数学知识练习手册

目录

第一章数......................................1

第二章代数式..................................9

第三章函数...................................15

第四章方程...................................24

第五章不等式.................................26

第六章数列...................................32

第七章几何...................................38

第八章数据分析...............................56

第九章应用题.................................67

第一章数

第一节整数

整数(Z)包括正整数(Z+)、负整数(Z-)和零，其中正整数

和0称为非负整数.

自然数(N)包括正整数和0,最小的自然数为0.

一、重要的数

1.奇数与偶数

(1)奇数：不能被2整除的整数，可以表示为2A+1,%为整数.

(2)偶数：能被2整除的整数，包括0,可以表示为2k,k为整数.

(3)偶数奇数运算性质：

偶数土偶数=偶数奇数土奇数=偶数奇数土偶数=奇数

奇数X奇数=奇数奇数X偶数=偶数偶数X偶数=偶数

(4)两相邻整数必为一奇一偶，和为奇数，积为偶数；奇数个奇

数的和差是奇数，偶数个奇数和差是偶数；奇数的正整数次事是

奇数，偶数的正整数次事是偶数.

2.质数与合数

(1)质数：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，

那么这个正整数叫做质数(质数也称素数).如2,3,5,...

(2)合数：一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他

的正整数整除，这个正整数叫做合数.如4,6,8,...

(3)重要性质

1

①质数和合数都在正整数范围，且有无数多个，1既不是质数

也不是合数；

②2是唯一的既是质数又是偶数的整数，即是唯一的偶质数.大于

2的质数必为奇数，质数中只有一个偶数2,最小的质数为2；

③最小的合数为4,任何合数都可以分解为几个质数的积，能

写成几个质数的积的正整数就是合数.

(4)互质数：公约数只有1的两个数称为互质数，如4和9.

二、整数整除的特征

当整数4除以非零整数b,商正好是整数而无余数时，则称。能被

人整除或6能整除4

当整数。除以非零整数b,商为整数，但余数r不为0时，称为

非整除.

其形式为：aIb=(,•••r,即a—b-c+r(04r<8)

战晚做除MHms除效询

(1)0能被任何非零自然数整除

(2)被2整除，个位数为2,4,6,8,0

(3)各位数字之和能被3(或9)整除，必能被3(或9)整除

(4)后两(三)位能被4(8)整除，则必能被4(8)整除

(5)个位是0或者5的数能被5整除

(6)能被6整除的数必能被2,3整除

三、最大公约数与最小公倍数的关系

(1)当。能被人整除时，称。是匕的倍数，b是。的约数.

(2)几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个,

叫做这几个数的最大公约数.几个数公有的倍数，叫做这几个

2

数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数.(3)

最小公倍数的表示：数学上常用方括号表示，如[15,20]即为

15和20的最小公倍数.

最大公约数的表示：数学上常用小括号表示，如(15,20)即为

15和20的最大公约数.

[a,b]=屋2〃)，特别当(a,/?)=1.则[a,b]=ab.

(4)最小公倍数求法：分解质因数法(短除法)；公式法例

如，求[12,18,20],运用短除法可得[12,18,

20]=2x3x2xlx3x5=180

2|121820

3|6910

2|2310

135

第二节实数

整数

有理数。日有限小数或无限循环小数

实数R正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

一、分数、小数、百分数

1.分数

将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做

3

分数.

真分数：分子(分母

分数

假分数：分子》分母

2.小数

有限小数：比如0.21

小数循环小数

尢限小数混循环小数:0.312

不循环小数：2#

3.小数与分数互化

(1)有限小数化为分数

21

用10,100,1000等做分母，如0.21=400

(2)纯循环小数化为分数

要用9,99,999等这样的数做分母，其中“9”的个数等于一个循

环节数字的个数；一个循环节的数字所组成的数，就是这个分数

的分子.

ab-g217

公式可表示为：0.而…g=------------,如0.21=—=—

99・・・99933

循环节位数

9的个数为循环节位数

⑶混循环小数化为分数

分母要用9与0,其中“9”的个数等于一个循环节数字的个数，

“0”的个数等于不循环的数字个数；分子是不循环的数字与一

个循环节的数字所组成的数，再减去不循环的数字.

比如：0.312=地990二3=迪990=项330

4

4.百分数

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数，通常用"％”

来表示

二、实数的整数部分与小数部分

对于任意实数x,用国表示不超过x的最大整数(从数轴上看，

国应该在X的左侧)；令{x}=x-[x],称国是X的整数部分，{x}

是X的小数部分.由定义可得出下列简单性质：

(l)x=[x]+{x}(2)0s{%}<1

例如，3.8的整数部分与小数部分：[3.8]=3,{3.8}=0.8.

"的整数部分与小数部分：[7]=3,{77-}=77-3.

三、有理数无理数运算

(1)有理数(加减乘除)有理数=有理数

(2)有理数(加减)无理数=无理数

(3)有理数(非0)(乘除)无理数=无理数

(4)0乘除无理数=有理数(0)

(5)无理数(加减乘除)无理数=有理数或无理数

⑹任何有理数都可以写成用(加,〃eZ,且加*0),无理数

无法表示成分子和分母都是整数的分数.

(7)常见的三类无理数

5

)=3.14…，e=2.7182…

常见无理数开不尽的根号：如、d-

取不尽的对数：如log23

四、实数的运算

1.乘方运算

(1)当实数a*0时，a°=l,a-"=Jn；

(2)负实数的奇数次基为负数：负实数的偶数次嘉为正数.

2.开方运算

(1)在实数范围内，负实数无偶次方根；0的偶次方根是0；正实数

的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术

根.如：当a〉0时，a的平方根是t其中〃是正实数a的

算术平方根.

(2)在运算有意义的前提下，。而=".

第三节比与比例

——、比

⑴两个数a,b相除又可称做这两个数。与人的比，记做a:。

(。：方=/?区).其中，a叫做比的前项，匕叫做比的后项.若a除

以

人的商为攵，则称人为a:匕的比值.

6

(2)比的基本性质：

®a\b=k<=>a=kb②a:b=ma:mb(m*0)

二、比例外项、比例内项、比例中项

a:hc:dhd

如果两个比和的比值相等，就称。、、c、成比例，

a:b=c:dbd,db

记做，或J=J其中，。和叫做比例外项，和C

叫做比例内项.当=时;称〃为4和d的比例中项，显

然当b,d均为正数时，人是〃和d的几何平均值.

三、比例的性质

⑴等式定理：a:b-c:d=>ad-be.

⑵更比定理：."/o旦

⑶反比定理：岸=£=3=4.

(4)合比定理:沸才/a，士礼

(5)分比定理：户二"C二展

aca±mem=ia±c

(6)合分比定理：b=d=h+md=b+d

7

（7）等比定理：—=—=—="+，'+e.

bdfb+d+f

四、正反比

⑴若〉=依（%士0,改为常数），则称y与x成正比，%为比例系数.

注意：并不是x和y同时增大或减小才称为正比.比如当Z<0时，

x增大时，y反而减小.

k

⑵若y=r（Z£O,女为常数），则称y与X成反比，%为比例系数.

8

第二章代数式

第一节数轴与绝对值

aN0

实数〃的绝对值定义为：\a\=

-a,a<0

一、绝对值的性质

⑴非负性：即时20,任何实数。的绝对值非负.

(2)对称性：卜4=卜|，即互为相反数的两个数的绝对值相等.

(3)自比性：-卜&a4汗即任何一个实数都在其绝对值和绝对

值的相反数之间.

(4)平方性：川2="2,即实数平方与它绝对值的平方相等(可以

利用平方去绝对值).

(5)根式性：即实数平方的算术根等于它的绝对值.

(6)范围性：若。>0,则；

同〉boa〈-b或a>b.

⑺运算性质：|a国44小

9

hl1,Q>0,\a\

_=—=，即，工L有且只有两个值i或者-i.

a\a\-1,a<0.a\a\

二、绝对值三角不等式

⑴同-归归/+汴4其中，左边等号成立的条件：

ab<0

且aNb；右边等号成立的条件：ab>0.

X1+l<ll+llo

⑵“，其中，左边等号成立的条件：

；右边等号成立的条件：ab>.

三、绝对值的几何意义

(1)|x-a|表示在数轴上x点到a点的距离值.

(2)|x-a\+\x-b\表示在数轴上x点到a点与b点的距离之和.

|x-。|+|x-〃|的最小值为|a-b\,无最大值，当x在〃与

力之间时，取最小值.

(3)\x-a\-\x-b\表示在数轴上x点到。点与b点的距离之差.

|x-a|-|x-b|的最小值为一|。一匕|,最大值为|。一人|,当x在

〃与b之外时，分别取最小值和最大值，最小值与最大值互为相

反数.

(4)|x-a\+\x-b\~^\x-c\表示在数轴上x点到a点，b点,

c,点

的距离之和.设a<b<c,\x-a\+\x-b\+\x-c\的最小值为

10

\a-c\,无最大值，当x在。与c之间，且x=b时，取最小值.

(5)奇数个绝对值相加在中间零点处达到最小值；偶数个绝对值相

加在中间两个零点范围内达到最小值.

第二节整式

一、乘法公式

(1)完全平方和(差)公式：(。±。)2=。2±2次,+/;2

(2)完全立方和(差)公式：(。±。)3=。3±3。2。+3ab2±b3

(3)平方差公式：a~-h2-(a+b)(a-b)

(4)立方和(差)公式：a3+bi=(a+b)(a2ab+b2)

(5)乘法公式的推广：

@l-a"=(l-a)(l+a+«2++an~')

@a2+b2+c2±ab±be±ac=-2(a±b)2+(b±c)2+(c±a)2

③(a+〃+cF=a2+h2+c2+2ab+2bc+2ac

(6)两个多项式相等(定理)：两个多项式相等则其对应次数前系

数相等，两个多项式任意取值多项式的值都相等.

二、带余除法定理

对任意两个实系数多项式/(x),g(x)[g(x)不是零多项式],-

11

定存在多项式4(x),r(x),使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)

成立，这里/(x)为零多项式或r(x)的次数小于g(x)的次数,

且q(x)和〃(％)都是唯一的.q(尢)称为g(尤)除/(x)所得商

式，r(x)称为g(尢)除了(x)所得余式.

三、因式定理

/(X)能被(x-a)整除ox-4/(x)O/(%)=(x-〃)・g(x)

o/G)含有因式(x-a)

of(a)=0o。是/(x)=0的根.

f(x)能被("-b)整除=or-1/(1)=f(x)=(以-。)・gG)

o/(x)含有因式(QX-/?)

J2是/G)=o的

of=0。根.

aa

四、余式定理

由于余式的次数要小于除式，所以当除式为一次表达式时，余式

就为常数.

⑴用一次多项式X-。去除多项式/(尤)，则

f(x)=q(x)(x-a)+r,等式两边将x=a代入，则余式r=/(a).

即/(x)=q(x)(%-〃)+/(。).

⑵用一次多项式ax-b去除多项式f(x),则

12

f(x)=q(x)(ax-b)+r,等式两边将x=/?/a代入，则余式厂=

fibla).即/(x)=4(无)(ax-A)+f(bld).

五、双十字相乘法

1.十字相乘法

用于分解abx2+(bp+aq)x+pq型的式子，这类二次三项式的特

点是：二次项的系数、常数项是两个数的积；一次项系数是二次

项系数的因数与常数项系数的因数乘积的和.分解后

abx+(bp+aq)x+pq={ax+p)(bx+q)

2.双十字相乘法

当遇到二次六项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+/时，用双十字

相

乘法进行因式分解，其步骤是：

⑴用十字相乘法分解④^+匕孙+①？，得到一个十字相乘图

(有两列)；

(2)把常数项/分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列

构成的十字交叉之积的和等于原式中的"，第一、第三列构成的

十字交叉之积的和等于原式中的dx.

2

贝!|ar2+jjXy+cy+dx+ey+f=(a\x+Cty+f\)(a2x+c2y+fi),

13

a,x5

Ci\a2=a,Clc2=c,f\f2=/,

其中

aiC2+a2c\=b,c\f2+C2f\=e,a\f2+aif\=

14

第三章函数

一、集合

1.集合的含义与表示

(1)集合的概念：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

(2)常用数集及其记法：N表示自然数集，N*或N+表示正整数

集，Z表示整数集，。表示有理数集，R表示实数集.

2.集合间的基本关系

名称记号意义性质示意图

⑴AUA

⑵0GA

(3)若AG8且

AQB

A中的任BQC,则AGC

子集(或一元素都或

⑷若且

B2A)属于BA£3

BQA,则A=3

15

(1)0uA(A为非

AQB,*

AUB

*

真子且B中至空子集)

集*A/B

(或Bn少有一元⑵若u且

素不属于©

A)B”,则AUC

A**

A中的任

一元素都

集合A=B属于2,B(1)AG8

相等中的任一(2)8cA

元素都属

TA

已知集合A有〃（”21）个元素，则它有2"个子集，它有2"-1个真

子集，它有2〃一1个非空子集，它有2"-2非空真子集.

3.集合的基本运算

名

记号意义性质示意图

称

⑴AA=A

{X|XGA,⑵A0=0

交

集AB

且尤训(3)ABQA(3D

ABJB

16

(1)AA=A

{X|XGA,⑵A0-A

并A

集B

或X£团⑶AB2A

AB?B•

Cu(AB)

=(Cu4)(Cu8)

Cu(AB)

补CA{x|xeU,=(C")(CuB)

集u且A}1%01

l.A(CuA)=0

2.A(CuA)=U

4.集合运算中常用结论

⑴AQBoAB=B.

⑵A3=A3,AB=AB.

二、一元二次函数及其图像

1.一元二次函数的形式

(1)标准式：y=ax2+hx+c

h)4ac-b2

+

(2)配方式：y=a(x+~f~工-

17

(3)零点式：y=a(x-xi)(x-X2),xi,X2表示一元二次函数与x

轴的两个交点.

2.二次函数图象的性质

(1)二次函数/0)=以2+a+。(“*0)的图象是一条抛物线，对

称轴方程为x=-2，顶点坐标是(-2_，丝二咳)，y轴截距：

2。2a4。

y=c.

(2)当。＞0时，抛物线开口向上，函数在(-8,b

--]上递减，在

2a

[-立，+)上递增，当工=-j＞时，/min。)，4"一)；当

2a2a4a

b

。＜0时，抛物线开口向下，函数在(-8,1上递增，在

[-2，+)上递减，当工=-2时，/max(X)=-^-——.

2a2a4a

(3)二次函数/(冗)=0¥2+。工+。(。工0)当4=人2-4〃。＞0时，

一启

图象与X轴有两个交点M।(XI,0),M2(%2,0),|M1M21=|Xi-1=；—.

三、指数与指数基的运算

1.分数指数塞的运算性质

(1)a'・a$=a〃+'(a＞0,厂,s£R)

18

⑵(〃〃)s=〃"(a>0,r，s£R)

(3)(cib)r=arhf(a>0,b>0,reR)

(4)a'Ia$=a'-s(a>0,r,s£R)

2.指数函数及其性质

函数名称指数函数

定义函数y=ax(a〉o且1)叫做指数函数

a>10<a<1

\y=a"|J

图象

y=(o.i)

上u

o|x>

o|x

定义域R

值域(0,+8)

过定点图象过定点(0,1),即当x=0时，y=l.

单调性在R上是增函数在R上是减函数

19

ax>1(x>0)ax<i(x>0)

函数值的

，

变化情况a=1(x=0)a*=1(x=0)

ax<\(x<0)ax>1(x<0)

a变化对图在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限

象的影响内，a越大图象越低.

四、对数与对数运算

1.几个重要的对数恒等式

logo1=0,loga=1,logoah=b.

2.对数的运算性质

如果a>0,a*l,M>0,N〉0,那么

①加法：logaM+logaN=loga(MN)

_M

②减法：logaM-logaN=logo-N

③数乘：〃logaM=logaM"("€R)

④aW=N

⑤logahM"=产logaM(b*0,nwR)

⑥换底公式：logaN=9与"S>0,且。*1)

log/,<2

20

3.对数函数及其性质

函数名称对数函数

函数y=logax(a>0且a*1)叫做对数函

定义数

a>1Q<a<\

l产=1

1

y一!y=logax

图象

』(i,o)一

()TFv

0/ii,o%

定义域(0,+8)

值域R

过定点图象过定点(1,0),即当x=l时，y=0.

单调性在(0,+«)上是增函数在(0,+00)上是减函数

10gaX>0(X>1)logaX<0(X>1)

函数值的logaX=0(x=1)k(gaX=0(X=1)

变化情况logflx<0(0<X<1)10gaX>0(0<X<1)

a变化对图在第一象限内，。越大图象越靠低；在第四象限

象的影响内，a越大图象越靠高.

21

五、特殊函数

1.最值函数

坎依表示最大值函数，max｛》，丁，2｝表示工，九2中最大的数.

min表示最小值函数，min｛x,y,z｝表示x,y,z中最小的数.

2.绝对值函数

(1)旷=m+4，先画y=+的图像，再将x轴下方的图像翻

到x轴上方.

(2)ax+by-c表示两条平行的直线ax+by=±c,且两者关于

|原|

点对称.

(3)|Av-4+附-4=C,当A=B时，表示正方形，当时，

2C

表示菱形，面积为S=-2.

AB

(4)|jcy|+ab=a|x|+/?|y|=>|x|=/?或|y|=a,表示

x=±九y=±a的四条直线所围成的矩形，面积为S^4\ab\.

3.分段函数

有些函数，对于其定义域内的自变量x的不同值，不能用一个统

一的解析式表示，而是要用两个或两个以上的式子表示，这类函

数称为分段函数.分段函数表示不同的取值范围对应不同的表达式.

22

4.反比例函数

反比

例函y=幺/为常数，k*0)

X

数

女的

k>0k<0

符号

y*

图像

XJL

。r

所在

一、三象限二、四象限

象限

23

第四章方程

一、一元二次方程的解法

1.直接开平方法

形如(x+a)2=b(b>0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接

开平方得x+a=Wb或者x+a-闪b,：.x--aif\/b.

注意：若b<0,方程无解.

2.配方法

用配方法解一元二次方程依2+&+。=o(。*0)的一般步骤.

(1)二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

(2)移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为

(x+m)2=n(n^0)的形式：

(4)用直接开平方法解变形后的方程.

3.公式法

一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)根的判别式：

A=Z?2-4ac

八—b±h-4ar

(l)A>0。方程有两个不相等的实根：尤=—二'

2a

(〃2-4N0)of(x)的图像与X轴有两个交点.

24

⑵△=0。方程有两个相等的实根=/.(X)的图像与X轴有一

个交点.

(3)A<00方程无实根=/(x)的图像与x轴没有交点.

4.因式分解法

通过因式分解，把方程变形为。(方-机)(》-〃)=0,则有x=/w

或

x=n.

二、一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)

1.设方程以2+灰+c=03*0)的两个根为XI,X2<则有

bc

xi+无2=—-a，x\注=a-

2.涉及韦达定理的计算及应用

⑴X]2+X22=(X[+X2)2-2xiX2

11X+X

(21+=।2

X\X2X]X2

(3)XI3+X23=(xi+X2)(X12一元1X2+X22)

(4)|xi-X2|=-X2)2=2-2XIX2+X22=V+X2)2-4xiX2

25

第五章不等式

一、不等式的基本性质

1.对称性或反身性：a>bob<a\

2.传递性：a>b,b>c^>a>c.

3.可加性：a>b^a+c>b^c,此法则又称为移项法则；

同向可相加：a>h,od^a+ob+d,

a>byc<d(-c>~~d)=>a-c>b-d.

4.可乘性：a>b,c>0^>ac>be;a>b,c<0=>ac<be.

正数同向可相乘：a>b>0,c>d>O=ac>bd,

a>b>0,d>c>0(1/c>l/d>0)^a/c>b/d.

5.乘、开方性：a>b>(O〃eN)oa">b">0,"庐"班0.

6.倒数性：a>b,ab>Q^-a<b~-

26

二、含绝对值的不等式的解法

不等式解集

\x\<a(a>0){x\-a<x<a}

\x\>a(a>O')或

把+看成一个整体，化成

\ax^b\<c]ax^b\>c(c>0)\x\<a9|X|〉Q（Q〉0）型不

等式来求解

三、一元二次不等式及其解法

1.称一元二次不等式以2+bx+c>0（。>0）为标准型.任何

ax2+bx+c<0（a<0）的不等式都可以利用不等式两边同乘-1

来变为标准型（要注意不等号方向也要改变），所以只讨论求解

a^+bx+c>0（。>0）.可以利用二次函数的图像通过二次函

数与二次不等式的联系从而得出任何一元二次不等式的解集.

27

2.一元二次不等式的解法

判别式

A>0A=0A<0

A=Z)2-Aac

二次函数J

y=ax1+bx+c{a>0)1/

cJ

*0

的图象

-b±yjb2-4acb

一元二次方程X.=x=---

2a22a

ax2+Zzr+c=0(t7>0)无实根

（其中再＜x2）有两个相等'实

的根根

有两个相异实根

{xIXV再或

ax~+Zzx4-c>0(f7>0)

R

2a

的解集X>x2}

ax1+Zzx+c<0(«>0)

{xIXj<X<x2}00

的解集

四、均值不等式

1.当。,。＞0时，a+bNaab,当且仅当a=b时等号成立

（积为常数和有最小值）；

a+b2

ob＜--------,当且仅当"=〃时等号成立（和为常数积有最大值）.

2

该不等式还可推出：当4,人为正数时，

28

色2届；

a+b

当且仅当a=b时取心”号.该不等式表示：平方平均数N算术平均

数N几何平均数N调和平均数.

2.当XI,X2，…,A为〃个正数时，他们的算术平均值不小于他们的几

何平均值，即12nX\X2-Xn(x/>0,Z=

1,.・・,〃),Wn

且仅当x\=X2=...=%〃时，等号成立.如果a,b,c是正实数,

那么@±3卜灯31abC,当且仅当a=b=c时取"=”号.

3.常用的几个重要不等式

(I)fit2+ft2>2ah-.(2)a/?<(--2-)2;(3)(--2~)22-2±2—；

(4)~a+kr^2(abeR+)

五、分式不等式

分式不等式的解法一般通过移项整理成标准型

/⑴”(x)

>或<0,再等价化成整式不等式来解.

g(x)g(x)

①血〉0=/(x).g(x)〉0

g(x)

29

f(x)

②-----<o=/(x)•g(x)<0

g(x)

f(X)20o/(x)•g(x)20

③同g(©*°

/(x)W0=，(x)•g(x)'0

④~~g(%)*0

g(x)

六、高次不等式一一穿线法

“数轴穿线法”用于解一元高次不等式非常方便，其解题步骤如下：

①分解因式，化成若干个因式的乘积；

②作等价变形，便于判断因式的符号，例如：/+1,/+X+1,庐

3x+5等，这些因式的共同点是：无论x取何值，式子的代数值均

大于零；

③由小到大，从左到右标出与不等式对应的方程的根；

④从右上角起，“穿针引线”；

⑤重根的处理，依“奇穿偶不穿"原则；

⑥画出解集的示意区域，从左到右写出解集，图像在数轴上方代

表大于零，下方代表小于零.

/(X)=(X-XI)(X-X2)…(X-%")

30

有一项为负，其他为正

遇零点变号，阴影部分为/(x)>0的解集.

31

第六章数列

一、数列的基本概念

(1)数列：按照一定的次序排列起来的数.

(2)项：数列中的每一个数;首项：排在第一位的数；一般形式写成

a\,ai,...an简称为｛斯｝这里n是正整数.

(3)常数列：各项都相等的数列.

(4)数列的前n项的和(记做)：对于数列｛z｝,显然有

Sn=a\+。2+。3++斯；

当〃=1时，ai=S\；当〃N2时，=-,即

S(〃=1)

Cln~\•

S"-S“T("22)

二、等差数列

1.等差数列的通项公式

若｛〃”｝为等差数列，首项为公差为d,则a〃=m+(〃

-l)d,

ap=aq+(p_q)d.

2.等差中项

若a、b、c成等差数列，则是a、c的等差中项，且6=%

3.等差数列的性质及应用

32

(1)若%+〃=p+q=2卬则am+an-ap+aq=2aw

(m,n,p,q,w都是正整数)

⑵若m,p,n成等差数列，则am,ap,an也成等差数列(m,n,p

都是正整数)

⑶an=am+(〃-，“)”(m,n都是正整数)

(4)若数列｛an｝成等差数列，则a”=p〃+q(p,qeR)

⑸若数列｛斯｝成等差数列，贝I数歹+6｝(/)力为常数)仍为等

差数列

⑹若｛an｝和｛｝均为等差数列，则｛an土bn｝也是等差数列

4.等差数列的前〃项和公式

cn,a+a、n,n-\x,

S”=(।,,)=na\+()d

2-2-

5.等差数列前n项和公式性质

(1)等差数列中，依次k(kN2,kwN+)项之和仍然是等差数列，

即Sk,S2k-S8,S3A-S2&,S4A-S3A成等差数列，且公差为

k2d.

(2)等差数列｛斯｝中,若斯=m,〃加=〃(m*〃)，则。m+〃=0；

若

33

Sn=m,Sm=〃（〃？*〃），则Sm+"=-（加+/?）

⑶若｛斯｝和｛d｝均为等差数列，前〃项和分别是Sn和Tn,则有

aS

n=2;：-1

bT

n2n-\

6.等差数列前n项和公式与函数的关系

等差数列前n项和公式S”=na\d可以写成

S”=且"2+a-&〃，若令生=A,a-4=B,则

2222

2

Sn-An+Bn.

三、等比数列

1.等比数列的通项公式

a=aqn-'a=a-~'n

n1,.

2.等比中项

如果三个数x,G,y组成等比数列，那么G叫做x和的等比中项,

其中6?=移，G=±4T-

3.等比数列的性质

(1)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m,所得

数列仍是等比数列，公比仍为g.

34

(2)若m+n-p+q,m,n,p,qeN+,则a,"aa=ap.

⑶若等比数列｛a“｝的公比为g,则是以1-为公比的等比数

a

nq

列.

(4)若储〃｝与｛。“｝均为等比数列，则｛斯｝也为等比数列.

4.等比数列前〃项和通项公式

设等比数列｛a”｝的前n项和为Sn，则5〃=ai+。2+...+an

(1)当q-1时，Sn=na]

(2)当q*1时，S”=>(F)="1-5迎

1-q1-q

5.等比数列前n项和公式的性质

⑴等比数列中，连续m项的和(如Sm,S2m-Sm,S3m~Sim，…)仍组

成等比数列注意：公比,公比为，”.

()4

⑵｛〃”｝是公比不为1的等比数列oS"=4q"+B(A+B=0).

⑶无穷等比数列｛斯｝的公比为"，若'Ll,则该数列的各项和

S=Y^'q.

35

四、递推公式

而与如+1或如-1的关系式称为递推公式，若己知数列的递推关系

式及首项，可以写出其他项，因此递推公式是确定数列的一种重

要方式，递推公式的常用思路：

L列举法

一般通过递推公式找到前几个元素数值的规律，来判断后面元素的

数值.先列举前面若干项，寻找规律，一般是周期循环的规律.

2.累加法

对于形如an+i=a"+/(〃)或a”+i-a”=/(〃)，称为类等差数

列，可以写出若干项，然后将各项相加.

3.累乘法

a

对于形如a0+i=""•/(〃)或口^二八〃)，称为类等比数列，可

以an

写出若干项，然后将各项相乘.

4.构造数列

将某部分看成一个新数列功,，新数列符合等差或等比数列，求

出新数列后，再求原数列.

(1)若新数列满足bn+\~仇=常数，则看成等差数列分析；

b=

(2)若新数列满足一出常数，则看成等比数列分析.尤其形

如仇

36

斯+1=4斯+d形式的数列，通过拆分常数，变成

如+1+c=4(an+c)的形式，再构造等比数列求解.

37

第七章几何

第一节平面几何

一、三角形

L三角形的性质

(1)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即

a-b<c<a+b.

(2)三个内角和为180O,即NA+NB+NC=180°.

(3)三角形的面积：S=12•底•高；S=12a8sinC,其中C是

,_____________________即

a,〃边所夹的角；S='p(p_a)(p_b)(p-\、

c),其中〃=12("+匕+c),

(4)三角形的外角等于不相邻的两个内角之和I_______2

ci

2.直角三角形

(1)勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，即

a2+Z?2=c2.

(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

(3)30°角所对的直角边是其斜边的一半.

3.等边三角形

⑴等边三角形的三个内角均为60°；

38

(2)若边长为a,则面积S=tz2

4.相似三角形

(1)性质：相似三角形对应角相等，对应线段成比例；即

NA=/A',/B=/B,,zC=zC',

ABAC_BC_AB+AC+BC

A'B'~A'C'~B'C'~A'B'+A'C+B'C''

SAR2

⑵若AABC〜AA'B'C',则二_,并且相似三角

M'B'CA'B'

形的高、中线、角平分线、周长的比等于对应线段的比.

5.全等三角形

两个三角形形状相同，大小相等，则称两者全等.可以通过边边边

(SS5),角边角(ASA),边角边(SAS),角角边(44S)来判断.

6.三角形形状判断

(1)直角三角形：勾股定理或者有一个角为90°

(2)等腰直角三角形：三边之比满足1:1:力战者有两边相等的直

角三角形

(3)等边三角形：三边相等或者三个内角相等或者四心合一

(4)等腰三角形：有两边相等的三角形

39

7.三角形的四心

四心定义位置特征

内心到三边距离相等

内切

内心圆的角平分线S=L(a+b+c),S为面积，r

的交点2

圆心

为内切圆半径

外心到三个顶点距离相等，直角

外接三边的中

三角形外心在斜边的中点，外接

外心圆的垂线的交

圆心点圆半径r=£(c表示斜边长)

2

重心将三角形分成三个面积相

三条中线

重心等的三角形，重心将中线分成2：

的交点1两段，

三条高的

垂心

交点

8.鸟头定理

(1)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫作共角三

角形.

(2)共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘

积之比.在MBC和AADE中，/A的正弦值相同，所以

SSABCS^ADE-(AB-AC):(AD-AE).