研究生入学考试线性代数5

定义1:

设有n维向量[x,y]

=

x1y1+x2y2+···+xn

yn,称[x,y]为向量x与y的内积.

说明1.

n(n

4)维向量的内积是3维向量数量积的推广.但n维向量没有3维向量直观的几何意义.

说明2.内积是向量的一种运算,如果都是列向量,内积可用矩阵记号表示为:[x,y]

=xTy.我们把两向量的数量积的概念向n维向量推广:记内积的运算性质设x,y,z为n维向量,

为实数,则(1)[x,y]

=

[y,x];(2)[

x,y]

=

[x,y];(3)[x+y,z]

=

[x,z]

+[y,z];(4)[x,x]

0,当且仅当x=0时有[x,x]=0.二、向量的长度及性质称||

x

||为n维向量

x

的长度(或范数).定义:

令向量的长度具有下述性质:(1)非负性:||

x

||

0,当且仅当x=0时有||

x

||

=

0;(2)齐次性:||

x||

=

|

|||

x

||;(3)三角不等式:||x+y||

||x||

+

||y||.单位向量及n维向量间的夹角(1)当||

x

||=1时,称x为单位向量.(2)当||

x

||

0,||

y

||

0时,称为n维向量x与y的夹角,规定0

.例1:

求向量x=(1,2,2,3)与y=(3,1,5,1)的夹角.解:

[x,y]=13+21+25+31=18,

所以故,向量x与y的夹角为:三、正交向量组的概念及求法1.正交的概念2.正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组.当[x,y]=0时,称向量x与y正交.由定义知,若x=0,则x与任何向量都正交.3.正交向量组的性质

定理1:

若向量组

1,

2,···,

r是n维正交向量组,则

1,

2,···,

r线性无关.证明:

设有数

1,

2,···,

r,使得:

1

1+

2

2+···+

r

r=0向量的正交是几何空间中向量垂直概念的推广.由于

1,

2,···,

r是两两正交的非零向量组,当

i

j时,[

i,

j]=

iT

j=

0,当

i

=

j时,[

i,

i]=

iT

i

0,则有用

iT(i

=1,2,···,r

)左乘上式得,

1

iT

1+···+

i

iT

i

+···+

r

iT

r=

iT0

=

0,

i

iT

i

=

0.即从而得,

1=

2=···=

r=0,所以

1,

2,···,

r线性无关.4.向量空间的正交基

定义:若正交向量组

1,

2,···,

r是向量空间V的一组基,则称

1,

2,···,

r是向量空间V的一组正交基.例2:

已知三维向量空间中两个向量正交.试求

3使

1,

2,

3构成三维空间的一组正交基.

1=(1,1,1)T,

2=(1,–2,1)T即解之得解:

设

3=(x1,

x2,

x3)T0,且分别与

1,

2正交.则有[

1,

3]=[

2,

3]=0,x1=

–x3,x2=

0.若令x3=

1,则有构成三维空间的一组正交基.则5.规范正交基例如

定义:

设n维向量组e1,e2,···,er是向量空间V

Rn的一组正交基,且都是单位向量,则称e1,e2,···,er是向量空间V的一组规范(单位)正交基.由于所以,e1,e2,e3,e4为R4的一组规范正交基.同理可知也为R4的一组规范正交基(即单位坐标向量组).

设e1,e2,···,er是向量空间V的一组规范正交基,则V中的任一向量a可由e1,e2,···,er线性表示,设表示式为:a=

1e1+

2e2+···+

rer,用eiT左乘上式,有eiTa

=

ieiTei=

i,即

i=

eiTa

=

[a,ei],这就是向量在规范正交基中的坐标(即线性表示系数)的计算公式.利用该公式可方便地计算向量在规范正交基中的坐标,因此我们常取向量空间的规范正交基.6.求规范正交基的方法

已知

1,

2,···,

r是向量空间V的一组基,求V的一组规范正交基,就是要找一组两两正交的单位向量e1,e2,···,er,使e1,e2,···,er与

1,

2,···,

r等价,这样一个问题称为把基

1,

2,···,

r

规范正交化.(1)正交化设a1,a2,···,ar是向量空间V的一组基.··················取b1=

a1,

则b1,b2,···,br两两正交,且b1,b2,···,br与a1,a2,···,ar等价.(2)单位化,取则e1,e2,···,en是向量空间V的一组规范正交基.

上述由线性无关向量组a1,a2,···,ar构造出正交向量组b1,b2,···,br的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.

例3:

用施密特正交化方法,将向量组a1=(1,1,1,1),a2=(1,-1,0,4),a3=(3,5,1,-1)正交规范化.解:

先正交化.取b1=a1=(1,1,1,1),再单位化.得规范正交向量组如下:例4:

设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解:

先正交化.取b1=a1再单位化.得规范正交向量组如下:故,e1,e2,e3即为所求.例5:已知求一组非零向量a2,a3,使a1,a2,a3两两正交.解:

非零向量a2,a3应满足方程a1Tx

=

0,即x1+x2+x3=0.它的基础解系为:把基础解系正交化,即为所求.亦即取其中[

1,

2]=1,[

1,

1]=2,于是得例4的几何解释b2=a2–c2,c2为a2在b1上的投影向量,即b1=a1,

b3=a3–c3,c3为a3在b1,b2所确定的平面上的投影向量,

由于b1

b2,故c3等于a3分别在b1,b2上的投影向量c31及c32之和,即四、正交矩阵与正交变换

定理:

A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交.

若n阶方阵A满足ATA

=

E,即A-1=AT,

则称A为正交矩阵.证明:由于ATA

=

E性质1:正交变换保持向量的长度不变.

定义:

若P为正交阵,则线性变换y

=

Px称为正交变换.证明:

设线性变换y

=

Px为正交变换.则有

性质2:设A为正交矩阵,则A-1=AT也为正交矩阵,且|A|=1或–1.

性质3:设A,B都是正交矩阵,则AB也为正交矩阵.例6:

判别下列矩阵是否为正交阵.解(1):

考察矩阵的第一列和第二列.所以(1)不是正交矩阵.由于解(2):注意到,该矩阵为对称矩阵,则有所以(2)是正交矩阵.例7:

验证矩阵

解:

P的每个列(行)向量都是单位向量,且两两正交,所以P是正交矩阵.是正交矩阵.五、小结1.将一组基规范正交化的方法:先用施密特正交化方法将基正交化,然后再将其单位化.2.A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立:(1)A-1=AT;(2)ATA=E;(3)A的列向量是两两正交的单位向量;(4)A的行向量是两两正交的单位向量.§5.2方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念

定义:设A是n阶方阵,如果数

和n维非零列向量x使关系式Ax

=

x成立,那末这样的数

称为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值

的特征向量.说明1:特征向量x

0,特征值问题是对方阵而言的;

说明2:n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组(A–

E)x

=

0有非零解的值

,即满足方程|A–

E|

=

0的

都是矩阵A的特征值.说明3:方程|A–

E|

=

0

称以

为未知数的一元n次方程|A–

E|

=

0为方阵A的特征方程.

记f(

)

=

|A–

E|,它是

的n次多项式,称其为方阵A的特征多项式.

n次代数方程有n个根(复根和实根,重根按重数计算).说明4:设n阶方阵A=(aij)的特征值为

1,

2,···,

n,则有:(1)

1+

2+···+

n=

a11+a22+···+ann;

(2)

1

2···

n=

|

A

|.例1:

求的特征值和特征向量.解:

A的特征多项式为:=

(3–

)2–1所以,该方阵A的特征值为:

1=2,

2

=4.当

1=2时,对应的特征向量应满足:即解得x1=x2,故特征值

1=2对应的特征向量为:x=c当

1=

4

时,对应的特征向量应满足:=8

–

6

+

2=(4–

)(2–

)(c

0).即解得x1=-x2,故特征值

2=4对应的特征向量为:x=c

由于特征方程|A–

E|

=

0,故齐次方程组(A–

E)x

=

0有非零解.因此,求出特征值

i对应的基础解系即可求出所有特征向量.例2:

求矩阵A

=的特征值和特征向量.解:

矩阵A的特征多项式为:|A–

E|==

(2–

)(1–

)2,所以A的特征值为:

1=2,

2=

3=1.(c

0).当

1=2时,解方程组(

A–2E

)x

=

0.由得基础解系当

2=

3=1时,解方程组(

A–E

)x

=

0.由故对应特征值

1=2的所有特征向量为kp1(k

0).得基础解系故对应特征值

2=

3=1的所有特征向量为kp2(k

0).例3:

求矩阵A

=的特征值和特征向量.解:

矩阵A的特征多项式为:|A–

E|==

–(1+

)(2–

)2,所以A的特征值为:

1=–1,

2=

3=2.当

1=–1时,解方程组(

A+E

)x

=

0.由得基础解系故对应特征值

1=–1的所有特征向量为kp1(k

0).当

2=

3=2时,解方程组(

A–2E

)x

=

0.由得基础解系故对应特征值

2=

3=2的所有特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).例4:

证明:若

是矩阵A的特征值,则(1)

m是矩阵Am的特征值(m为正整数);(2)当A可逆时,则

-1是逆阵A-1的特征值.

证明(1):

由于

是矩阵A的特征值,设x是A的对应特征值

的特征向量,则Ax=

x.所以,A2x

=

A(Ax)

=

A(

x)

=

(Ax)

=

2x.即,

2是矩阵A2的特征值.依此递推得,

m是矩阵Am的特征值(m为正整数).

由此我们还证明了:若x是A的属于特征值

的特征向量,则x也是矩阵Am的属于特征值

m的特征向量.证明(2):当A可逆时,则

0,则由Ax=

x

可得,x=A-1(Ax)

=

A-1(

x)

=

(A-1x).所以,A-1x=

-1x

由此我们还证明了:若x是A的属于特征值

的特征向量,则x也是矩阵A-1的属于特征值

-1的特征向量.

还可以类推:若

是矩阵A的特征值,则

(

)是矩阵多项式

(A)的特征值,其中

(

)=a0+a1

+···+am

m,

(A)=a0E+a1A+···+amAm.二、特征值和特征向量的性质证明:设有常数x1,x2,···,xm,使则在上式左乘A得,即类推之,有

定理2:

设

1,

2,···,

m是方阵A的m个特征值,p1,p2,···,pm是与之对应的特征向量，如果

1,

2,···,

m互不相等，则p1,p2,···,pm线性无关.x1p1+x2p2+···+xmpm=0,A(x1p1+x2p2+···+xmpm)=0,

1x1p1+

2x2p2+···+

mxmpm=0,(0)(1)(k)(k=0,1,

2,

···,

m–1)把上面m个向量方程合写成矩阵形式,得

上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式,当

1,

2,···,

m各不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵可逆.(x1p1,x2p2,···,xmpm)

=

(0,0,···,0)于是有=(0,0,···,0)即xjpj

=

0(j=1,

2,

···,

m).但pj

0(j=0,1,

2,

···,

m).(x1p1,x2p2,···,xmpm)故xj=

0(j=1,

2,

···,

m).所以,向量组p1,p2,···,pm线性无关.

注1:属于不同特征值的特征向量是线性无关的;

注2:属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量;

注意3:矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一,但一个特征向量不能属于不同的特征值.

因为,假设向量x同时是A的属于不同的特征值

1,

2(

1

2)的特征向量,即有Ax=

1x,Ax=

2x,则有,

1x=

2x.即(

1–

2)x=0.由于(

1–

2)0,则

x

=

0,这与x是特征向量矛盾.例5:

设n阶方阵A的特征多项式为解:求AT的特征多项式.例6:

设

1和

2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为p1和p2,证明p1+p2不是A的特征向量.证明:按题设,有Ap1=

1p1,Ap2=

2p2,故A(p1+p2)=

1p1+

2p2.用反证法,假设p1+p2是A的特征向量,则应存在数

,使A(p1+p2)=

(p1+p2),于是

(p1+p2)=

1p1+

2p2,即(

1－

)p1+(

2－

)p2=0,因

1

2,按定理2知p1,p2线性无关,故由上式得

1－

=

2－

=0,即

1=

2,与题设矛盾.因此p1+p2不是A的特征向量.三、小结

求矩阵特征值与特征向量的步骤：

1.计算A的特征多项式|A–

E|;2.求特征方程|

A–

E

|

=

0的全部根

1,

2,···,

n,也就是A的全部特征值;3.对于特征值

i,求齐次方程组(A–

iE

)x

=

0的非零解,也就是对应于

i的特征向量.§5.3相似矩阵一、相似矩阵(变换)的概念与性质

定义:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP

=

B

,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似,对A进行运算P-1AP,称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.

定理3:若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.证明:由于矩阵A与B相似,则存在可逆矩阵P,使P-1AP

=

B|

B–

E

|

=

|

P-1AP–

E

|

=

|

P-1AP–

P-1EP

|

所以,=

|

P-1(A–

E)P

|=|

A–

E

|=

|

P-1|

|

A–

E

|

|

P

|相似矩阵的性质:1.

相似矩阵是等价的:(1)

自反性:

A与A本身相似;(2)

对称性:若A与B相似,则B与A相似;(3)传递性:若A与B相似,

B与C相似,则A与C相似.

=

diag(

1,

2,···,

n)

=其中

若n阶方阵A与对角阵

=diag(

1,

2,···,

n)相似,则称方阵A可(相似)对角化.

推论:

若n阶方阵A与对角阵

=diag(

1,

2,···,

n)相似,则

1,

2,···,

n即是A的n个特征值.证明:因为

1,

2,···,

n即是

的n个特征值，由定理3知

1,

2,···,

n

也就是A的n个特征值.3.

P-1(A1A2)P

=

(P-1A1P)(P-1A2P).4.

若A与B相似,则Am与Bm相似(m为正整数).2.

P-1(k1A1+k2A2)P

=

k1P-1A1P+k2P-1A2P.其中k1,k2是任意常数由于矩阵A与B相似,则存在可逆矩阵P,使P-1AP

=

B,亦即A

=

PBP-1,所以,Am

=

(PBP-1)m=PBP-1PBP-1

···

PBP-1=

PBmP-1.进一步有,若

(A)=a0E+a1A+···+amAm,则

(A)=a0PP-1+a1PBP-1+···+amPBmP-1

=P(a0E+a1B+···+amBm)P-1=P

(B)P-1.即相似矩阵的多项式,有相同的相似变换矩阵.Am

=P

mP-1;

(A)=P

(

)P-1.特别当矩阵A与对角阵

=diag(

1,

2,···,

n)相似时,则而对于对角阵

,有

k=

(

)=

利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式

(A).

结论:

若f(

)为矩阵A的特征多项式,则矩阵A的多项式f(A)=O.

此结论的一般性证明较困难,但当矩阵A与对角阵

相似时很容易证明.即=POP-1=O.f(A)=Pf(

)P-1=二、利用相似变换将方阵对角化

n阶方阵A是否与对角阵

=diag(

1,

2,···,

n)相似,则我们需要解决如下两个问题:1.方阵A满足什么条件与对角阵

相似;2.如何求相似变换矩阵P.

以下定理及其证明过程回答了以上两个问题.

定理4:

n阶矩阵A与对角矩阵

相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证明:

假设存在可逆阵P,使P-1AP

=

为对角阵,把P用其列向量表示为P=(p1,p2,···,pn).由P-1AP

=

,得AP

=P

,A(p1,p2,···,pn)

=(p1,p2,···,pn)(Ap1,Ap2,···,Apn)

=(

1p1,

2p2,···,

npn),即因而有,Api

=

ipi(i=1,2,···,n

).

可见,

i是A的特征值,而P的列向量pi就是A对应于特征值

i的特征向量.再由P的可逆性知,p1,p2,···,pn线性无关.

由于A有n个线性无关的特征向量p1,p2,···,pn,设它们对应的个特征值分别为

1,

2,···,

n,

Api=

ipi(i=1,2,···,n)

这n个特征向量即可构成可逆矩阵P=(p1,p2,···,pn),使AP=(Ap1,Ap2,···,Apn)=(

1p1,

2p2,···,

npn)即=P.=(p1,p2,···,pn)因此有,P-1AP

=

,即矩阵A与对角矩阵

相似.命题得证.

推论:如果n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,则A与对角阵相似.

说明:

如果A的特征方程有重根,此时不一定有n个线性无关的特征向量,从而矩阵A不一定能对角化.但如果能找到n个线性无关的特征向量,则A还是能对角化.证明:由的定理2

,n个互不相等的特征值对应的n个特征向量线性无关，再由定理3就可以得到结论.例1:

判断下列实矩阵能否化为对角阵:解:|

A–

E

|

==(

–2)2(

+7)=0得A的特征值:

1=

2=2,

3=–7.将

1=

2=2代入(

A–

E

)x

=0,得解之得基础解系:将

3=–7代入(

A–

E

)x

=0,得解之得基础解系:A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角化.|

B–

E

|

==–(

+1)3=0得B的特征值:

1=

2=

3=–1.将

1=

2=

3=–1

代入(

B–

E

)x

=0,得故B不能对角化.解之得基础解系:角化,求出可逆矩阵P,使P-1AP

=

为对角阵.例2:

设A=A能否对角化?若能对解:|

A–

E

|

==–(

–1)2(

+2)=0得A的特征值:

1=

2=1,

3=–2.将

1=

2=1代入(

A–

E

)x

=0,得解之得基础解系:将

3=–2代入(

A–

E

)x

=0,得解之得基础解系:令则有注意:

若令矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应.则有例3:

设问x为何值时,矩阵A能对角化?解:得

1=－1,2=3=1.对应单根

1=－1,可求得线性无关的特征向量恰好1个,故矩阵A可对角化的充分必要条件是对应重根

2=3=

1,有2个线性无关的特征向量,即方程(A－E)x=0有2个线性无关的解,亦即系数矩阵A－E的秩R(A－E)=1.由要R(A－E)=1,得x+1=0,即x=－1.因此，当x=－1时,矩阵A能对角化.三、小结

1.相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系,它具有很多良好的性质,除了课堂内介绍的以外,还有:(1)若A与B相似,则det(A)=det(B);(2)若A与B相似,f(x)为多项式,则f(A)与f(B)相似;(3)若A与B相似,且A可逆,则B也可逆,且A-1与B-1相似.2.相似变换与相似变换矩阵

相似变换是对方阵进行的一种运算,它把A变成P-1AP,可逆矩阵P称为进行这一变换的相似变换矩阵.

这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算,其方法是先通过相似变换,将矩阵变成对角矩阵,再对对角矩阵进行运算,从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算.

定理5的意义:

由于实对称矩阵A的特征值

i为实数,所以齐次线性方程组(

A–

iE

)

x

=

0是实系数方程组,由|

A–

iE

|

=

0知,必有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量.

定理6:

设

1,

2是对称矩阵A的两个特征值,p1,p2是对应的特征向量,若

1

2,则p1与p2正交.证明:由条件知,

Api=

ipi(i=1,2),A

=

AT.所以,

1

p1T=

(

1

p1)T=

(Ap1)T=p1TAT=p1TA,§5.4实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的性质说明:本节所提到的对称矩阵,除非特别说明,均指实对称矩阵.定理5:实对称矩阵的特征值为实数.

1

p1Tp2

=(

1

p1T)p2于是=p1T(Ap2)=(p1TA)

p2=p1T(

2

p2)=

2p1Tp2,则(

1

–

2)

p1Tp2=

0.再由

1

2得,p1Tp2=[p1,p2]

=

0,即p1与p2正交.

定理7:

设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使P-1AP

=

,