工程力学 第2版 课件 第4章 点的运动描述和刚体的基本运动

工程力学理论力学篇——

运动学

运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。

运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。

学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础；其次运动学本身也有独立的应用。由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。

时间概念：瞬时和时间间隔。

运动学所研究的力学模型为：点和刚体。运动实例1——刨床运动实例2——飞机机动飞行运动实例3——齿轮传动运动实例4——齿轮齿条传动运动实例5——四连杆机构第四章点的运动描述和刚体基本运动

§4.1

点的运动描述

点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。本节研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。1.运动方程

选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即一、矢径法MrO2.速度动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。

动点的速度矢沿着矢径矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。AMBOr(t)r(t+Δt)M'vv*Δr3.加速度

点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。

有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。

如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到点O，连接各矢量的端点M1，M2，M3，…，就构成了矢量v端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行。速度矢端曲线OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向确定二、直角坐标法这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。

如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r可表示为：MrOkijyyxxzz

速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。速度若已知速度的投影，则速度的大小为其方向余弦为

加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。若已知加速度的投影，则加速度的大小为其方向余弦为加速度三、自然法1.弧坐标这就是自然坐标形式的点的运动方程。

设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即MOs(-)(+)2.自然轴系

即以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即Mnbt

曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在M点的曲率。曲率的倒数称为M点的曲率半径。3.曲率MM'△s△jtt'两个相关的计算结果(当Δt→0)OMM't"t't△j△s△t4.点的速度用矢量表示为：

在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。rr'△rMM'△stv5.点的切向加速度和法向加速度由于所以上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量an的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。全加速度为at和an的矢量和大小：方向：解：取M点的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心O为坐标圆点。M点的坐标为：例4-1下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄OA长为r，自水平位置开始以匀角速度w转动，即j=wt，滑槽K-K与导杆B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄带动导杆B-B做上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。BABOKMKwxjx

将j=wt带入上式，得M点的运动方程：将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：例4-2一人高h2，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面的高为h1，求人影的顶端M沿地面移动的速度。解:取坐标系x如图所示，由几何关系得:上式对t求一阶导数，得M点的速度为:h1h2xmx2Mx

例4-3杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知φ＝wt(w为常数)。求小环M的运动方程、速度和加速度。解：建立如图所示的直角坐标系，则即为小环M的运动方程。故M点的速度大小为其方向余弦为故M点的加速度大小为且有§4.2

刚体的平移

如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。

因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点的运动。刚体平移的速度和加速度yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O平移刚体各点的速度相同平移刚体各点的加速度相同§4.3

刚体定轴转动

在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。两平面间的夹角用j表示，称为刚体的转角，用弧度(rad)表示。转角j是一个代数量，它确定了刚体的位置。

符号规定：自z轴的正端往负端看，从固定面起，逆时针转向为正；顺时针转向为负。一、转角

当刚体转动时，转角j是时间t的单值连续函数，即这就是刚体绕定轴转动的运动方程。

转角j对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用w表示:

角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用rad/s(弧度/秒)表示。

角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时角速度取正值，反之取负值。二、运动方程三、角速度

角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母a表示，即

角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用rad/s2(弧度/秒2)表示。角加速度也是代数量。

如果w与a同号，则转动是加速的；如果w与a异号，则转动是减速的。四、角加速度

工程上常用转速n来表示刚体转动的快慢。n的单位是转/分(r/min)，w与n的转换关系为匀速转动匀变速转动§4.4

定轴转动刚体内

各点的速度和加速度当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都做圆周运动:圆心在轴线上;圆周所在的平面与轴线垂直;圆周的半径R等于该点到轴线的垂直距离。动点速度的大小为

设刚体由定平面A绕定轴O转动任一角度j，到达B位置，其上任一点由O'运动到M。以固定点O'为弧坐标s的原点，按j角的正向规定弧坐标s的正向，于是一、速度转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。

点M的加速度有切向加速度和法向加速度。切向加速度为：即：转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，当a是正值时，它沿圆周的切线，指向角j的正向；否则相反。二、切向加速度法向加速度为：

转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。三、法向加速度1）如果w与a同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度at与速度v的指向相同；2）如果w与a异号，刚体作减速转动，at与v的指向相反。速度和加速度点的速度：(1)在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。

(2)在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角q都有相同的值。点的全加速度：

例4-4齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知r1、r2、w1、α1，求w2、α2。解：因啮合点无相对滑动，所以由于于是可得即w1α1r1O1O2r2w2α2v1v2aτ1aτ2

解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为求当t=1s时，则为因此轮缘上任一点M的速度和加速度为方向如图所示。例4-5一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程为,

单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。M点的全加速度及其偏角为现在求物体A的速度和加速度。因为因此上式两边求一阶及二阶导数，则得§4.5以矢量表示的角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度

角速度矢量从转轴上任一点画出，其长度按比例尺由决定，指向由右手法则确定。以表示z轴的单位矢量，则角速度矢量对上式求导，则角加速度矢量角速度矢量和角加速度矢量均为滑动矢量。当二者方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相反时，刚体越转越慢。角速度矢量用矢积表示点的速度

在旋转轴上任选一点O为原点，动点的矢径用r表示，则点M的速度可以用角速度矢与它的矢