高中数学题型全面归纳（学生版）：第二节函数的定义域与值域（最值）

第二节函数的定义域与值域（最值）

考纲解读会求一些简单函数的定义域和值域

命题趋势探究考查重点是求解函数的定义域和值域

知识点精讲

一、函数的定义域

求解函数的定义域应注意：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1;

（4）零次幕或负指数次幕的底数不为零；

（5）三角函数中的正切y=tanx的定义域是R,且XH依+g■，火ez）；

（6）已知/（x）的定义域求解/［g（x）］的定义域，或已知扛g（x）］的定义域求/（x）的

定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则1下，括号内式子

的范围相同；

（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的

定义域.

二、函数的值域

求解函数值域主要有以下十种方法：

（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数

法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.

需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.

题型归纳及思路提示

题型13函数定义域的求解

思路提示

对求函数定义域问题的思路是：

（1）先列出使式子/（x）有意义的不等式或不等式组；

（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式.

一、给出函数解析式求解定义域

例2.函数y=J（x+1）.的定义域为（）.

《一x1-3x4-4

A.(-4<1)B.(-4,l)C.(-l,l)

变式1函数y=«ln(l-x)的定义域为()

A.(0,1)B[0,1)C.(0,1]D[0,1]

x-2-1

变式2求函数〃x)=两E的定义境

二、抽象函数定义域

已知了(力的定义域求/［g(x)］的定义域，或已知儿g(x)］的定义域求/(九)的定义域，

或已知/［g(x)］的定义域求y［/z(%)］的定义域.

解题时注意：(1)定义域是指自变量的取值范围；(2)在同一对应法则1的作用下括号内式

子的范围相同.

例2.11(1)已知函数/(x)的定义域为(0,1)求/(f)的定义域

(2)已知函数/(/)的定义域为(2,4)求“X)的定义域

(3)已知函数的定义域为(1,2)求/(2x+1)的定义域.

评注定义域是对自变量而言的，如/(f)的定义域为(1,2)指的是x的范围而非V的

范围.

变式1已知函数/（2'）的定义域是[0,1],求/（2x-l）的定义域.

变式2设〃x）=lg六，则/（£]+/（：）的定义域为（）

A(-4,0)U(0,4)(-4,Y)U(L4)C.(-2,-l)U(l,2)D(<-2)U(2,4)

三、实际问题中函数定义域的求解

例2.12如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径

为x,求此框架围成的面积y与x的函数式y=/(x),并写出其定义域.

分析在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数

评注求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有

意义，如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域

题型14函数定义域的应用

思路提示对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对

参数进行分类讨论.

例2.13若函数"X)=正2_］的定义域为R,则实数a的取值范围为.

1

变式1若函数/(%)=的定义域是R,求则实数a的取值范围是()

cix2+4ax+3

33

A.{4QE/?}B.a\O<a<-6z|0<<—

।4I4

变式2函数y=lg(or2-⑪+1)的定义域是R,求a的取值范围.

变式3若函数y=小(/一］)/+,一］)%+占的定义域为R,求实数a的取值范围.

题型15函数值域的求解

思路提示函数值域的求法主要有以下几种

(1)观察法:根据最基本函数值域(如/川,r>0及函数的图像、性质、简单的计算、推理,

凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.

(2)配方法：对于形如y=+法+c(aoO)的值域问题可充分利用二次函数可配方的

特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.

(3)图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.

(4)基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.

(5)换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形y=ar+/?+，cx+4的值城,可通过

换元将原函数转化为二次型函数.

(6)分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分

析.

(7)判别式法：把函数解析式化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程的判别式求

值域，一般地，形如y=+3,)。％-+区+。或>=-3-------------的函数值域问题可

运用判别式法(注意x的取值范围必须为实数集R).

(8)单调性法：先确定函数在定义域(或它的子集)内的单调性，再求出值域.对于形如

y-Wax+b+&x+d或y=ax+/+Jcx+”的函数,当ac>0时可利用单调性法.

(9)有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解

出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.

(10)导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大(小)值，从而求出函

数的值域.

—观察法

例2.14求函数y=V7+T的值域.

变式1函数y=-4—(xeR)的值域是____________.

'V+1

变式2函数v=(xeR)的值域是______________.

-kl+1

二配方法

例2.15求函数)，=，5+4x—%」的值域.

变式1求函数/(x)=----------的值域.

1—X(1一X)

变式2求的值域.

2

变式3设函数/(%)=^ax+hx+c(a<0)的定义域为D,若所有点(sJQ)),(s,feD)

构成一个正方形区域，则a的值为().

A-2B-4C-8D不能确定

三图像法(数形结合)

例2.16求函数y=Jx?+2%+2+J/一2%+2的值域.

评注本题中也可看着动点P(x,0)与两定点的距离之和，同理利用数形结

合思想，IPA'I+IPB11^!AB|=2y/2,则|PA,+|PBi|的最小值为2后.

变式1求函数y=|x+l|+|x・2|的值域.

变式函数的值域是(

2/(x)=/‘ml(0<x<2%)).

V3-2cosx-2sinx

A——,0B[—1,0]C[―D|^—5/3,0^

A/1-y~~2

变式3函数f(x)=N—3——的值域是(

2x+3

6-V2T6-®6-93+0

A

-5~~5~-5~-5-

C

四基本不等式法

r2—4x+5

例2.17已知x>2,求函数f(x)=的值域.

2x-4

变式1求函数y=x+」一的值域.

X+1

五、换元法(代数换元与三角换元)

【例2.18］求函数/(x)=3•4'一2V+3”［-1,2］的值域.

变式1：求函数y=x+万匚的值域.

变式2：求函数y=x+j2—幺的值域.

六、分离常数法

2"+1

【例2.19］求y=—的值域.

e”+2

变式1：求函数的值域.

X—1

丫2_5Y-4-6

变式2：求函数三一1的值域・

七、判别式法

f—r4-1

【例2.20］求函数y=:的值域♦

x+x+1

变式L已知函数小)=署的值域为-4]'求出的值.

YY]Y~-I-RY-I-n

变式2：已知函数/(X)=log3^------•的定义域为R，值域为02],求〃7,〃的值.

X~+1

八、单调性法

【例2.21］求函数y=6=1+K口的值域.

变式1：求函数y=-GT的值域.

变式2：函数/(x)=一，24—3x的值域是

变式3：求函数y=7X2+2X+5+&+2%+2的值域.

变式4：求函数y=ylx2+2x+5-ylx2+2x+2的值域.

九、有界性法

212

【例2.22］求函数y=(xGR)的值域.

x+2

变式L已知函数k条(3。」)，求函数的值域.

变式2：已知函数/(x)=e'-l,g(x)=——+4x—3,若有/(a)=/g),则6的取值范围

为()

A[2-V2,2+V2]8(2-"2+扬C.[l,3]£>.(1,3)

【例2.23]已知0<x<乃，求函数了=2-0°$”的值域.

sinx

评注本题也可以用数形结合思想求解，设”=-sinx,v=cosx,则y的几何意义为点

（0,2）与点（〃,v）所确定直线的斜率，其中（”,v）为单位圆在y轴左侧部分.

变式1：已知xe[0,2;r）,求函数丫=上生二的值域.

2-cosx

十、导数法

[例2.24]求函数/(x)=12x-/Je[-3,3])的值域.

评注对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数

中有更为系统的介绍.

变式1：若函数y=/+"2+ex在区间(-8,0］及［2,+8)上都是增函数，而在(0,2)上是

减函数，求此函数在［-1,4］上的值域.

最有效训练题5（限时45分钟）

1.已知4GR,则下列函数中定义域和值域都可能是R的是（）

A.y=x2B.y-ax2+1C.y-ax*14-x+lD.y=x24-6ZX4-1

2.若函数f（x）=x-4一的定义域为R,则实数的取值范围是（）

\ftix2+4m+3

333

A.RB.（0,-）。.（二,+8）D.[0,-）

444

3.定义域为R是函数y=/（幻的值域为[见句，则函数y=/3+〃）的值域是（）

A.[2a,a-^-b]B.\^.b-a\C.[a,b][-a,a-i-b]

4.函数y=J16-4*的值域是()

A.[0,+oo)B.[0,4]C.[0,4)£>.(0,4)

「小寸蚪/、2~D、fg(x)+x+4(x<g(x))、帖盾神且

5.设函数g(x)=x-2(xe/?),f(x)=<,则f(x)的值域是

g(x)-x(x>g(x))

()

999

A[-4,0]U(i,+oo)及[0,+8)C[—：,+8)r>.[--,0]U(2,+oo)

444

6.对任意两实数a,b,定义运算“*”如下：a*人=["(?”""),函数

(若a>b)

/(x)=logi(3x-2)*log2X的值域为()

2

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.(-oo,0]£>.[0,+oo)

7.函数y=Jx+1+lg(2-x)的定义域是.

8.函数y=c°s