高中数学平面向量教案人教版（理科）

it，Arni第四章

平面向量、数系的折充与丽丽

第一节平面向量的概念及其线性运算

向量的线性运算及几何意义

（1）理解平面向量的有关概念及向量的表示方法.

（2）掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义.

（3）理解两个向量共线的含义.

（4）了解向量线性运算的性质及其几何意义.

ZHISHIHUIGU................

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知识点一向量的有关概念

名称定义

向量既有大小又有方向的量叫作向量,向量的大小叫作向量的长度（或称模）

零向量长度为零的向量叫作零向量,其方向是任意的,零向量记作0

单位向量长度等于L个单位的向量

表示两个向量的有向线段所在的直线壬丘或重合，则这两个向量叫作平行向量，

平行向量

平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行

相等向量长度相等且方向相同的向量

相反向量长度相等且方向相反的向量

易误提醒

1.对于平行向量易忽视两点：（1）零向量与任一向量平行.（2）两平行向量有向线段所在

的直线平行或重合，易忽视重合这一条件.

2.单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制.

［自测练习］

1.若向量”与8不相等，则”与6一定（）

A.有不相等的模B.不共线

C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量

解析：若a与入都是零向量，则”=方，故选项C正确.

答案：C

2.若"i〃"，"〃〃，则向量m与向量〃（）

A.共线B.不共线

C.共线且同向D.不一定共线

解析：可举特例，当"=0时，满足,”〃A,故A,B,C选项都不正确，故D正

确.

答案：D

知识点二向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

(1)交换律：

a~\~b=b~\~a；

加法求两个向量和的运算三角形法则(2)结合律：

(a+b)+c=a+(b

a•

+c)

平行四边形法则

求a与〃的相反向量

减法一〃的和的运算叫作aa—b=a+(­b)

a

与8的差三角形法则

⑴心|=囚同；

如1）=如）a；

求实数4与向量。的⑵当2>0时，Aa的方向与a的方向

数乘（2+〃）缄

积的运算相同;当a<0时，痴的方向与a的

“。+力）=筋+26

方向相反;当2=0时，za=0

易误提醒

1.作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点.

2.数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数.

［自测练习］

3.（2016・通州模拟）已知在△N8C中，。是5c的中点，那么下列各式中正确的是（）

—►—►—►—►1—►―►

A.AB+AC=BCB.AB=QBC+DA

C.AD~DC=ACD.2CD+BA=CA

解析：本题考查向量的线性运算.A错，应为3+病=2疝；8错，应为:正+晶=访

+DA=BA-,C错，应为次?=疝+庆；D正确，2而+拓=①+拓=8,故选D.

答案：D

知识点三共线向量定理

向量a(«WO)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数九使得b=Aa.

易误提醒

1.在向量共线的重要条件中易忽视％片0”，否则2可能不存在，也可能有无数个.

2.要注意向量共线与三点共线的区别与联系.

必记结论三点共线等价关系：

A,P,B三点共线台开=痴(2"0)0赤=(1一中为+，勋(0为平面内异于/,P,B

的任一点，fGR)今赤=x&+)，协(O为平面内异于Z,P,5的任一点，xGR,yGR,x+

尸1).

［自测练习］

4.已知“与6是两个不共线向量，且向量a+乃与一(6—34)共线，则2=.

解析：由题意知a+2b=〃［—(b—3a)］,

KAODIANYANJIU..........

考向»考点研究》强技提能

自主探究

考点一向量的基本概念|ZIZHUTANJIU

［题组训练］

1.(2015•郑州二模)已知a,h,c是任意向量，给出下列命题：

①若h//cf则4〃C；

②若4〃瓦则方方向相同或相反;

③若•=一"则|3=步|；

④若〃，〃不共线，则小台中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是()

A.4B.3

C.2D.1

解析：按照平面向量的概念逐一判断.若6=0,则①②都错误；若a=-b,则同=网，

③正确：若明6不共线，则%中一定没有零向量，④错误，所以正确命题只有1个.

答案：D

2.设a,6都是非零向量，下列四个条件中，一定能使俞+4=0成立的是()

A.a=2bB.a//b

C.a=~\bD.aVb

解析：由言+9=0得5=一得#°，即a=-Qa|W0,则a,b共线且方向相反，因此

当向量％b共线且方向相反时，能使5+磊=。成立.对照各个选项可知，选项A中向量a,

网网

力的方向相同，选项B中向量a,6共线，方向相同或相反，选项C中向量”，力的方向相

反，选项D中向量%〃互相垂直，故选C.

答案：C

［》规律方法

解决向量的概念问题应关注五点

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象

移动混为一谈.

(5)非零向量”与5的关系：言是a方向上的单位向量.

考点二平面向量的线性运算|HS2UO卷落

［典题悟法］

Ml(1)(2015・高考课标卷I)设。为△48C所在平面内一点，元=3诙，则()

A.jb=一挞+薪

—*•1—►4—*■

B.4£>=08—pC

-►4-**1—►

C.AD=-jAB+^AC

V).AD=^AB—\A，C

、-►-►-►―►1―►―►1­►1—►1—►4-►

［解析］由题意得4D=4C+CZ)=4C+丞C=4C+§ZC—故选A.

［答案］A

(2)(2015•东北三校联考(二))已知在△48C中，。是边上的一点，若而=2由,CD=

|C4+ACB,则入=.

―►―►—>I—►—►—►―►—►—►2-►—►2-►

［解析］因为CD=^CA+XCB,所以CO=C4+/D=G4+p8=G4+§(C3—

CA)=\cA+^CB,所以2=1.

2

［答案］

＞〉规律方法

平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合平行四边形法则.

(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则;

求首尾相连向量的和用三角形法则.

［演练冲关］

1.设。为△/8C内部的一点，且为+励+2次：=0,则△/OC的面积与△BOC的面

积之比为()

35

A-2B-3

C.2D.1

解析：取ZB的中点E,连接。邑则有为+B+2及'=2(丽+必=0,OE+OC=Q,

所以E,O,C三点共线，所以有△?!£■。与△8EO面积相等，因此△NOC的面积与△8OC

的面积之比为1,故选D.

答案：D

考点三共线向量定理的应用|鼻隹藏杏

［典题悟法］

典例2(2015•高考全国卷II)设向量m6不平行，向量痴+6与a+2b平行，则实数％

［解析］由于〃与”+2b平行，所以存在〃£R,使得相+b="(o+2b),即(4—〃)〃

+(1—2/z)A=0,因为向量％b不平行，所以A—"=0,1—2〃=0,解得2=〃=；.

［答案］1

>〉规律方法

1.共线向量定理的应用

(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值.

(2)若a,b不共线，则).a+nb=Q的充要条件是7="=0,这一结论结合待定系数法应

用非常广泛.

2.证明三点共线的方法

若弱=灰，则4B、C三点共线.

［演练冲关］

2.设两个非零向量约和C2不共线.

(1)如果/8=ei—e2,8c=3ei+2e2，CD=—^e\—2ei,求证：A,C,。三点共线；

(2)如果j^=ei+e2,BC=2e\-3e2,AF=3e\-ke2,B.A,C,尸三点共线，求上的值.

解：(1)证明：AB=e\-ei,BC=3et+2e2,

：.AC=AB+BC=4e}+e2,

又CL>=—8e〕-2e2,

：.CD^-2AC,；.我?与丽共线.

又：就与西有公共点C,：.A,C,。三点共线.

(2y：AB=ei+e2,反1=2ei-3e2,

•**AC=AB~\~BC=3ei-2«2.

VAfC,b三点共线.

：.AC//AF,从而存在实数九使得彳小=证

/.3d——=32g—入ke?,

又约，02是不共线的非零向量，

3=3人

・,・‘‘因此左=2.，实数左的值为2.

思想方法系列I

SIXTANGFANGFA\ILIEI13.方程思想在平面向量呈线性运算中的应用

【典例】如图所示，在△430中，OC^OA,OD=^OB,AD与8c

相交于点"，设为=a,3=4试用a和8表示向量0M.

［思路点拨］(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本0

要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.

(2)既然而/能用a,b表示，那我们不妨设出说=加“+».

(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解.

［解］设。M="7"+〃仇

则/A/=OM-0A=ma+mb~a=(m—l)a+nb.

AD—OD—OA—^OB—OA——a+^b.

又..Z,M,。三点共线，筋/与万)共线.

；・存在实数/,使得/应=筋，

即(加一［)a+〃b=/(—a+s〃)

二•(加―l)a+〃b=一勿+品.

m—\=­/,

消去，得，m—\=—2n

即加+2〃=1.①

又■「CM=OM—OC=ma+nh—~^a=

CB=OB—OC=b—^a=—^a+b.

又「C,M,8三点共线,

・・・南与%共线.

，存在实数八,使得

・，・=八

加-7=一不】，

消去八得，4〃?+〃=1.②

由①②得加=；,.'.OM—^a+^b.

［方法点评］（1）本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定

的难度.（2）易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解.（3）数形结合思

想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关

问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技

巧.如本题易忽视/,M,。三点共线和8,M,C三点共线这个几何特征.（4）方程思想是

解决本题的关键，要注意体会.

B.

［跟踪练习］如图，4ABC中，GA+GB+GC^O,CA=a,通=b.

若力=ma,CQ^nb,CGCPQ=H,CG^2CH,则'+:=.\

解析：由为+揖+定=0,知G为△N8C的重心，取AB的中点C

0（图略），则①=昇;="）=t同+函/力+/函由尸，H,0三点共线，得看+

4=1,则工+1=6.

6〃mn

答案：6

GENZONGJIANCE

W-■检渊」查漏补缺

A组考点能力演练

1.关于平面向量，下列说法正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.平面内的单位向量是唯一的

C.方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量

D.共线向量就是相等向量

解析：对于A,零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确：对于B,单位向

量的模为1,其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C,方向相反的向量一定是共线向

量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D,由共线向量和相等向量的定

义可知D不正确，故选C.

答案：C

2.已知0,A,B,C为同一平面内的四个点，若庆+%=0,则向量次等于（）

A.|a4-1dsB.-|o4+|（9S

C.2OA-OBD.-OA+2OB

解析：因为就=沅一为，CB=OB-OC,所以2就+无=2（无一①）+（为一次）=

OC~2OA+OB^0,所以历=28一/，故选C.

答案：C

3.（2015•嘉兴一模）已知在△/BC中，"是8C的中点，设无=a,CA=b,则就/=（）

A.^a—bB.^a+b

C.Q.]bD.0+；〃

解析：AM=AC+CM=—CA+^CB=—b+^a.

答案：A

4.（2015•海淀期中）如图所示，在△N5C中，。为4C边上的一点，

力

且80=2。。，若病=机次+〃疝伽，”CR）,则"一”=（）ZA

:1,

C.150c

D.-1

解析：AC=AB+BC=AB+^Bb=AB+^（AD—AB）=-^AB+^ADf则〃?=一/

所以加一〃=—2.

答案：B

5.若"，8是两个不共线的非零向量，〃与b的起点相同，已知“，力，/a+3三个向

量的终点在同一条直线上，贝h=（）

A.；B.-3C.2D.—2

解析：设。/=优，OB=tb,OC=^（a+b）,则4C=。。一。/=-1〃+*,AB=OB—OA=

s-g要使4B,C三点共线，只需就'=/&,即-多/+%»=，6—2。即可，又叫6是两个

f-3=~^J2=3

不共线的非零向量，]解得J,，当三个向量的终点在同一条直线

[尸，[/=1

31

上时，t=2-

答案：A

6.(2016・长沙一模)在矩形Z8C。中，。是对角线的交点，若就=5ei，DC^3e2,则沅

=.(用e\,表示)

解析：在矩形ABCD中，因为。是对角线的交点，所以沅=；左=；(就+万))=/历+

80=](5ei+3e2).

答案：；(5ei+3e2)

7.已知向量e”e2是两个不共线的向量，若Q=2ei—e2与Z>=ei+/le2共线，则2=.

[x=2,1

解析：因为[与b共线，所以〃=动，卜_]故％=一,

答案：—3

8.(2016•青岛一模)已知点G是△A8C的外心，GA,GB,沆1是三

个单位向量，且+弱+k=0,如图所示，△/BC的顶点2,C分

别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则|力|O^~B---；

的最大值为.

解析：因为点G是△N8C的外心，且2为+弱+左=0,所以点G是8c的中点，△

/8C是直角三角形，且NA4c是直角.又为，GB,就是三个单位向量，所以8C=2,又

△4BC的顶点、B,C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，所以点G的轨迹是以

原点为圆心、1为半径的圆弧.又|心|=1,所以当04经过BC的中点G时，取得最大

值，且最大值为2|a|=2.

答案：2

9.已知“，6不共线，OA^a,OB=b,OC^c,OD=d,OE=e,设fdR,如果3a=

c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数/使C,D,E三点在一条直线上？若存在，求出实数/

的值，若不存在，请说明理由.

解：由题设知，CD=d-c=2h-3a,CE=e-c=(t-3)a+th,C,D,E三点在一条直

线上的充要条件是存在实数%,使得&=kdb,即«—3州+必=-3履+2协，

整理得«—3+3%)。=(2左一。。

t~3+3k=O,

因为明〃不共线，所以有，

t—2k=0,

解之得/=|.

故存在实数/=,使C,D,E三点在一条直线上.

10.设。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点尸满足赤=①+

—+—,2£[0,+8).求点尸的轨迹，并判断点尸的轨迹通过下述哪一个定点：

\AB\\AC\J

①△ZBC的外心；②△/8C的内心；③△N3C的重心；④△Z8C的垂心.

-►■一〉

解：如图，记/1例=,AN=,则/A/,ZN都是单位向量，

A\AM\=\AN\,AQ=AM+AN,则四边形4WQN是菱形，平分N8/C.

"：OP^OA+AP,由条件知力=为+滋，

.,.iP=2^2(zG[0,+«>)),

...点P的轨迹是射线AQ,且AQ通过△/3C的内心.

B组高考题型专练

1.(2014•高考新课标全国卷I)设。，E,产分别为△/BC的三边8C,CA,的中点，

则西+危=()

A.BCB.^4£)

C.ADD.|iC

解析：i^AB=a,AC=h,则诿=—；b+a,FC=—从而诿+成'=(一3>+〃)+

(―，+6)=g(a+Z>)=4D,故选C.

答案：C

2.(2015•高考陕西卷)对任意向量小6,下列关系式中不恒成立的是()

A.-W|a||b|

B.|af|W||a|一步||

C.(«+6)2=|a+阡

D.(a+b)(a—b)=a2—b2

解析：对于A选项,设向量％6的夹角为仇「la协|=同例cos6»|W同向，，A选项正

确；对于B选项，；当向量a,b反向时，同一例，，B选项错误；对于C选项，

由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确；对于D选项，根据向量的运算法则，

可推导出(a+力)•伍一〃)=/一〃2,故D选项正确，综上选B.

答案：B

12

3.(2013・高考江苏卷)设。，E分别是△/8C的边8c上的点，AD=^AB,BE=]BC.

若励=九次+2/石为实数)，则为十22的值为.

解析：DE=DB+BE+T5C=T:AB+^(BA+AC)=—TAB+^AC,所以小=一h

乙J/JUQVz

21

=y即幻+22=,

答案：I

4.(2015・高考安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a,〃满足寿=2”，AC

=2a+'则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号)

①a为单位向量；②8为单位向量；③a，Z＞；@b//BC；⑤(44+»，虎.

解析：•.•前=2%AC=2a+b,：,a=^AB,b=BC,又△/BC是边长为2的等边三角

形，：.同=1,网=2,故①正确，②错误，③错误；由力=证，b//BC,故④正确；V4a

+b=2AB+BC=AB+AC,：.(4a+b)BC=(AB+AC)BC=-2+2=0,.*.(4a+Z()±iC,故

⑤正确.答案为①④⑤.

答案：①④⑤

第二节平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及向量的坐标运算

(1)了解平面向量基本定理及其意义.

(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

(3)能用坐标对向量进行线性运算.

(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

ZHISHIHUIGU................

抓主干»知识回顾》稳固根基

知识点一平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量”，有且

只有一对实数九，22，使。=九01+%202，其中不共线的向量61，02是表示这一平面内所有向

量的一组基底.

易误提醒平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不

共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这种分解是唯一的.这一

点是易忽视的.

[自测练习]

1.如果C2是平面a内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内

所有向量的一组基底的是()

A.ei与ei+e2B.d一2e2与矶+2«2

C.ei+e2与ei-eiD.e【+3e2与6e2+2ei

解析：选项A中，设ei+e2=iei,则F无解；

[1=0,

、1,

选项B中，设—2c2=2(d+2c2),则j无解；

、[2=1,

选项C中，设ei+e2=4(ei—«2),则彳无解；

U=T,

选项D中，e]+3^2=5(602+2ci),所以两向量是共线向量.

答案：D

2.如图，在平行四边形43CQ中，E为。。边的中点，且港=dAD=b,则防=()

A.b~^aB.〃+呼\----@----/

C.a+^bD.a-zb~~，C

解析：BE=BA+AD+DE=—a+b+^a=b—^a.

答案：A

知识点二平面向量的坐标运算

1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设。=(乃，yi),b=(x],㈤，则

a+b=(汨+也，月+廿2)，a~b=(内-也，月一以)，

Xa=(2jc\,An),|a|=山彳+".

2.向量坐标的求法

(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

(2)设/(»,yi),B(X2,/)，则/8=(工2-Xi，匕一”)，

\AB\=，(X2—Xl)2+、2-yi)2.

3.设〃=(X1,y\),b=g,闻，其中〃WO.则。〃〃分工以一X2_yi=0.

易误提醒

1.向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系.

2.向量平移后坐标不变.

3.若〃=(工1,y\),b=(X2,y2),则。〃〃的充要条件不能表示成&=",因为双，又有

%2yi

可能等于0,所以应表示为工.一工26=0.

［自测练习］

3.(2015•西宁期末)若向量前=(1,2),灰7=(3,4),则正=()

A.(2,2)B.(-2,-2)

C.(4,6)D.(—4,—6)

解析：本题考查向量的坐标运算.战?=/+病=(4,6),故选C.

答案：C

4.已知平面向量。=(1,2),6=(-2,in),若。〃b,则2〃+3。=()

A.(-5,-10)B.(-2,-4)

C.(一3,—6)D.(—4,—8)

解析：由得机=一4,所以2〃+36=2(1,2)+3(—2,—4)=(一4,-8).

答案：D

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研考向»考点研究》强技提能

考点—平面向量基本定理及应用I良恚然器

［题组训练］

1.(2015・杭州质检)设。是△48C的外心(三角形外接圆的圆心).若/施+紧,

则/8NC的度数等于()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析：本题考查平面向量加法的几何意义、平面向量共线.取8c的中点。，连接ZO,

则弱+芯=2疝.由题意得3n=2疝，又为8c的中线，，。为△48C的重心.又。

为外心，.•.△/8C为正三角形，二NBZC=60°,故选C.

答案：C

2.（2016•南昌模拟）如图，平面内有三个向量为，OB,OC,其中为与协的夹角为120°,

为与历的夹角为30。，且|宓|=|协|=1,|灾|=2小，若灰=2为+〃协（九"WR）,即A

+〃的值为.

解析：如图，构成平行四边形，•・•NOCO=90。，|OC|=24，ZCO£>=30°,：.\CD\=

2小xW=2=|OE|=WI，|。。|=个5。=囚=4,注意共线的条件和单位向量有2+〃=6.

DJ\J

答案：6

》规律方法

应用平面向量基本定理表示向量的实质

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量

的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后，任一向量

的表示都是唯一的.

考点二平面向量的生标运算序作最居

［典题悟法］

奥例I(1)(2015•广东六校联考)已知向量a=(5,2),6=(—4,—3),c=(x,y),若3a

—2b+c=0,则c=()

A.(-23,-12)B.(23,12)

C.(7,0)D.(-7,0)

［23+x=0,

［解析］由题意可得34-25+。=(23+无12+歹)=(0,0),所以,解得

［l2+y=0t

—23,

'所以c=(-23,-12),故选A.

J=-12,

［答案］A

（2）（2015-贵阳期末）已知正方形N8CZ）的边长为1,AB=a,的=b,AC^c,则|a+Z>+

C尸■

［解析］如图，建立平面直角坐标系，

则/(0,1),8(0,0),C(l,0),

：.AB=a=(Q,-1),

5C=6=(l,0),AC=c=(\,—1),

：.a+h+c=(2,-2),\a+h+c\=2y］2.

［答案］2也

》规律方法

平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有

向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，

并注意方程思想的应用.

［演练冲关］

1.(2015•高考江苏卷)已知向量a=(2,1),5=(1,-2).若ma+nb=(9,一8)(机，2

R),则m—n的值为.

解析：由向量a=(2,l),6=(1,—2),得ma+nb=(2m+n,m~2n)=(9,—8),则

2m+n=9,fw=2,

■解得故加一〃=一3.

2n=-8,l〃=5,

答案：一3

考点三平面向量共线的生标表示|HEJUO技器

［典题悟法］

奥倒2(1)在平面直角坐标系中，已知向量。=(1,2),“一；〃=(3,1),c=(x,3),若(24+

b)//c,则x=()

A.-2B.-4

C.13D.-1

［解析］本题考查向量的坐标运算.依题意得Z>=2［“一，-，)］=(—4,2),2a+h=(—

2,6),6x=—2X3=—6,x=—1,故选D.

［答案］D

(2)(2015・东营模拟)若三点Z(2,2),83,0),C(0,6)(MW0)共线，则！+"的值等于.

［解析］AB=(a-2,-2),AC=(~2,b~2),依题意，有3—2)(6—2)—4=0,即ah

一2。-26=0,所以

［答案］I

>〉规律方法

平面向量共线的坐标表示问题的常见三种类型及解题策略：

(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a

—(xi,yi),6=(x2,yi),则a〃b的充要条件是xiy2=X2yi”解题比较方便.

(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量”共线的向量时,

可设所求向量为2a(%WR),然后结合其他条件列出关于2的方程，求出7的值后代入施即

可得到所求的向量.

(3)三点共线问题.A,B,C三点共线等价于次与充共线.

［演练冲关］

2.已知点”(1,3),8(4,—1),则与向量叁同方向的单位向量为()

解析:..7(1,3),5(4,-1),

...弱=(3,-4),又：诵|=5,

与淡同向的单位向量为&•=6，一*

\AB\65,

答案:A

思想方法系列

IXIANGFANGFAXILIE14.坐标法在向量问题中的应用

【典例】给定两个长度为1的平面向量OA和0B,它们的夹角为拿一~、

如图所示，点C在以。为圆心，1为半径的圆弧48上运动.若无=》昂+、/\

0A

yOB,其中x,yGR,求x+y的最大值.

［思路点拨］建立平面直角坐标系，求出48的坐标，用三角函数表示出C的坐标，

最后转化为三角函数求最值.

懈］以。为坐标原点，①所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则2(1,0),

设NNOC=a(ae[o,空°,

JO'IC(cosa,sina),

由灰'=疝+防,

x=cosa

所以、

"sma,

所以x+y=cosa+y/3sina=2sin(a+2

电，y］,所以当a=W时，x+y取得最大值2.

又a

［方法点评］对于有些向量的应用问题，如果能够具备建系的条件，可适当建立坐标系,

问题转化为向量的坐标运算更加简便.

［跟踪练习］向量a，b,c在正方形网格中的位置如图所示，若。二相

+曲(，"ER),

解析：以向量。的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为工轴、y轴建

立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1,则«=(—1,1),b=(6,2),C=(—1,

-3).由即(一1,—3)=z(—1,1)+//(6,2),得一A+6//=—1,2+2〃=—3,故JL

=-2,"=T，则)=4.

答案：4

GENZONGJIANCE

»跟踪检测＞查漏补缺

A组考点能力演练

1.(2015•郑州一模)设向量”=(x,l),b=(4,x)，若〃"方向相反，则实数x的值是()

A.0B.±2

C.2D.~2

解析：由题意可得〃〃仇所以f=4,解得工=-2或2,又叫〃方向相反，所以x=

—2,故选D.

答案：D

2.(2015・抚顺二模)若向量a=(2,l),力=(-1,2),c=(0,|),则c可用向量a,b表示

为()

A.；〃+bB.—^a~b

313l

C2a+2hD呼一的f

解析：设如则(。，D=g-X+2D所以「一尸；'(1

X---

解得，*12,则

、乙，hc+2y=2,

)=1，

c=^a+h,故选A.

答案:A

3.在△N8C中，。是8c的中点，过点。的直线分别交直线ZC于不同的两点M,

N,若港=x6,AC=yAN,则x+y=()

A.2B.1

5

C.3D，2

解析：因为MO,N三点共线，所以存在常数4/IWO,且/I#一1),使得流=2赤,

_**-A-A-A-A1-A7,-A-A1-A

即所以又。是3c的中点，所以40=5/8+

1-IA1i-A，

I21+万

^AM+^AN,又就/,病不共线，所以得]+，=志+市=1,即x

12一1+2'

+y=2.

答案：A

4.已知△NBC是边长为4的正三角形，D,P是△NBC内的两点，且满足疝=；（淡+

AQ,AP=AD+^BC,则△/2£)的面积为()

O

A/B.9

C币D.2^3

解析：取8c的中点E,连接/E,由