布=；C记

=X（A§+A£i）=2XA^+lxAAl,

因为M,P,N三点共线，

Q0

所以（2+a=1,解得

幺（

故答案为:9.

15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两

个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,

且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概

率等于.

【答案】0.128

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

根据题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第

三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错.

【解答】

解：根据题意，记''该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A,

若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，

必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错；

由相互独立事件的概率乘法公式，

可得p（A）=1x0.2x0.8x0.8=0.128.

故答案为0.128.

16.如图，在正方体4口。。一4耳。1。1中，点。为线段

BO的中点，设点P在线段CG上，直线。尸与平面

4EO所成的角为a,贝ijSina的最小值,最大

值_.

【答案】乎

1

【解析】

【分析】

此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于

中档题。

由题意，直线O尸与平面4BD所成的角a的最小值为NAOAl和NG0A1中的最小者,

然后利用正方体的性质和直角三角形的边角关系，求出曲1Q的取值范围，再确定其最

值

【解答】

因为BDA.AC,BDLAAi,ACdAA^A,AC,44U平面ACCiAi,

所以BZLL平面ACG4,

又BDU平面A^BD,

所以平面4iBD_L平面ACCiAr,

所以直线。尸与平面小旧。所成的角a的最小值为4和NCQ小中的最小者,

不妨设AB=2，

在RtAAOAi中，sinAAOAX=轮=1_=尊,

AiO3

sinZ.C1OA1=sin(7F—2/404。=sin2Z.A0Ai

=2sinZAOAi•cosZ.AOA1

=2x遗x遇=室＞区，

3333

所以sina的取值范围为停,1］，

所以sina的最小值为遗，最大值为1，

3

故答案为：理：1.

3

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.如图，在矩形OACB中，E和尸分别是边AC和BC上的点，满足47=3AE,

BC=3BF,若切=入成+而混，其中A,RGR,求X,〃的值.

【答案】解：因为AO=34E,BC=3BF,

在矩形OACB中，0d=0^+0^

又限=谊+^^

=入@（+硝+以山+亘力

=入帆+凝）+〃网+河）

=3A+M^+3M+A^

所以驾上=1,跑兽=1,

JJ

Q

所以A=〃=4.

【解析】本题考查平面向量基本定理，属于基础题.

根据题意得出够=9+在，则证=谈+题='与魂+绰功，由

OO

此即可求出结果.

18.已知函数,(z)=Zcos?①+2，5sinjccosH+a,且当zG0,万TT时，/(£)的最小值

为2.

Q)求。的值，并求“⑼的单调递增区间；

(2)先将函数沙=/(，)的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所

7TF7T

得的图象向右平移行个单位，得到函数”=9(乃的图象，当ZW0,弓时，求

J./Zt

g(c)》4的x的集合.

【答案】解：⑴函数/(z)=2cos%+2，^sinxcosx+a

=1+cos2x+\/3sin2rr+a

TT

=2sin(2c+—)+a+1,

6

7F7T77r

Xoy-一・,为+酢

2

=-1+G+1=2,得G=2,

即了(①)=2皿(2勺+§+3.

7T7T7T

令2时一++或Aez，

7T7T

得AJTT-Ww/wk行+、，keZ

oof

TT7T

函数〃切的单调递增区间为kir--,kir+-,keZ.

J"

⑵山⑴得f(z)=2sin(2/+己+3,由9=加)的图象上的点纵坐标不变，横坐标

缩小到原来的;，得a=2sin(4a：+/+3,

7T

再将图象向右平移二个单位,

又<g(z)>4,即sin60

2/?7T+—^4x—kW2fcTr+EZ)，

666

口nAja/ITVA*7T7T..

即/+行W6W亏+j(fcwZ)，

/J•//4

c穴

vxe0,-,

不等式的解集｛咤《工司.

【解析】本题主要考查了二倍角和辅助角公式，求三角函数的单调区间，三角函数图象

变换，解三角不等式等，属于中档题.

Q）化简可得作）=2sin（2H+3+a+l,由题意可得，-l+a+l=2,解方程可

7T

得〃的值，解不等式2Mr—kWZh+kWZM+k，AeZ可得单调递增区间.

2O2

（2）由函数图象变换可得：g（£）=2sin（4z—芯）+3,可得sin33）：，令

2*；7r+J<4x-^2fc7r+5（fceZ）,解不等式与工w求交集即可.

0002

19.如图，在棱长均为1的直三棱柱4BC—4BiGi中,

是BC的中点.

（1）求证：AD_L平面3。。由1；

（2）求直线ACi与平面BCCiB,所成角的正弦值.

（答案］Q）证明：直三棱柱ABC-AiBiCi中，BBi_L平面ABC,ADC平面ABC,

AB=AC,。是8c的中点，

ADLBC<

又=BC、BBiU平面BCCiBi，

4O_L平面BCGBi.

(2)解：如图，连接GD,

由(1)可知，AD_L平面BCCiBi，

则NAQD即为直线ACi与平面BCCiBi所成角,

因为AZ)J"平面BCCiBi.CiDc平面BCCtBi.

所以4。_LGO,

在RtZXACi。中，苧,ACi=V2,

所以8inZ.ACiD=■

所以直线ACr与平面BC&B］所成角的正弦值为理.

4

【解析】本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，属于中档题.

(1)由题意，可得到ADLBBi，并且4D_LBC，从而由线面垂宜的判定定理可得到

AD_L平面BCCiBi；

(2)连接G。，可得到NACiD为直线47i和平面8。。由1所成角，即可得解.

本题考查线血垂直的判定，直线与平面所成角，属于中档题.

(1)由题意，可得到HOLBBi，并且AD_LBC，从而由线面垂直的判定定理可得到

AD_L平面BCCiBi：

⑵连接G。，可得到NAQ。为直线4G和平面BCG3所成角，即可得解.

20.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随

机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150

分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组［65,75),第二组［75,85),•••第八

组［135,145］，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

(1)根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均

分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；

(2)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差

的绝对值小于10分的概率.

【答案】解：(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：

1-(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)x10=0.08.

用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：

s=70X0.04+80X0.12+90x0.16+100x0.3+110x0.2+120x0.06

+130x0.08+140x0.04=102.

(2)样本成绩属于第六组的有0.006x10x50=3人，设为A,瓦C,

样本成绩属于第八组的有0.004x10x50=2人，设为a,b,

从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，

基本事件有：AB,AC,Aa,Ah,BC,Ba,Bh,Ca,Ch,浦共10个

他们的分差的绝对值小于10分，即在同一组中包含的基本事件有：AB,AC,BC,ab

共4个

他们的分差的绝对值小于10分的概率「==t

【解析】本题考查利用频率分布宜方图求解样本数据的平均值，考查古典概型概率的计

算，难度中档.

计算样本数据的平均值时，只需利用每组中间值乘以本组频率求和即可得到答案；

古典概型的解答注意分析清楚基本事件总数及某事件成立时所包含的基本事件数.

8

Q）利用所有组频率和为1即可求得第七组的频率，然后利用X=£工砂（其中磔表示

i=l

第，组的中间值，加表示该组的频率）求出平均值；

（2）利用古典模型概率的计算方法求解即可.

21.在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为b,c,若20cos8+b=2c.

(1)求A的大小；

(2)若。=近，b=2,求△ABC的面积.

【答案】解：(l)：2aco8B+6=2c,由正弦定理得：

2sinAcosB+sinB=2sinC=284n(4+B)=2sinAcosB+2cosAsinB.

17T

/.sinB=288A8mB，sinB/0,cosA=又0<4<?r,/.A=—;

2u

(2)由余弦定理可得滔=必+d_26c884.

a=A/7»b=2,c2—2c—3=0,/.c=3,或c=-1(舍去)

c1,.x1oo\/33A/3

/.SAABC=-^csinA=-x2x3x--=——

【解析】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力.

17T

(1)由2ocosB+6=2c与正弦定理可得cosA=三，又0<4<加，得<=不；

2J

(2)由a=,匕=2与余弦定理可得c2—2c—3=0,得c=3,由SAAB。=辛心加A

可得结果.

22.如图，在三棱柱ABO-AiBiGi中，”是正方形4438的中心，2瓜

平面44bBiH,且

(1)求异面直线AC与小3所成角的余弦值；

(2)求二面角A-4iG—Bi的正弦值；

(3)设N为棱BQi的中点，E在41耳上，并且BiE：BAi=l:4,点M在平面

AAiBpB内，且MNJL平面AtBiG，证明：ME〃平面441GC.

【答案】解：Q)连接4G,为正方形44归道的中心，AA1=2V2,则

ABi=\/2AAi=4，BiH=:4为=2，

在三棱柱ABC-AiBQi中，：AC/MiCi,

NG43(或补角)是异面宜线4c与小巧所成的角.

平面A4B1B,BiHu平面A4B1B,/.CtHLBiH,

CiH=述,可得AiCi=BrCi=+=3,

由余弦定理得cosNGAiBi==琛，

2A?le/耳1