川大附中2022-2023学年度上期高2023届半期考试数学理科试题含答案

川大附中2022-2023年度上期高2023届半期考试数学理科（时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，则等于（）在复平面内，复数对应的点位于（）第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限记等差数列的前n项和为，若（）A.2B.4C.8D.164.设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a−3)=P(ξ>a+2)，则a的值为(

)A.73 B.43 C.3 5.已知某样本的容量为100，平均数为80，方差为95，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将90记录为70，另一个错将80记录为100.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则(

)6.若tanθ＝－2，则eq\f(sinθ1＋sin2θ,sinθ＋cosθ)等于()A．－eq\f(6,5)B．－eq\f(2,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(6,5)7.函数f(x)=ln (x+x2A.B.C.D.8．下列命题中，不正确的是()A．在△ABC中，若A>B，则sinA>sinBB．在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形9.在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足BE=xBA+yBC，则A.22 B.43 C.4+2310.2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都举行，组委会安排甲、乙等6名工作人员去4个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，且甲乙2人必须在一起，则不同的安排方法的种数为（）A.240B.180C.156D.14411.设点P是抛物线C1：x2=4y上的动点，点M是圆C2：(x−5) 2+(y+4) 2=4上的动点，dA.52−2 B.52−1 C.12.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(x−2x)6的二项展开式中的常数项为_____________.14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(−∞,0]时，f(x)=−x2+2x，若实数m满足f(log2m)≤3，则m的取值范围是15.已知数列{an}的首项a1=2，其前n项和为Sn，若Sn+1=216.已知函数在区间(,)上单调，且满足.(1)若,则函数的最小正周期为________;（2）若函数在区间[,)上恰有5个零点，则ω的取值范围为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．川大附中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．下表为该校为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950(Ⅰ)根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；(Ⅱ)如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望(将频率当作概率计算)．参考附表：P(0.1000.0500.0100.001χ2.7063.8416.63510.828参考公式：K²=n(ad−bc)18.如图，圆台下底面圆O的直径为AB，C是圆O上异于A,B的点，且∠BAC=30∘，MN为上底面圆O′的一条直径，▵MAC是边长为23(1)证明：BC⊥平面MAC；(2)求平面MAC和平面NAB夹角的余弦值．19.在①an+12=13an(2an③2Sn+问题：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1(1)求{an}的通项公式；(2)记bn=log13a20.已知椭圆经过点，其右顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆上且满足直线与斜率之积为.求面积的最大值.21.已知函数（），.（1）求函数的极值点；（2）若恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴，建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点（异于极点）的极径；(2)曲线的参数方程为（为参数）.若曲线和曲线相交于除极点以外的，两点，求线段的长度.23.设函数最小值为.（1）求；（2）设，且，求证：.川大附中2022-2023年度上期高2023届半期考试数学理科参考答案1-5BDCAA6-10CACDA11-12BB13.-16014.(0,2]15.9616.(2)17.解：(Ⅰ)K²=50×(15×19−6×10)∴有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“．......6’(Ⅱ)在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生，成绩优秀的概率为1525=35而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=2)=CP(ξ=3)=C∴ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

P

27

54

36

8∵ξ～B(3,25)，18.(1)证明：∵AB为圆台下底面圆O的直径，C是圆O上异于A,B的点，故∠ACB=9又∵∠BAC=30∘∴AB=4=MB，∵AC=MC，BC=BC，∴△ABC≌△MBC，∴∠BCM=9∴BC⊥MC，又∵BC⊥AC，AC∩MC=C，AC,MC⊂平面MAC，∴BC⊥平面MAC；(2)解：取AC的中点，连接DM,DO，则MD⊥AC，由(1)可知，BC⊥DM∵AC∩BC=C，AC,BC⊂平面ABC，∴DM⊥平面ABC，又∵OD⊥AC，∴以D为原点，DA为x轴，DO为y轴，DM为z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得A(3,0,0)，∵OO′⊥平面ABC，∴DM//OO′，四边形ODMO′为矩形，∴N(0,2,3)

，平面MAC的一个法向量为n1设平面NAB的一个法向量为n2=(x,y,z)，AB由n2⋅AB=0n2⋅AN=0

平面NAB的一个法向量为n2则平面MAC与平面NAB的夹角的余弦值为|n∴平面MAC和平面NAB夹角的余弦值为31319.(1)解：若选条件①：由an+12=∵an>0，∴3又a1∴数列{an}是以1∴a若选条件②：∵Sn，2S∴4Sn+1=Sn+3S∴an+1=又∵a1=∴a∴a∴数列{an}是以1∴a若选条件③：∵2Sn+∴当n≥2时，有2S两式相减整理得：an=1又a1∴数列{an}是以1∴a(2)证明：由(1)可得：bn=log∴T又13两式相减得：23整理得：Tn∴T又Tn+1∴Tn+1>Tn∴T∴2320.解：依题可得，，解得，所以椭圆C的方程为．【小问2详解】解：易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线不垂直于轴，故可设，，，由可得，，所以，，，而，即，化简可得，①，因为，所以，令可得，②，令可得，③，把②③代入①得，，化简得，所以，或，所以直线或，因为直线不经过点，所以直线经过定点．设定点，所以，，因为，所以，设，所以，当且仅当即时取等号，即△APQ面积的最大值为．21.【详解】解：（1）函数的定义域为，由，得，当时，，所以在上单调递增，函数无极值点，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值点，无极小值点，综上，当时，无极值点，当时，有极大值点，无极小值点，（2）因为恒成立，即恒成立，所以对恒成立，令，则，令，则，所以在上单调递减，因为，所以由零点存在性定理可知，存在唯一的零点，使得，即，两边取对数可得，即，因为函数在上单调递增，所以，所以当时，，当时，