大学物理基础教程（全一册） 第3版 课件 第7章 振动和波

第7章

振动和波教学内容：7.1.简谐振动；

7.2.简谐波1）简谐运动的描述2）简谐运动的动力学方程和能量3）

简谐运动的合成1）机械波产生的条件和分类2）平面简谐波的描述3）波的能量和强度4）波的叠加

驻波1.定义：物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动2.

实例:心脏的跳动、钟摆、乐器、活塞、秋千、地震等3.周期和非周期振动平衡位置（机械）振动广义振动：物理量在某一数值附近做周期性变化交流电的电流、电压、电磁场中的E

和H波动是振动的传播过程.振动是激发波动的波源.机械波电磁波波动机械振动在弹性介质中的传播(声波、水波).交变电磁场在空间的传播（无线电波、光波）.物质波两类波的不同之处机械波的传播需有传播振动的介质;电磁波的传播可不需介质.能量传播反射折射干涉衍射三类波的共同特征机械波物质波一切微观粒子（电子、中子、质子）等的波动性振动的分类：受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动简谐振动机械振动的成因:7.1简谐振动最简单、最基本的振动8.1简谐运动简谐运动复杂振动合成分解弹簧振子：由质点和轻弹簧组成的振动系统回复力;惯性.则1.动力学方程和运动学方程m受力F=－kx由牛顿第二定律令F

凡满足以上特征的运动叫简谐运（振）动.物体受线性恢复力的作用;或加速度与位移大小成正比,而方向相反。x：t时刻的位移；A：振幅；ω:为物体的角频率；φ:是初相位．称为简谐运动的运动学方程解为:A、φ为待定系数=ma7.1.1简谐振动的描述动力学方程8.1简谐运动简谐运动方程速度为:加速度为:可见:

a(t)振动超前v(t)π/2；v(t)振动超前x(t)π/2速度振幅:vm=ωA1）振幅A

简谐运动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值加速度振幅:am=ω2A2）周期频率圆频率周期T：物体作一次完全振动所经历的时间2.谐振动的速度与加速度A的值可由振动的初始条件来确定,3.简谐振动的特征物理量8.1简谐运动所以弹簧振子:频率ν:单位时间内物体所作的完全振动的次数3.简谐振动的特征物理量速度振幅:vm=ωA1）振幅A

简谐运动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值加速度振幅:am=ω2A2）周期频率圆频率周期T：物体作一次完全振动所经历的时间A的值可由振动的初始条件来确定,8.1简谐运动所以弹簧振子:频率ν:单位时间内物体所作的完全振动的次数圆频率ω

:(角频率)

物体在2π秒时间内所作的完全振动次数单位:rad/s3）相位和初相位相位(ωt+φ):决定物体在任意时刻的振动状态初相位φ:决定初始时刻振动物体的运动状态弹簧振子:8.1简谐运动圆频率ω

:(角频率)

物体在2π秒时间内所作的完全振动次数单位:rad/s3）相位和初相位相位(ωt+φ):决定物体在任意时刻的振动状态初相位φ:决定初始时刻振动物体的运动状态弹簧振子:相位是一个非常重要的物理量，用它可以很方便地比较两个简谐运动的步调。规定：相位大的振动为超前。对两个同频率的振动可规定：时间因子大的振动为超前．两个同频率简谐运动在任意时刻的相位差都等于其初相位之差，与时间无关。4）相位差:8.1简谐运动相位是一个非常重要的物理量，用它可以很方便地比较两个简谐运动的步调。规定：相位大的振动为超前。对两个同频率的振动可规定：时间因子大的振动为超前．两个同频率简谐运动在任意时刻的相位差都等于其初相位之差，与时间无关。

一个振动每超前一个T，则相位就超前2π，两个同频率的简谐运动的Δφ和Δt的关系，可表示为

对于同频率的两个简谐运动，当相位差两振动同相．当相位差两振动反相。4）相位差:8.1简谐运动图图图取1）曲线表表示法4.曲线表示法和旋转矢量表示法8.1简谐运动

三者出现最大值的时刻也不相同，但振动周期却相同．x-t曲线的高低反映了振幅的大小。A=0.03

初相φ=0；显然t=0时振动位移最大。

虚线表示的振动比实线表示的振动相位超前0.05s即1/4个周期.初相决定了曲线在t轴上的位置。

曲线的“密集”或“疏散”反映了频率的大小，T=0.2s.8.1简谐运动由曲线可以看出：

以O

为原点,旋转矢量的端点在x轴上的投影点的运动为简谐运动.2）旋转矢量表示法用几何方法来表示简谐振动作一矢量A,使它在oxy平面上绕点o作逆时针匀速转动,角速度ω,其矢量的端点在x轴上的投影点的运动为简谐运动.8.1简谐运动

M简谐振动的几个特征量旋转矢量的长度A等于简谐振动的振幅.又称为振幅矢量；矢量转动的角速度ω等于简谐振动的角频率；任一时刻t旋转矢量与x轴的夹角

等于简谐振动的相位；相应的矢量旋转的周期T和频率ν等于简谐振动的周期和频率矢量A以角速度ω旋转一周，相当于物体在x轴上做一次完全振动．8.1简谐运动例题7.1

一物体沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点O，振幅A=0.06m，周期T=2s．当t=0时，物体的位移x=0.03m，且向x轴正方向运动．求：⑴

此简谐运动的运动学方程；⑵

t=0.5s时物体的位移、速度和加速度；解

⑴设运动学方程为速度为其中A=0.06m，

与初始条件t=0，x=0.03m代入振动的运动学方程得

解得

因t=0时，物体向x轴正方向运动．即初相位应取8.1简谐运动⑵当t=0.5s时，物体的位移为物体的速度为物体的加速度为8.1简谐运动7.1.2简谐运动的能量1.简谐运动的特征方程弹簧振子当一个物体所受的合外力是线性回复力时，物体做简谐运动；反过来说，一个物体若做简谐运动，它受到的合外力应是线性回复力，这就是简谐运动的动力学特征．2.简谐运动的能量

简谐运动的回复力是保守力，系统总机械能守恒．

弹簧振子具有动能，又具有弹性势能动能又因弹性势能8.1简谐运动2.简谐运动的能量

简谐运动的回复力是保守力，系统总机械能守恒．

弹簧振子具有动能，又具有弹性势能动能又因弹性势能弹簧振子做简谐运动时，动能和势能按余弦或正弦的平方关系做周期性变化．弹簧振子的机械能为

弹簧振子的总能量取决于弹簧的劲度系数和振动的振幅。

当位移最大时，势能也最大，速度为零，动能也为零；当物体在平衡位置时，势能为零，动能达到最大值8.1简谐运动3.简谐运动能量图4T2T43T能量简谐运动的能量8.1简谐运动简谐运动能量守恒，振幅不变势能的表达式4.势能随位移的变化曲线势能曲线是抛物线，且势能随物体位置x改变而改变，在任一位置x，总能量与势能之差就是动能.简谐运动的能量例题7.2质量为0.2kg的物体，以振幅A=5cm做简谐运动，其最大加速度amax=0.2

m/s2，求：⑴

振动的周期；⑵

通过平衡位置时的动能；⑶

总能量；⑷

物体在何处动能和势能相等解

⑴因为所以振动的周期为⑵通过平衡位置时速度最大，动能也最大⑶总能量为⑷当

时，则有故简谐运动的能量7.1.3

简谐运动的合成1.两个同方向同频率简谐运动的合成设两个简谐运动同方向(x),同频率(ω).运动方程分别为:合位移应在同一方向上(x)

旋转矢量法当A1、A2以相同的频率ω旋转时，合矢量A也以相同的频率ω旋转，其合位移为应用三角函数关系展开合并化简：其中旋转矢量法可更简洁地得到xoxx2x1x2φ1A1φ2A2φA合振动仍为谐振动，角频率与分振动相同，振幅A、初相φ如上.8.1.3简谐运动的合成(1)若相位差(φ2

－φ1)=2kπ

(k=0,±1,±2,…),则分振动同相位,合振动加强(2)若相位差分振动反相位,合振动减弱(3)一般情况下|A1－A2|<A<(A1+A2)(φ2

－φ1)=(2k+1)π(k=0,±1,±2,…),则讨论

2.两个同方向不同频率简谐运动的合成（拍）8.1.3简谐运动的合成2.两个同方向不同频率简谐运动的合成

由于两振动频率不同,则它们的相位差不恒定.合振动一般不是简谐运动.设某时刻两振动相位差为0时,作为计时起点,此时求:x=x1+x2为简单起见.设A1=A2=A则:在|

2－

1|<<(

2+

1)下讨论，随t缓变随t

迅变可认为合振动是频率为合振幅为8.1.3简谐运动的合成合振动方程为合振幅也作缓慢的周期性变化.其大小在0~2A之间xtx2tx1t拍振动时而加强,时而减弱的现象叫拍合振幅每变化一个周期称为一拍，单位时间拍出现的次数称为拍频，它是振幅变化的频率拍频的值可由振幅公式求出由于余弦函数的绝对值的周期为π，因此振幅的变化周期拍频常用此式来测量某一振动的频率．8.1.3简谐运动的合成合振幅每变化一个周期称为一拍，单位时间拍出现的次数称为拍频，它是振幅变化的频率拍频的值可由振幅公式求出由于余弦函数的绝对值的周期为π，因此振幅的变化周期拍频应用：测量某一振动的频率．用标准音叉校准钢琴．用雷达测速器测速．常用此式来测量某一振动的频率．8.1.3简谐运动的合成*3.两个相互垂直同频率简谐运动的合成设质点同时参与两个相互垂直且同频率的简谐运动消去时间得合振动的轨迹方程

一般情况下是一个椭圆方程,椭圆的具体形状和大小以及长、短轴的方位由振幅A1、A2以及相位差

决定。1）

或讨论2）

在第一、三象限的做线振动，斜率：A2/A1质点第二、四象限做线振动，斜率：-A2/A18.1.3简谐运动的合成1)

或讨论2)

3).质点在第一、三象限的做线振动，斜率为A2/A1质点第二、四象限做线振动，斜率为-A2/A18.1.3简谐运动的合成用旋转矢量描绘振动合成图相位差取其它任意值时8.1.3简谐运动的合成简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差4).相位差取其它值时8.1.3简谐运动的合成4.两相互垂直不同频率的简谐振动的合成测量振动频率和相位的方法李萨如图两分频率成整数比8.1.3简谐运动的合成例题7-3

有两个振动方向相同的简谐振动，振动方程分别为⑴求它们的合振动方程；⑵若另有一个同方向的简谐振动则：当φ3为何值时，x1+x3的振幅为最大值？当φ3为何值时，x1+x3的振幅为最小值解：⑴x1、x2是两个同方向同频率的简谐振动，其合振动也是简谐振动，且频率与两个分振动频率相同，角频率均为

πrad/s，合振动方程为合振动振幅为合振动初相φ的正切值为合振动的初相位应在第四象限因此所求的合振动方程为当相位差合振动振幅为合振动初相φ的正切值为合振动的初相位应在第四象限⑵当相位差时，合振动的振幅最大．因，所以时，合振动振幅最小，因此PFmAlθO根据转动定律：而I=ml2在小角度条件下sinθ≈θ(θ<5°)凡满足以上特征的运动叫简谐运动.忽略空气阻力，质点在平衡点附近往复运动.1.单摆(数学摆)重力矩：M=－mglsinθ常见的简谐运动*8.1.4几种常见的简谐运动1)方程：单摆的角频率7.1简谐运动PFmAlθO根据转动定律：而I=ml2在小角度条件下sinθ≈θ(θ<5°)单摆作简谐运动3）应用：计时器．

测量重力加速度包括动能Ek和重力势能EP2）

周期单摆的角频率

取决于系统本身的性质，与重力加速度及摆长有关。4）

能量常见的简谐运动7.1简谐运动当θ很小时h为物体相对于平衡位置的高度质点作简谐运动3）应用：计时器．

测量重力加速度包括动能Ek和重力势能EP2）

周期取决于系统本身的性质与重力加速度及摆长有关4）

能量总能量常见的简谐运动7.1简谐运动2.复摆(物理摆)质量为m的任意形状的物体,绕过O点的水平轴作微小的自由摆动，称为复摆.OClθ••P复摆的转动惯量为I,复摆的质心C到O的距离为OC=lM=－mglsinθ当θ很小时,M=－mgl

θ由转动定律或重力矩：令简谐运动微分方程复摆的角频率周期应用：测转动惯量常见的简谐运动7.1简谐运动M=－mglsinθ当θ很小时,M=－mgl

θ由转动定律或重力矩：令简谐运动微分方程

金属丝上端固定，下端与一均质水平圆盘的中心连接．

将圆盘绕轴扭转一小角度后释放，圆盘在金属丝扭转力矩的作用下在平衡位置附近做往复摆动。

弹簧受扭转所产生的扭转力矩M与所转过的角度θ成正比且方向相反，根据转动定律3.扭摆周期复摆的角频率应用：测转动惯量常见的简谐运动7.1简谐运动为简谐运动微分方程金属丝的扭转力矩M与所转过的角度θ成正比且方向相反，根据转动定律略去轴承摩擦扭摆的动力学方程为解为3.扭摆周期应用：测转动惯量

金属丝上端固定，下端与一均质水平圆盘的中心连接．

将圆盘绕轴扭转一小角度后释放，圆盘在金属丝扭转力矩的作用下在平衡位置附近做往复摆动。常见的简谐运动例题3.7一根质量均匀的细杆长度为l，质量为m，可绕其一端的轴O在竖直平面内自由转动，如图．求杆做微小振动时的周期.解

：在细杆偏离平衡位置为θ角时杆所受重力矩为θ很小，有杆受到的合力矩为线性回复力矩杆的振动为简谐运动．细杆绕O轴转动的转动惯量为细杆振动的周期7.2阻尼振动

受迫振动

共振7.2.1.阻尼振动物体受阻力对弹簧振子令解为在时1.欠阻尼振动式中，A0和φ是由初始条件决定的常数，式中

β叫阻尼系数,ω0叫固有频率阻尼振动的振幅随时间t作指数衰减周期T大于无阻尼自由振动T02.过阻尼振动当阻尼较大系统不再作周期运动而缓慢回到平衡位置.系统不能往复运动,物体更快回到平位置.阻尼振动受迫动共振3.临界阻尼振动7.2.2.受迫振动4.三种阻尼振动比较在欠阻尼和过阻尼状态下，振动物体从运动到静止都需要较长的时间，而临界阻尼的物体从开始运动到回到平衡位置所用时间却是最短．因此当物体偏离平衡位置时，若要它在不发生振动的情况下，能最快地恢复到平衡位置且处于静止状态的最好办法是施加临界阻尼．

为了能使物体做振幅不随时间衰减的周期性振动，往往对振动系统施加连续的周期性外力，这样的振动称为受迫振动．这种周期性外力称为驱动力．

设驱动力按余弦规律变化且初相位为零，稳定状态下，物体与外驱动力同周期振动阻尼振动受迫动共振

假设系统在弹性力、阻力和驱动力的共同作用下做受迫振动

仍令在阻尼较小时，该方程的解为

显然，稳态时受迫振动的振幅与驱动力的幅值F0成正比，也与驱动力的角频率ω有关．得AOω0ωp小阻尼阻尼→0大阻尼共振时的振幅阻尼振动受迫动共振7.2.3.共振

当驱动力的频率为某一特定值时，受迫振动的振幅达到最大值Ar，这一现象称为位移共振，简称共振．相应的频率称为共振频率ωr．

共振时位移与驱动力的相位差共振小故事——唐朝《刘宾客嘉话录》洛阳某僧房中之磬常于齐钟响时自鸣，僧人由此病。其友曹绍夔（太乐令）得知，以锉刀锉磬数处，以后钟响便不再鸣磬。阻尼振动受迫动共振共振的应用和防止钢琴、小提琴等乐器;应用:军队过桥时要便步走;(法国昂热市一座大桥因共振断裂坍塌)装修剧场、房屋时使用吸声材料等.在振动物体底座加防振垫;机器运转时为了防止共振要调节转速;防止:微波炉.微波与食物中的水分子产生共振收音机;调谐装置8.2阻尼振动受迫动共振

在物理实验室内，收藏有“阴阳鱼洗盆”，只要在盆内加一半水，然后用手轻摩双耳，盆中就会波浪翻滚，涌出很高的喷泉，这也是共振原理的应用．1940年，美国全长860米的塔克玛斜拉大桥就在大风下因共振而坍塌．——1952年诺贝尔物理学奖拓展——核磁共振（NMR）核磁矩旋进角速度外磁场交变磁场垂直于方向线频率共振条件▲核磁共振在临床医学上的应用——2003年诺贝尔医学奖阻尼振动受迫动共振一、机械波产生的条件

能传播机械振动的媒质（空气、水、钢铁等）2.

介质作机械振动的物体（声带、乐器等）

1.

波源7.3简谐波3.机械波:机械振动在弹性媒质中的传播二、横波与纵波（按质点的振动方向和波的传播方向的关系）1）

质点的运动情况动画观察注意点：2）

质点向前传播吗？3）波动在空间上的周期性与振动的周期性有什么关系？7.3.1机械波的产生分类

特征：具有交替出现的波峰和波谷.1.横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.绳子上的波是横波8.3简谐波2.纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.

特征：具有交替出现的密部和疏部.

特点：质点的振动方向与波传播方向一致水平放置的弹簧上的波和空气中传播的声波都是纵波。8.2简谐波8.3简谐波说明：(1)

波的传播不是介质质元的传播(2)波是振动状态的传播(4)同相位点----质元的振动状态相同(3)振动具有时间周期性,波动在空间上也有周期性相邻两相同振动状态的点之间的距离为波长

相位差为2

3.

复杂波（研究对象）特点：波源及介质中各点均作简谐振动特点：复杂波：它可分解为横波和纵波；任何形式的波都可以看成是横波与纵波的叠加例如：地震波三.

简谐波注：

（1）波的介质要求：横波仅在固体中传播；纵波可在固体、液体和气体中传播。（2）两种波中各质点都只在各自平衡位置附近振动。8.3简谐波平面波球面波四.平面波和球面波1.波面、波前和波线波线:沿波的传播方向画的带箭头的线叫波线.波面：振动相位相同的点组成的曲面.波前(波阵面):波源最初振动状态传到的点连成的面曲.在各向同性媒质中,波线与波面垂直,即处处正交2.平面波和球面波

按波面的形状可将波分为平面波、球面波和柱面波等平面波的波面是一组平行平面，波线是垂直于波面的平行直线

球面波的波面是以点波源为中心的一系列同心球面，波线是沿半径方向的直线。8.3简谐波沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。··ab

xxu传播方向图中b点比a点的相位落后六.波形曲线(波形图)o

xuty不同时刻对应有不同的波形曲线

五.波是相位的传播

柱面波的波面是以线状波源为轴线的圆柱面，波线是沿垂直于轴线且以轴线上各点为圆心的圆的半径方向的直线．3.柱面波

点波源产生球面波，

线波源产生柱面波。

当研究的位置离波源很远时，波面都可以近似地看成是平面波波面。8.3简谐波沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。··ab

xxu传播方向图中b点比a点的相位落后六.波形曲线(波形图)o

xuty不同时刻对应有不同的波形曲线

波形曲线能反映横波、纵波的位移情况七.波的基本特征量（P279）1.波长

:

在同一波线上两相邻同相点间的距离（一个完整波形的长度）λλ2.波的周期T:波动传播一个波长所需的时间.波的频率

:

媒质质点(元)的振动频率.五.波是相位的传播8.3简谐波波形曲线能反映横波、纵波的位移情况七.波的基本特征量（P）1.波长

:

在同一波线上两相邻同相点间的距离（一个完整波形的长度）λλ2.波的周期T:波动传播一个波长所需的时间.波的频率

:

媒质质点(元)的振动频率.即单位时间内波动所传播的完整波的数目.

一般情况下,波的周期(频率)等于波源的振动周期(频率)波在不同介质中,周期(频率)不变,波长

变.波速ｕ又称相速度(相位传播速度)三者关系3.波速u

:单位时间波所传过的距离8.3简谐波即单位时间内波动所传播的完整波的数目.

一般情况下,波的周期(频率)等于波源的振动周期(频率)波在不同介质中,周期(频率)不变,波长

变.波速ｕ又称相速度(相位传播速度)三者关系3.波速u

:单位时间波所传过的距离7.3.2平面简谐波的描述一.平面简谐波的波函数讨论:

沿+x

方向传播的一维简谐波(u,

)介质中x处的质元在任意时刻t的位移y(x,t)叫波函数。

简谐波：在均匀各向同性、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，介质中各质元均按余弦规律运动.这种振动在介质中的传播形成简谐波。

平面简谐波：波面为平面的简谐波.8.3简谐波

设有一平面简谐波沿轴正方向传播，波速为，坐标原点

处质点的振动方程为OPx7.3.2平面简谐波的描述一.平面简谐波的波函数讨论:

沿+x方向传播的一维简谐波(u,

)介质中x处的质元在任意时刻t的位移y(x,t)叫波函数

简谐波：在均匀各向同性、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，介质中各质元均按余弦规律运动.这种振动在介质中的传播形成简谐波。

平面简谐波：波面为平面的简谐波.8.3简谐波

设有一平面简谐波沿轴正方向传播，波速为，坐标原点

处质点的振动方程为点O

的振动状态用时间推迟方法点P=t时刻点P的运动t-x/u时刻点O的运动=点P振动方程u

沿x轴正向

u

沿x

轴负向8.3平面简谐波的波动方程点O

的振动状态用时间推迟方法点P=t时刻点P的运动t-x/u时刻点O的运动=点P振动方程u

沿x轴正向

u

沿x

轴负向波函数讨论：二、波函数的物理含义1.x=x0

一定,t变化

表示x0处质元的位移随时间t的变化规律.

8.3平面简谐波的波动方程

y

o

该方程表示t时刻波传播方向上各质点的位移,即t时刻的波形（y-x的关系）x2.t=t0

一定,x变化

3.x,t都变化

波函数就表示波线上不同质元在不同时刻的位移，更形象地说，就是波形的传播．波函数讨论：二、波函数的物理含义1.x=x0

一定,t变化

表示x0处质元的位移随时间t

的变化规律.

8.2平面简谐波的波动方程

y

o

该方程表示t

时刻波传播方向上各质点的位移,即t时刻的波形（y-x

的关系）x2.t=t0

一定,x变化

3.x,t都变化

波函数就表示波线上不同质元在不同时刻的位移，形象地说，就是波形的传播．化简得为在空间行进的波，称为行波。利用几个基本特征物理量的关系和

三、波动方程的其它形式:8.3平面简谐波的波动方程波线上各点的简谐运动图8.3平面简谐波的波动方程化简得为在空间行进的波，称为行波。利用几个基本特征物理量的关系和

三、波动方程的其它形式:

坐标为x的质元的振动相位比原点处质元的振动相位落后当

该坐标处质元的振动状态与原点处质元的振动状态完全相同比较，可得其最大值为

如果平面简谐波沿

x轴负方向传播，则t

时刻位于

x

处的质元的位移应该等于原点在这之后

，即

时刻的位移，将所有减号改为加号，就可以得到相应的波函数了。例题

7-5一平面简谐波沿x轴的正方向传播，已知其波动表达式为8.3平面简谐波的波动方程求：⑴波的振幅、波长、周期、波速；⑵介质中质元振动的最大速度；⑶画出t1=0.0025s和t2=0.005s时的波形曲线.解：⑴将已知波动表达式写成标准形式⑵介质中质元的振动速度为⑶当t1=0.0025s时当t1=0.005s时解：由图可见，则周期角频率若设波源处的振动方程为由图可以看出，（质元向y正方向运动）波源的振动初相位为原点处质元的振动方程为例题7.6一根长线用水平力张紧，在上面产生一列向左传播的简谐波，波速为20m/s．在t=0时它的波形曲线如下图．求该简谐波的波函数．8.3平面简谐波的波动方程画出两条波形曲线为例题7.5一根长线用水平力张紧，在上面产生一列向左传播的简谐波，波速为20m/s．在t=0时它的波形曲线如图4.6所示．求该简谐波的波函数．解：由图可见，则周期角频率若设波源处的振动方程为由图可以看出，（质元向y正方向运动）波源的振动初相位为原点处质元的振动方程为

在波的传播过程中，整个波形向左平移，波函数为

在棒上任取一长度为dx的质元，则该质元的体积为dV=Sdx质量为dm=ρdV7.3.3波的能量一.波的能量波动过程就是能量传播的过程

动能形变势能+=波的能量以简谐纵波在直棒中的传播为例

该质元处于平衡位置，两个截面a和b的坐标分别为

x和

x+dx该质元的振动速度为振动动能为形变势能为质元的总能量等于其动能和势能之和1.在行波传播过程中，质元的动能和势能同相且相等.2.质元的动能和势能都随时间作周期性变化.

同时到达最大值，又同时到达最小值零3.质元的总机械能不守恒，沿传播方向，不断地从波源接受能量,又不断把能量释放出去；故波动传播能量.说明:

二.能量密度:平均能量密度:在一个周期内的平均值波的平均能量密度与振幅平方、频率平方、介质的密度成正比8.3.3波的能量和波的强度单位体积媒质中的波动能量.单位时间内通过介质中某面积的能量三.能流(能量通量)、波的强度能流:平均能流：1.能流(能量通量)2.波的强度能流密度的时间平均值P=wuS单位时间内垂直通过单位面积的平均能流，称为平均能流密度或波的强度，用

I表示．

对于声波和光波，分别称它为声强和光强．单位：瓦每二次方米，单位：瓦特（W）．

也称作波的功率8.3.3波的能量和波的强度2.波的强度能流密度的时间平均值

单位时间内垂直通过单位面积的平均能流，称为平均能流密度或波的强度，用

I

表示．对于声波和光波，分别称它为声强和光强．单位：瓦每二次方米，例题7.7

为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W的功率．若波源发出的是球面波（设介质不吸收波的能量），求距离波源5.0m和10.0m处波的强度

解

依题意，对球面波，单位时间内通过任意半径球面的能量（平均能流）相同，都等于波源消耗的功率，而同一个球面上各处的平均能流密度即波的强度相等．所以在距波源在距波源处波的强度为处波的强度为8.3.3波的能量和波的强度7.3.4波的叠加驻波一.惠更斯原理能正确解释波的衍射、波的反射、波的折射等。波传播过程中当遇到障碍物时,能绕过障碍物的边缘而传播的现象。二.波的衍射衍射现象显著与否与障碍物的尺寸和波长之比有关。

在波传播过程中，介质中任一波面上的各点，都可以看作是发射子波的波源，各自发出球面子波；在以后的任一时刻，这些子波波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面．

尺寸小于波长，衍射现象更加明显。三.波的叠加原理波传播过程中当遇到障碍物时,能绕过障碍物的边缘而传播的现象。二.波的衍射衍射现象显著与否与障碍物的尺寸和波长之比有关。

尺寸小于波长，衍射现象更加明显。⑴几列波相遇后，仍然保持它们原来的特征（如频率、波长、振动方向等）继续沿原来的传播方向前进，好像没有遇到其它的波一样．

水面的两列水波，在两列水波相遇的区域由于两列波的叠加而出现特殊的波纹，但是这两列波分开后，仍然保持原来的特征按原方向继续传播⑵在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和8.3.4波的衍射和干涉

驻波波的叠加原理波传播的独立性：几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.波的叠加性：在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.8.3.4波的衍射和干涉

驻波三.波的叠加原理⑴几列波相遇后，仍然保持它们原来的特征（如频率、波长、振动方向等）继续沿原来的传播方向前进，好像没有遇到其它的波一样．⑵在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和

水面的两列水波，在两列水波相遇的区域由于两列波的叠加而出现特殊的波纹，但是这两列波分开后，仍然保持原来的特征按原方向继续传播四.波的干涉

两列同频率、同振动方向、相位差恒定的波叠加时，其合振幅和合强度将在空间形成一种稳定的分布，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱．相干条件:

频率相同、振动方向相同、相位差恒定相干波源产生相干波的波源8.3.4波的衍射和干涉

驻波

频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.波的干涉8.3.4波的衍射和干涉

驻波四.波的干涉

两列同频率、同振动方向、相位差恒定的波叠加时，其合振幅和合强度将在空间形成一种稳定的分布，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱．1.相干条件:

频率相同、振动方向相同、相位差恒定2.相干波源产生相干波的波源两个波源S1

和S2的振动方程S1和S2在P点激发的振动方程3.合振动仍是简谐运动相位差8.5波的衍射和干涉

驻波2.产生驻波的条件：五、驻波1.驻波实验

一根张紧的弦线，一端A固定，一端连接一振子，当振子做上下振动时，该弦将如何运动呢？

驻波即入射波和反射波叠加的结果.两列相干波振幅相同速率相同在同一直线上沿相反方向传播3.驻波的形成过程4.驻波的基本特征：

驻波是由振幅相同,速率相同且在同一直线上沿相反方向传播的两列相干波叠加而成的一种特殊形式的干涉现象.驻波波形不朝任何方向移动；驻波中有些点始终静止不动，称为波节；波腹和波节都是等间隔排列的；媒质质元分段振动,各分段步调一致,各质元振幅不同。驻波中有些点的振幅最大，称为波腹；4.驻波的基本特征：

驻波是由振幅相同,速率相同且在同一直线上沿相反方向传播的两列相干波叠加而成的一种特殊形式的干涉现象.驻波波形不朝任何方向移动；波腹和波节都是等间隔排列的；媒质质元分段振动,各分段步调一致,各质元振幅不同。5.驻波方程

设两列平面相干波沿x轴正、负向传播,设在x=0处两振动的初相位均为0.沿x轴正向：沿x轴负向：不含时间，为振幅项含时间为振动项驻波中有些点始终静止不动，称为波节；驻波中有些点的振幅最大，称为波腹；合运动8.3.4波的衍射和干涉

驻波2.驻波方程

设两列平面相干波沿x轴正、负向传播,设在x=0处两振动的初相位均为0.沿x轴正向：沿x轴负向：不含时间为振幅项含时间为振动项驻波中的各质元都在作振幅为，频率为的简谐振动。驻波方程：

讨论波腹和波节的位置（1）波腹：令合运动8.3.4波的衍射和干涉

驻波驻波中的各质元都在作振幅为，频率为的简谐振动。驻波方程：

讨论波腹和波节的位置（1）波腹：令相邻波腹间隔：（2）波节：令相邻波节间隔：8.3.4波的衍射和干涉

驻波6.驻波的能量以弦线上的驻波为例：

当驻波形成时，介质中各质元必定同时达到最大位移，或同时通过平衡位置当各质元达到各自的最大位移时，各质元振动速度为零，所以动能为零xy相邻波腹间隔：（2）波节：令相邻波节间隔：8.2.4波的衍射和干涉

驻波三.驻波的能量以弦线上的驻波为例：

当驻波形成时，介质中各质元必定同时达到最大位移，或同时通过平衡位置

当各质元达到各自的最大位移时，各质元振动速度为零，所以动能为零xy

但弦线各段都有了不同程度的形变，越靠近波节处形变就越大,此时驻波的能量具有势能的形式，并且都集中在波节附近．

当弦线上各质元同时回到平衡位置时，弦线的形变完全消失，弹性势能为零，但各质元的振动速度却最大，则动能也最大.

此时驻波的能量以动能形式集中在波腹(处质元）附近．在驻波中，动能和势能相互转换，形成了能量交替地从波腹附近转向波节附近，再由波节附近转回到波腹附近．

但在动能和势能的相互转换过程中，却没有能量的定向传播．思考：“鱼洗”之谜古代脸盆称“洗”，盆底刻有鱼纹的称鱼洗，龙纹的称龙洗。这种器物在先秦时期已被普遍使用，而能喷水的铜质鱼