中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题三十三直线的方程(原卷版+解析)

专题三十三直线的方程思维导图知识要点知识要点1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．(2)直线的斜率①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tanα.②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(2.直线方程的五种形式名称几何条件方程局限性斜截式斜率为k，纵截距为by＝kx＋b不能表示垂直于x轴的直线点斜式过点M(x0，y0)，斜率为ky－y0＝k(x－x0)两点式过不同两点P1(x1，y1)，P2(不能表示平行于坐标轴的直线

截距式横截距为a，纵截距为b不能表示平行于坐标轴的直线和经过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0A，B不能同时为03.特殊直线方程式(1)过点(x0，y0)且垂直于x轴的直线方程为x＝(2)过点(x0，y0)且垂直于y轴的直线方程为y＝(3)与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b)．(4)与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)．(5)与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋m＝0(AB≠0)．4．直线Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的横截距为，纵截距为5．线段的中点坐标设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为平面内的两点，线段P1P2的中点坐标是P0(x06．平面内两点间的距离设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为平面内的两点，两点间的距离为|P特别地，当这两点都在x轴上时，y1＝y2＝0，则|P1P2|＝＝|(x2当这两点都在y轴上时，x1＝x2＝0，则|P1P2|＝＝|y2－典例解析典例解析【例1】若直线l过(－2，6)，(1，3)两点，求直线l的倾斜角．【变式训练1】若直线l的倾斜角为45°且过A(3，4)，B(0，x)两点，求x的值．【例2】已知点A(－1，2)，B(－4，6)，求两点间的距离|AB|.【变式训练2】已知A(－3，4)，B(3，y)，且|AB|＝10，求y的值．【例3】直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是()A．(－2，1)B．(2，1)C．(1，－2)D．(1，2)【变式训练3】直线mx＋y＋m－2＝0经过一定点，求该定点的坐标．【例4】(1)过点A(1，－2)且斜率为3的直线方程是()A．3x－y＋1＝0B．3x＋y－5＝0C．3x－y－5＝0D．3x＋y－1＝0(2)已知直线的斜率是2，在y轴上的截距是－3，则此直线方程是()A．2x－y－3＝0B．2x－y＋3＝0C．2x＋y＋3＝0D．2x＋y－3＝0【例4】(3)经过点A(2，3)和点B(4，7)的直线方程是()A．2x＋y－7＝0B．2x－y＋1＝0C．2x－y－1＝0D．－2y＋4＝0(4)在x轴上的截距为2，y轴上的截距为4的直线方程是()A．2x＋y－4＝0B．2x－y＋4＝0C．2x－y－4＝0D．x－2y＋4＝0【变式训练4】(1)求过点A(1，－3)且倾斜角为30°的直线方程．(2)直线l的斜率是3，在y轴上的截距是5，求直线l的方程．【变式训练4】(3)求经过点P(0，6)和点Q(7，0)的直线方程．(4)求经过点A(－2，2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．高考链接高考链接1．(四川省2016年对口升学考试试题)已知直线l1的斜率为－1，直线l2的斜率为1，那么这两条直线()A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直相交2．(四川省2018年对口升学考试试题)直线x＝1的倾斜角和斜率分别是()A．45°，1B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在3．(四川省2019年对口升学考试试题)与直线3x－2y－7＝0垂直的直线的斜率是()A．B.C．D.同步精练同步精练1．已知A(3，4)，B(－1，0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是()A.x－y＋2－＝0B.x－y＋1－2＝0C.x＋y－2－＝0D.x＋3y－6－＝02．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°4．已知直线l经过点P(1，2)，且斜率为3.则直线l的点斜式方程为()A．y－2＝3(x－1)B．y＋2＝3(x＋1)C．y－1＝3(x－2)D．y－3＝x－25．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m的值是________．6．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为______．7．如果直线(m－2)x＋2y－m＋3＝0的斜率为2，则直线在y轴上的截距是________．8．过点(0，1)，且倾斜角为150°的直线的一般式方程是___________．9．直线3x－2y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，求实数k的值．10．求适合下列条件的直线方程．(1)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的11．已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若，求点C的坐标．12.求分别满足下列条件的直线方程．(1)直线l1过点A(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直；(2)已知△OAB的顶点O(0，0)，A(2，0)，B(3，2)，OA边的中线所在直线为l.①求l的方程；②求点A关于直线l的对称点的坐标．专题三十三直线的方程思维导图知识要点知识要点1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．(2)直线的斜率①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tanα.②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(2.直线方程的五种形式名称几何条件方程局限性斜截式斜率为k，纵截距为by＝kx＋b不能表示垂直于x轴的直线点斜式过点M(x0，y0)，斜率为ky－y0＝k(x－x0)两点式过不同两点P1(x1，y1)，P2(不能表示平行于坐标轴的直线

截距式横截距为a，纵截距为b不能表示平行于坐标轴的直线和经过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0A，B不能同时为03.特殊直线方程式(1)过点(x0，y0)且垂直于x轴的直线方程为x＝(2)过点(x0，y0)且垂直于y轴的直线方程为y＝(3)与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b)．(4)与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)．(5)与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋m＝0(AB≠0)．4．直线Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的横截距为，纵截距为5．线段的中点坐标设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为平面内的两点，线段P1P2的中点坐标是P0(x06．平面内两点间的距离设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为平面内的两点，两点间的距离为|P特别地，当这两点都在x轴上时，y1＝y2＝0，则|P1P2|＝＝|(x2当这两点都在y轴上时，x1＝x2＝0，则|P1P2|＝＝|y2－典例解析典例解析【例1】若直线l过(－2，6)，(1，3)两点，求直线l的倾斜角．答案：解：设直线的倾斜角为α，则tanα＝＝－1，又0°≤α<180°，∴α＝135°.【思路点拨】先由斜率公式求出斜率，再由斜率得到倾斜角．【变式训练1】若直线l的倾斜角为45°且过A(3，4)，B(0，x)两点，求x的值．解：∵k＝tan45°＝1∴1＝∴x＝1.【例2】已知点A(－1，2)，B(－4，6)，求两点间的距离|AB|.解：∵点A(－1，2)，B(－4，6)，∴|AB|＝即两点间的距离|AB|为5.【思路点拨】利用两点间的距离公式即可求得答案．【变式训练2】已知A(－3，4)，B(3，y)，且|AB|＝10，求y的值．解：解：∵|AB|＝，∴10＝∴y＝－4或y＝12.【例3】直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是(A)A．(－2，1)B．(2，1)C．(1，－2)D．(1，2)【思路点拨】先将直线方程调整为y的表达式，与m相关的项要合并，由观察可得经过的定点．即由mx－y＋2m＋1＝0得y＝(x＋2)m＋1，故定点坐标为(－2，1)．【变式训练3】直线mx＋y＋m－2＝0经过一定点，求该定点的坐标．解：由mx＋y＋m－2＝0得y＝－mx－m＋2＝(－x－1)m＋2，当x＝－1时，y＝2恒成立．∴定点为(－1，2)．【例4】(1)过点A(1，－2)且斜率为3的直线方程是(C)A．3x－y＋1＝0B．3x＋y－5＝0C．3x－y－5＝0D．3x＋y－1＝0【思路点拨】(1)直接利用直线的点斜式方程求解即可．过点A(1，－2)且斜率为3的直线方程是y＋2＝3(x－1)，即3x－y－5＝0.(2)已知直线的斜率是2，在y轴上的截距是－3，则此直线方程是(A)A．2x－y－3＝0B．2x－y＋3＝0C．2x＋y＋3＝0D．2x＋y－3＝0【思路点拨】(2)∵直线的斜率为2，在y轴上的截距是－3，∴由直线方程的斜截式得直线方程为y＝2x－3，即2x－y－3＝0.【例4】(3)经过点A(2，3)和点B(4，7)的直线方程是(C)A．2x＋y－7＝0B．2x－y＋1＝0C．2x－y－1＝0D．－2y＋4＝0【思路点拨】(3)由题意可得直线的两点式方程为，化为一般式可得2x－y－1＝0.(4)在x轴上的截距为2，y轴上的截距为4的直线方程是(A)A．2x＋y－4＝0B．2x－y＋4＝0C．2x－y－4＝0D．x－2y＋4＝0【思路点拨】(4)由截距式方程，化为一般式可得2x＋y－4＝0.【变式训练4】(1)求过点A(1，－3)且倾斜角为30°的直线方程．(2)直线l的斜率是3，在y轴上的截距是5，求直线l的方程．解：(1)∵直线的倾斜角是30°，∴直线的斜率k＝tan30＝，由直线方程的点斜式得y＝x-－3.(2)由直线方程的斜截式得y＝3x＋5.【变式训练4】(3)求经过点P(0，6)和点Q(7，0)的直线方程．(4)求经过点A(－2，2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．解：(3)由直线方程的两点式得，化简得y＝－x＋6.(4)设直线方程为＝1，∵过点(－2，2)，∴＝1，又a·b＝1，由∴直线方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.高考链接高考链接1．(四川省2016年对口升学考试试题)已知直线l1的斜率为－1，直线l2的斜率为1，那么这两条直线(D)A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直相交2．(四川省2018年对口升学考试试题)直线x＝1的倾斜角和斜率分别是(C)A．45°，1B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在【提示】∵直线x＝1与y轴垂直，∴倾斜角是90°，斜率不存在．3．(四川省2019年对口升学考试试题)与直线3x－2y－7＝0垂直的直线的斜率是(A)A．B.C．D.同步精练同步精练1．已知A(3，4)，B(－1，0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是(C)A.x－y＋2－＝0B.x－y＋1－2＝0C.x＋y－2－＝0D.x＋3y－6－＝0【提示】∵由线段的中点坐标公式得AB的中点为(1，2)，又斜率k＝tan120°＝∴由直线方程的点斜式可得所求直线方程为x＋y－2－＝0.2．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(C)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【提示】由题意知A·B·C≠0，直线方程变为y＝,∵A·C<0，B·C<0，∴A·B＞0∴其斜率k＝<0，在y轴上的截距b＝＞0∴直线过第一、二、四象限．3．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(B)A．30°B．60°C．150°D．120°【提示】∵直线的斜率为k＝tanα＝，又α∈[0，π)，∴α＝60°.4．已知直线l经过点P(1，2)，且斜率为3.则直线l的点斜式方程为(A)A．y－2＝3(x－1)B．y＋2＝3(x＋1)C．y－1＝3(x－2)D．y－3＝x－2【提示】由点斜式y－y0＝k(x－x0)得y－2＝3(x－1)．5．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m的值是_2或－_______．【提示】由题意可知2m2＋m－3≠0，即m≠1且m≠，在x轴上的截距为，即2m2－3m－2＝0，解得m＝2或－6．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为___a＝4_____．【提示】∵kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，∴a－3＝1，即a＝4.7．如果直线(m－2)x＋2y－m＋3＝0的斜率为2，则直线在y轴上的截距是________．8．过点(0，1)，且倾斜角为150°的直线的一般式方程是________x＋y－＝0____．【提示】k＝tan150°＝，由点斜式方程得y－1＝x化简得x＋y－＝0.9．直线3x－2y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，求实数k的值．解：令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝，依题意＝2，∴k＝12.10．求适合下列条件的直线方程．(1)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的解：(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即直线l过点(0，0)和(3，2)，∴直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝0；若a≠0，则设直线l的方程为＝