高中数学导数知识点归纳总结及例题

导数

考试内容：

导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数探讨函数的单调

性和极值.函数的最大值和最小值.考试要求：（1）了解导数概念的某

些实际背景.（2）理解导数的几何意义.（3）驾驭函数，y=c（c为常数）、

y=xn（n£N+）的导数公式，会求多项式函数的导数.（4）理解极大值、微

小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极

大值、微小值与闭区间上的最大值和最小值.（5）会利用导数求某些简

洁实际问题的最大值和最小值.

§14.导数学问要点

1.导数（导函数的简称）的定义：设/是函数尸/（x）定义域的一点，假如

自变量x在处有增量©，则函数值y也引起相应的增量W=小。+.）-/（%）;

比值包=/（'。+小）-/*。）称为函数”/（刈在点八至卜。十八之间的平均变更率；

AxAx

假如极限lim包=lim.。+一）-/的）存在,则称函数）=/（外在点/处可导，并

Ax->0AxATTOAX

把这个极限叫做y=/(x)在x。处的导数，记作/(X。)或”，即

/乜)=1而包=如迎此处&文

AXT0AXAXTOAX

注：①©是增量，我们也称为“变更量”，因为心可正，可负，但不为零.

②以知函数尸/㈤定义域为4,y=/(x)的定义域为B,则/与B关系为止8.

2.函数y=/(x)在点X。处连续与点X。处可导的关系：

⑴函数蚱/⑶在点X。处连续是"〃x)在点X。处可导的必要不充分条件.

可以证明,假如"/(X)在点X。处可导，则y=/(x)点X。处连续.

事实上，令x=x0+Ax,则x->X。相当于Axf0.

于是limf(x)=limf(x0+Ax)=lirn[f(x+x0)-/(x0)+/(x0)]

x->x0Ax->0Axf0

f(x0+Ax)-/(x0)/(x0+A.v)-/(x0)，、6/、

=hm[-------------------------Ax+/(/)]=hm-------------------------hm+hm/(x0)=/(xo)-O+/(xo)=/(x0).

Ax->0AxAv->0AxAYTOATTO

⑵假如y=/(x)点X。处连续，则y=/(x)在点X。处可导，是不成立的.

例：/(x)=|x|在点x0=O处连续，但在点x0=0处不行导，因为包=国，当、〉

ArAx

0时，包=1；当.<0时-，包=_1,故lim包不存在.

AxAxATTOAX

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函

数为奇函数.

3.导数的几何意义：

函数y=/(X)在点X。处的导数的几何意义就是曲线？="X)在点(x0J(x))处的切

线的斜率，也就是说，曲线y=/(x)在点尸(x°J(x))处的切线的斜率是八x。)，

切线方程为y-凡=f'(x)(x-x0).

4.求导数的四则运算法则：

（“土V）'=。土V'n"力（X）+72（X）+…+丁（X）n£=力'。）+/；（X）+...+f'„（x）

（wv）=VU+VM=>（cv）=cv+cv=cv（c为常数）

注：①『必需是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不行导,

则它们的和、差、积、商不肯定不行导.

例如：设/(x)=2sinx+2,g(x)=cosx--,则/'(x),g(x)在x=0处均不行导，但它们

xx

和/(x)+g(x)=sinX+COSX在x=0处均可导.

5.复合函数的求导法则：/；®(x))=/(")o'(x)或N：=y'”

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数y=/(x)在某个区间内可导，假如/'(x)>0,

则y=/(x)为增函数；假如/’(x)VO,则y=/(x)为减函数.

⑵常数的判定方法；

假如函数y=/(X)在区间/内恒有/'(x)=0,则y=/(x)为常数.

注：①“x)>0是/'(X)递增的充分条件，但不是必要条件，如>=2x3在(9,+8)

上并不是都有/(x)>0,有一个点例外即年0时/1(X)=0,同样/(X)Y0是

f(X)递减的充分非必要条件.

②一般地，假如F&)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或

负)，则F(x)在该区间上照旧是单调增加(或单调削减)的.

7.极值的判别方法:(极值是在X。旁边全部的点，都有/(X)V/(X。)，则/(X。)

是函数/⑶的极大值，微小值同理)

当函数/(X)在点X。处连续时，

①假如在X。旁边的左侧/(x)>0,右侧八x)<0,则“X。)是极大值；

②假如在X。旁边的左侧八x)V0,右侧八x)>0,则/(X。)是微小值.

也就是说X。是极值点的充分条件是X。点两侧导数异号，而不是/'(x)=0①.

此外，函数不行导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概

念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比微小值小(函数在

某一点旁边的点不同).

注①：若点/是可导函数“X)的极值点，贝ur(x)=o.但反过来不肯定成立.

对于可导函数，其一点n是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导

数值为零.

例如：函数y=/(x)=x3,x=0使/'(x)=0,但x=0不是极值点.

②例如：函数y=/(x)=|x|,在点x=0处不行导，但点x=0是函数的微小值点.

8.极值与最值的区分：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体

区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点肯定有意义.

9.几种常见的函数导数：

I.c'=o(c为常数)(sinx)'=COSX(arcsinx)'=.1

(x")-nxn-x(neR)(cosx)=-sinx(arccosx)=——,1

TT.1.1

II-(Inx)=-(logax)=-logae

xx

(/arctanx、)，=--1---

X2+1

(ex)'=exS)'=a'lna

(arccotx)'=--—

x2+l

III.求导的常见方法：

①常用结论：(ln|x|)'=L②形如y=(x-%)(…2)“x-a”)或广仁等裂手3

两边同取自然对数，可转化求代数和形式.

③无理函数或形如y=这类函数，如卜=乂，取自然对数之后可变形为

\ny=x\nx,对两边求导可得匕=Inx+x—=>y'=>Inx+y="=xxInx+x1.

yx

导数中的切线问题

例题1:已知切点，求曲线的切线方程

曲线%/-3/+1在点(1,-1)处的切线方程为()

例题2：已知斜率，求曲线的切线方程

与直线2x7+4=0的平行的抛物线>=/的切线方程是()

例题3：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，

即用待定切点法.

求过曲线y=--2x上的点(1,-1)的切线方程.

例题4：已知过曲线外一点，求切线方程

求过点(2,0)且与曲线尸』相切的直线方程.

X

练习题：已知函数产x、3x,过点/(0,16)作曲线y=/(x)的切线，求此

切线方程.

看看几个高考题

1.(2009全国卷H)曲线y=后在点(1,1)处的切线方程为

2.(2010江西卷)设函数/(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(l,g⑴)处的切线

方程为j，=2x+l,则曲线y=/(x)在点(1J⑴)处切线的斜率为

3.(2009宁夏海南卷)曲线y=xe'+2x+l在点(0,1)处的切线方程

为o

4.(2009浙江)(本题满分15分)已知函数/(1)=/+(1--a(a+2)x+6

(a,bwR).

(I)若函数”x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求a1的

值；

5.(2009北京)(本小题共14分)

设函数/(x)=x3-3ax+b(aw0).

(I)若曲线y=/(x)在点(2J(x))处与直线y=8相切,求a,b的值；

.1函数的单调性和导数

1.利用导数的符号来推断函数单调性：

一般地，设函数>=/(x)在某个区间可导，

假如在这个区间内/‘(X)>0,贝防=/(X)为这个区间内的;

假如在这个区间内/(X)<0,则歹=/(X)为这个区间内的o

2.利用导数确定函数的单调性的步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求出函数的导数；

(3)解不等式FC(x)>0,得函数的单调递增区间；

解不等式FC(x)〈0,得函数的单调递减区间.

【例题讲解】

a)求证：歹=/+1在(—8,0)上是增函数。

b)确定函数F(x)=2f—6V+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内

是减函数.

【课堂练习】

1.确定下列函数的单调区间

(1)7=y—9x+24x(2)j=3x—x

2.已知函数/(x)=xlnx,则()

A.在(0,+oo)上递增B.在(0,+8)上递减

C.在„上递增D.在„上递减

3.函数/(》)=/_3/一5的单调递增区间是

函数图象与其导函数图象

1.函数y=/(x)在定义域43)内可导，

其图象如图，记y=/(x)的导函数为

丁=.广(幻，则不等式r&)wo的解集为

2.函数/(X)的定义域为开区间(-|,3),导

函数r(x)在(-(3)内的图象如图所示，

则函数/(x)的单调增区间是

3.如图为函数/(*)=奴3+版2+以+4的图象，/口)为

函数/(x)的导函数，则不等式x•尸(x)<0的解集

为___________

4.若函数/(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则其导函数/(x)的图

象是()

5.函数＞=/(x)的图象过原点且它的导函数r(x)的图象是

如图所示的一条直线，则y=/(x)图象的顶点在()

A.第一象限B.其次象限C.第三象限

D.第四象限

6.(2007年广东佛山)设r(x)是函数/(x)的导函"

数，y=.，(x)的图象如右图所示，则y=/(x)的图象最有__

7.设函数f(x)在定义域内可导，尸F(x)的图象如下左图所示，则导函数

8.(安微省合肥市2010年高三其次次教学质量检测文科)函数＞=/(x)的

图像如下右图所示，则y=r(x)的图像可能是()

A.C.

9.（2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调

研考试文科）已知函数/（x）的导函数

r（x）=/+云+c,的图象如右图，则/（X）的图象可

能是（）

10.（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如\y/

右图所示是某-容器的三视图，现向容器中匀速注E

水，容器中水面的高度〃随时间/变更的可能图象是

/、俯视图

(D)

H.（2008广州二模文、理）已知二次函数/（x）的图象如图1所示，则其导

函数/‘（X）的图象大致形态是（

12.（2009湖南卷文）若函数尸/（x）的导瓯数在区间向上是增函数，则

函数y=在区间［a向上的图象可能是

)

13.（福建卷11）假如函数）=/*）的图象如右图,

则导函数歹=/6）的图象可能是（）

8年福建卷12）已知函数y=