2022-2023学年北京市丰台区长辛店第一中学数学九年级第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝－n2＋15n－36，那么该企业一年中应停产的月份是()A．1月，2月 B．1月，2月，3月 C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月2．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断3．如图所示，在中，，，，则长为（）A． B． C． D．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（）A．π B．4π C．π D．π5．若点A（﹣1，0）为抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+c图象上一点，则当y≥0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥36．已知两个相似三角形的相似比为4:9，则这两个三角形的对应高的比为（）A． B． C． D．7．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（）A．0 B．﹣ C．2 D．﹣28．用16米长的铝制材料制成一个矩形窗框，使它的面积为9平方米，若设它的一边长为x，根据题意可列出关于x的方程为（）A． B． C． D．9．如图所示，抛物线的顶点为，与轴的交点在点和之间，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①③10．的相反数是（）A． B． C．2019 D．-201911．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.1．其中合理的是()A．① B．② C．①② D．①③12．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是__．14．如图是圆心角为，半径为的扇形，其周长为_____________.15．一布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黄球的概率为__________．16．如图，在正方体的展开图形中，要将﹣1，﹣2，﹣3填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字互为相反数的概率是______．17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=▲．18．若为一元二次方程的一个根，则__________．三、解答题（共78分）19．（8分）平行四边形的对角线相交于点，的外接圆交于点且圆心恰好落在边上，连接，若.（1）求证：为切线.（2）求的度数.（3）若的半径为1，求的长.20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数的图像与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A(－1，0)和点D．(1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请说明理由．21．（8分）如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的两个点，且．求证：．22．（10分）如图，AB是€⊙O的直径，点C是€€⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交€€⊙O于点E．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）求证：PC＝PF；（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求线段BE的长．23．（10分）足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售.设每天销售为本，销售单价为元.（1）请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大？最大利润是多少元？24．（10分）公司经销的一种产品，按要求必须在15天内完成销售任务．已知该产品的销售价为62元/件，推销员小李第x天的销售数量为y件，y与x满足如下关系：y＝（1）小李第几天销售的产品数量为70件？（2）设第x天销售的产品成本为m元/件，m与x的函数图象如图，小李第x天销售的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？25．（12分）如图，已知Rt△ABO，点B在轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=，反比例函数的图象经过OA的中点C，交AB于点D．（1）求反比例函数的表达式；（2）求△OCD的面积；（3）点P是轴上的一个动点，请直接写出使△OCP为直角三角形的点P坐标.26．如图，正方形的边长为9，、分别是、边上的点，且.将绕点逆时针旋转，得到.（1）求证：（2）当时，求的长.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【详解】当－n2＋15n－36≤0时该企业应停产，即n2-15n+36≥0，n2-15n+36=0的两个解是3或者12，根据函数图象当n≥12或n≤3时n2-15n+36≥0，所以1月，2月，3月，12月应停产．故选D2、C【解析】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，∴6＞5，即：d＜r．∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C．3、B【分析】先根据同角的三角函数值的关系得出，解出AC=5，再根据勾股定理得出AB的值.【详解】在中，，，，即.又AC=5===3.故选B.【点睛】本题考查了三角函数的值，熟练掌握同角的三角函数的关系是解题的关键.4、D【分析】根据圆周角定理求出∠COB，进而求出∠AOC，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出OC的长，再结合扇形面积求出答案．【详解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴阴影部分的面积为，

故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，扇形面积公式等知识点，能求出线段OC的长和∠AOC的度数是解此题的关键．5、C【分析】根据点A（﹣1，0）为抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+c图象上一点，可以求得c的值，从而可以得到该抛物线的解析式，然后令y＝0，求得抛物线与x轴的交点，然后根据二次函数的性质即可得到当y≥0时，x的取值范围．【详解】解：∵点A（﹣1，0）为抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+c图象上一点，∴0＝﹣3（﹣1﹣1）2+c，得c＝12，∴y＝﹣3（x﹣1）2+12，当y＝0时，﹣3（x﹣1）2+12=0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，又∵-3＜0，抛物线开口向下，∴当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3，故选：C．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6、B【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案.【详解】根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可得对应高的比为4:9，故答案选择B.【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边、对应高、对应中线以及周长比都等于相似比.7、C【分析】先求出点A1的坐标，再根据旋转的性质求出点A1的坐标，然后根据图象上点的纵坐标循环规律即可求出m的值.【详解】当y＝0时，x1﹣3x＝0，解得：x1＝0，x1＝3，∴点A1的坐标为（3，0）．由旋转的性质，可知：点A1的坐标为（6，0）．∵1010÷6＝336……4，∴当x＝4时，y＝m．由图象可知：当x＝1时的y值与当x＝4时的y值互为相反数，∴m＝﹣（1×1﹣3×1）＝1．故选：C．【点睛】此题考查的是探索规律题和求抛物线上点的坐标，找出图象上点的纵坐标循环规律是解决此题的关键.8、B【分析】一边长为x米，则另外一边长为：8-x，根据它的面积为9平方米，即可列出方程式．【详解】一边长为x米，则另外一边长为：8-x，

由题意得：x（8-x）=9，

故选：B．【点睛】此题考查由实际问题抽相出一元二次方程，解题的关键读懂题意列出方程式．9、B【分析】根据二次函数的图象可逐项判断求解即可.【详解】解：抛物线与x轴有两个交点，

∴△>0，

∴b2−4ac>0，故①错误；

由于对称轴为x=−1，

∴x=−3与x=1关于x=−1对称，

∵x=−3，y<0，

∴x=1时，y=a+b+c<0，故②错误；

∵对称轴为x=−=−1，

∴2a−b=0，故③正确；

∵顶点为B(−1,3)，

∴y=a−b+c=3，

∴y=a−2a+c=3，

即c−a=3，故④正确,

故选B．【点睛】本题考查抛物线的图象与性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象与性质，本题属于中等题型．10、A【解析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【详解】解：的相反数是：．故选A．【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．11、B【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【详解】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.1，故错误．故选：B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确概率的定义是解题的关键．12、D【解析】等量关系为：鸡的只数+兔的只数=35，2×鸡的只数+4×兔的只数=94，把相关数值代入即可得到所求的方程组．【详解】解：∵鸡有2只脚，兔有4只脚，∴可列方程组为：，故选D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.如何列出二元一次方程组的关键点在于从题干中找出等量关系.二、填空题（每题4分，共24分）13、25%【分析】设每次降价的百分比为x，根据前量80，后量45，列出方程，解方程即可得到答案.【详解】设每次降价的百分比为x，，解得：x1=0.25=25%，x2=1.75（不合题意舍去）故答案为：25%.【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题，代入公式：前量（1x）2=后量，即可解答此类问题.14、【分析】先根据弧长公式算出弧长,再算出周长.【详解】弧长=,周长==.故答案为:.【点睛】本题考查弧长相关的计算,关键在于记住弧长公式.15、【分析】由于每个球被摸到的机会是均等的，故可用概率公式解答．【详解】解：∵布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，∴P（摸到黄球）=；故答案为：.【点睛】此题考查了概率公式，要明确：如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件A的基本事件有a个，不构成事件A的事件有b个，则出现事件A的概率为：P（A）=．16、【解析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．【详解】解：将-1、-2、-3分别填入三个空，共有3×2×1=6种情况，其中三组相对的两个面中数字和均为零的情况只有一种，故其概率为.故答案为.【点睛】本题考查概率的求法与运用．一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率.17、5.5【解析】试题分析：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴=，即=，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m考点：相似三角形18、-2【分析】把x=1代入已知方程可得关于m的方程，解方程即可求得答案.【详解】解：∵为一元二次方程的一个根，∴，解得：m=－2.故答案为：－2.【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，属于应知应会题型，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题关键.三、解答题（共78分）19、（1）详见解析;（2）;（3）【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠BAD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD＝90°，根据平行线的性质得到OB⊥BC，即可得到结论；（2）连接OM，根据平行四边形的性质得到BM＝DM，根据直角三角形的性质得到OM＝BM，求得∠OBM＝60°，于是得到∠ADB＝30°；（3）连接EM，过M作MF⊥AE于F，根据等腰三角形的性质得到∠MOF＝∠MDF＝30°，根据OM＝OE＝1，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，∵AD∥BC，∴∠DOB＋∠OBC＝180°，∴∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∴BC为⊙O切线；（2）解：连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BM＝DM，∵∠BOD＝90°，∴OM＝BM，∵OB＝OM，∴OB＝OM＝BM，∴∠OBM＝60°，∴∠ADB＝30°；（3）解：连接EM，过M作MF⊥AE于F，∵OM＝DM，∴∠MOF＝∠MDF＝30°，∵的半径为1∴OM＝OE＝1，∴FM＝,OF＝，∴EF＝1−故EM==．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直径三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．20、（1）；（2）D的坐标为（3，0），顶点坐标为（1，）；（3）满足条件的点P有两个，坐标分别为P1(，)、P2()．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

（2）根据二次函数的解析式得点D的坐标，将解析式化为顶点式可得顶点的坐标；

（3）设P的坐标为P（x，y），到y轴的距离为|x|，则S△BOP=•BO•|x|，解出x=±，进而得出P点坐标．【详解】解：(1)把点A(－1，0)和点B(0，4)代入二次函数中得：解得：所以二次函数的解析式为：；（2）根据（1）得点D的坐标为（3，0），=，∴顶点坐标为（1，）；(3)存在这样的点P，设P的坐标为P(x，y)，到y轴的距离为∣x∣∵S△BOP＝•BO•∣x∣∴＝×4•∣x∣解得：∣x∣＝所以x＝±把x＝代入中得：即：y＝，把x＝－代入中得：即：y＝－∴满足条件的点P有两个，坐标分别为P1(，)、P2()．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线的顶点坐标以及三角形面积等知识，掌握二次函数的性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．21、见解析【分析】先根据平行四边形的性质得，，则，再证明得到AE＝CF．【详解】证明：∵四边形为平行四边形∴，∴∵∴∴【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．22、（1）见解析；（2）见解析；（3）BE＝5．【分析】（1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠OCA，得到OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥PD，根据切线的判定定理证明结论；（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC＝∠PCF，根据等腰三角形的判定定理证明；（3）连接AE，根据正切的定义求出BC，根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质计算即可．【详解】（1）证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，又AD⊥PD，∴OC⊥PD，∴PC与⊙O相切；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∴，∴∠ABE＝∠ECB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∵∠BCP+∠OCB＝90°，∴∠BCP＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BEC，∴∠BCP＝∠BEC，∵∠PFC＝∠BEC+∠ABE，∠PCF＝∠ECB+∠BCP，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF；（3）解：连接AE，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，AC＝8，∴BC＝6，由勾股定理得，AB＝，∵，∴AE＝BE，则△AEB为等腰直角三角形，∴BE＝AB＝5．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定，切线的判定及勾股定理、锐角三角函数．熟练运用这些性质是解题的关键．23、（1）（2）当x=52时，w有最大值为2640.【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x-44）元，每天销售量减少10（x-44）本，所以y=300-10（x-44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；

（2）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x-40）（-10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．【详解】（1）由题意得：y=300-10（x-44）=-10x+740，

每本进价40元，且获利不高于30%，即最高价为52元，即x≤52，故：44≤x≤52，

（2）w=（x-40）（-10x+740）=-10（x-57）2+2890，

当x＜57时，w随x的增大而增大，

而44≤x≤52，所以当x=52时，w有最大值，最大值为2640，

答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润2640元．【点睛】此题考查二元一次函数的应用，二次函数的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，解题关键在于确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=−时取得．24、（1）小李第1天销售的产品数量为70件；（2）第5天时利润最大，最大利润为880元．【分析】（1）根据y和x的关系式，分别列出方程并求解，去掉不符合情况的解后，即可得到答案;（2）根据m与x的函数图象，列出m与x的关系式并求解系数；然后结合利润等于售价减去成本后再乘以销售数量的关系，利用一元一次函数和一元二次函数的性质，计算得到答案．【详解】（1）如果8x＝70得x＝＞5，不符合题意；如果5x+10＝70得x＝1．故小李第1天销售的产品数量为70件；（2）由函数图象可知：当0≤x≤5，m＝40当5＜x≤15时，设m＝kx+b将（5，40）（15，60）代入，得∴且b=30∴m＝2x+30①当0≤x≤5时w＝（62﹣40）•8x＝176x∵w随x的增大而增大∴当x＝5时，w最大为880；②当5＜x≤15时w＝（62﹣2x﹣30）（5x+10）＝﹣10x2+140x+320∴当x＝7时，w最大为810∵880＞810∴当x＝5时，w取得最大值为880元故第5天时利润最大，最大利润为880元．【点睛】本题考察了从图像获取信息、一元一次函数、一元二次函数的知识；求解本题的关键为熟练掌握一元一次和一元二次函数的性质，并结合图像计算得到答案．25、（1）；（2）面积为；（3）P（2，0）或（4，0）【分析】（1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）补形法，求出各点坐标，S△OCD=S△AOB-S△ACD-S△OBD；（3）分两种情形：①∠OPC=90°．②∠OCP=90°，分别求解即可．【详解】解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=，∴AB=OB=2，作CE⊥OB于E，

∵∠ABO=90°，

∴CE∥AB，

∴OC=AC，

∴OE=BE=OB=，CE=AB=1，