《微积分（第4版）》 教案 7.2、7.3多元函数与偏导数

课题：7.2、7.3多元函数与偏导数一、教学目标识知目标理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义，了解二元函数的极限与连续性的概念，理解多元函数偏导数的概念，并掌握其计算方法.能力目标通过对一元函数与二元函数极限、连续概念对比分析，提高学生运用对比分析的方法分析归纳、概括推广的能力.通过二元函数偏导数与一元函数导数的之间的转换，培养学生转化的思想.二、教学重点与难点重点：多元函数与偏导数概念.处理方法是对比一元函数与导数概念寻同求异，借助几何直观加深理解.难点：二元函数极限概念.三、教学方法、教学手段和教学思想教学方法：以对比分析教学为主，将二元函数与一元函数相关概念对比，寻同求异，既把握概念形式上的一致，又区分内在的差异；既掌握从一元函数到多元函数的推广，又了解从多元函数向一元函数的转化，让学生通过比较分析教学，掌握问题比较研究的方法.教学手段：利用多媒体课件辅助教学..四、教学基本流程开 始二元函数引例定义域二元函数概念对应关系与图形一元函数与二元函数极限对比一元函数与二元函数连续对比多元函数、极限、连续偏导数引例几何意义偏导数概念与连续关系巩固练习归纳总结布置作业多元函数、极限、连续偏导数引例几何意义偏导数概念与连续关系巩固练习归纳总结布置作业五、教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图多元函数极限与连续问题提出第一节多元函数一、二元函数1.引例1，例2提出引例，引出二元函数概念教师讲解论述（课件）提出问题，引发学生思考二元函数概念形成2.二元函数的概念师生归纳概括，用数学语言表述函数概念（课件）通过抽象概括出二元函数概念，提高概括和数学表达能力二元函数的两个基本要素例3，例4，例5教师讲解与学生练习相结合通过例题分析，强化对概念基本特征的把握二元函数极限连续概念形成二、二元函数的极限与连续一元函数与二元函数极限对比教师对比分析，学生对比思考师生对比概括（课件）通过对比的方法，把握二元函数极限的概念与特征一元函数与二元函数连续对比教师对比分析，学生对比思考师生对比概括（课件）通过对比的方法，把握二元函数连续的概念与特征极限计算与存在性讨论例6，例7教师讲解与学生练习相结合通过例题分析，强化对极限概念的把握多元函数概念归纳三、多元函数函数u=f(P)极限limf(P)=AP→P连续limf(P)=f(P0)P→P教师引导学生从特殊到一般，归纳推广（课件）通过概念的推广与统一，明确概念属性，把握概念结构特征，揭示概念内涵，促进概念的深化偏导数问题提出第二节偏导数一、偏导数1.问题的引入（课件）提出问题，引出二元函数偏导数概念偏导概念形成2.偏导数概念师生归纳概括，用数学语言表述偏导数概念（课件）通过转化的方法，把握二元函数偏导数的概念与特征偏导概念强化偏导数的几何意义偏导数计算教师启发学生探讨强化对概念的理解二、偏导数与连续关系偏导数⇎连续教师讲解论述（课件）强化对概念的理解概念巩固三、例题与练习123教师讲解与学生练习相结合通过例题分析、练习训练巩固、消化教学内容概念应用四、偏导数简单应用教师启发学生探讨（课件）将偏导数应用到实际问题，培养实际问题数学表述能力归纳总结五、归纳总结主要知识点，内容结构教师引导学生归纳总结把握教学内容结构，形成整体认识布置作业六、书面作业教师布置作业，学生课下练习巩固知识，反馈教学教案：6-1多元函数教案：6-1多元函数教学内容设计说明第七章多元函数微积分◎多元函数微积分是一元函数微积分的推广，多元函数是多元函数微积分学研究的对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、连续、偏导数等概念.◎多元函数微积分的学习，应注意与一元函数微积分进行对比，把握两者之间的联系、区别和转化，求同存异，处理好一般与特殊之间辩证关系.第一节 多函数一、二元函数在许多自然现象和经济现象中，经常遇到多个变量之间的依赖关系.例1设矩形的边长分别为x和y，则矩形的面积S为S=xy2CobbDouglasQcKαLβ，cαβL为劳动力数量，K为产量．1DR2fD个有序实数对x,y)，都有惟一确定的实数z与之对应，则称映射fDf：D→Rx,y↦zx,yD zfx,y)x,y称为自变量，zx,y)的变化范DDf)zfD)，即f(D)={zz=f(x,y),(x,y)∈D}⊂R y f(x,y) zx z二元函数的定义域：使解析式f(x,y)有意义的自变量所组成的平面点集。例3二元函数z=a2−x2−y2的定义域为所有适合于x2+y2≤a2的点(x,y)的集合，即D={(x,y)x2+y2≤a2}4z=1lnxy)xy>0,x>0的点x,y的集x合，D(x,y)x+y>0,x>0}. y yx2+y2≤a2Dx x通过引例阐明多元函数研究背景主要知识点函数定义域的确定zfx,y的图像x,y,z)zfx,yx,yD}，一般表示空xOy上的投影区域，就是zfx,y. zz=f(x,y) zOy yD xx例5函数z=1−x2−y2的定义域为平面圆域D={(x,y)x2+y2≤1}函数z=1−x2−y2图像为上半球面. 二、二元函数的极限与连续 数的极限与连续概念推广的二元函数上则有：与一元函数极限与连续概念对比，求同存异.一元函数二元函数极限x→x0fx总趋向于一AA是一元函数fxx→x0时的极限，记为limf(x)=Ax→x如果当x,yx0,y0)fx,y总趋向于一个确定的常数AA是fx,y当x,yx0,y0时的极限，记为limf(x,y)=A(x,y)→(x,y)极限逼近条件x→x0具有双向性极限存在充要条件：limf(x)⟺limf(x)=limf(x)x→x x→xx→x极限逼近条件(x,y)→(x0,y0)多向性极限不存在条件：一个方向不存在或两个方向不等.连续设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果极限limf(x)=f(x0)x→x则称一元函数f(x)在点x0处连续设函数f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果极限lim f(x,y)=f(x0,y0)(x,y)→(x,y)则称一元函数f(x)在点x0处连续一元初等函数在其定义区间上连续闭区间上连续函数最值定理二元初等函数在其定义区域上连续闭区域上连续函数最值定理例6求极限（1） lim sin(xy)；（2） lim arcsinx2+y2(x,y)→(0,2) x (x,y)→(0,1)例7证明f(x,y)=xy 在(0,0)处极限不存在.x2+y2三、多元函数（1）n维空间 n元有序实数组x2⋯xn

)的全体组成的集合称为n维空间，记作Rn1 2 n i 1 2 n即Rn={(x,x,⋯,x)x∈R,i=1,2,⋯,n}其中每个有序数组(x,x,1 2 n i 1 2 n

)称为Rn的一个点（或坐标）,维空间Rn中任意两点M(x,x,⋯,x),N(y,y,⋯,y)1 2 n间的距离定义为1 1 2 2 n nMN=(x−y)2+(x−y)2+⋯+(x−y)1 1 2 2 n n

1 2 n（2）nRn上的函数、极限与连续概念 nufxx,⋯x

)，(x,x,⋯,x

)∈D⊂Rn,称为Rn上的n元函数．

12 n

12 n n元有序实数组x2,⋯xnPx2,⋯xnn元函数u=f(x2,⋯,xn)也可以表示为u=f(P)，称其为点函数. 二元函数及二元以上函数统称为多元函数，同二元函数类似，可以定义多元函数的极限与连续概念并将其统一为点函数形式

多元函数、极限与连续概念 多元函数的极限定义limP→P 多元函数的连续定义limP→P

f(P)=A；f(P)=f(P0)

的统一由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主要概念、性质与二元函数教案：6-2偏导数教案：6-2偏导数第二节 偏数 一、偏导数 1问题的引入 CobbDouglasQcKαLβ，cαβL为劳动力数量，K为产量． 当劳力投入保持不变，而资本投入变化时产量的变化率 dQ=cαKα−1Lβ=αQdK K 当资本投入保持不变，而劳力投入变化时产量的变化率 dQ=cβKαLβ−1=βQdL L该问题是求多元函数在特定条件下对某个变量的变化率. 对于二元函数在其中一个自变量固定不变时，二元函数实际上转化为一元函数.因此，可以利用一元函数导数概念，得到二元函数对某个自变量的变化率，或者说将二元函数对某个变量的变化率转化为一元函数的导数.2.偏导数概念 对比一元函数导数概念引导转化建立二元函数偏导数概念.由具体问题出发,提出问题,指明研究意义.一元函数导数二元函数偏导数定义 设函数y=f在x的某0个邻域内有定义，若极限limΔy=limf(x0+Δx)−f(x0)ΔxΔx存在，则称其极限值为fx在x处0的导数，记为f'(x)=limf(x0+Δx)−f(x0)0 Δx定义 设函数z=fy在(x,y0)的某0个邻域内有定义，若极限limf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δxfy在(x,y处0 0对x的偏导数，记为f(x,y)=limf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)0 0 Δx类似地，对y的偏导数f(x,y)=limf(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)0 0 Δy通过对一元函数导数概念的回顾，对比给出二元函数偏导数概念.求导数的方法：求偏导数的方法：将其转化为一元函数，按照一元函数求导法则求导.fx(x0,y0)=f'(x,y0)x=xz=f(x,y)偏导数几何意义：曲线 在点 y=y 0(x0,y0)处切线对于x轴的斜率.应用导数基本公式与求导法则求导.将二元函数偏导数的计算与几何特征转化导数几何意义：曲线y=f(x)在为一元函数导点x0处切线对于x轴的斜率，即数的计算与几f'(x0)=tanα何特征类似的可定义多元函数的偏导数. ufx,yz的偏导数，为 f(x,y,z)=limf(x+Δx,y,z)−f(x,y,z)x Δx以及 fy(x,y,z)，fz(x,y,z)二、偏导数与连续关系问题：多元函数的连续与偏导数之间关系如何？是否同一元函数类似？注意强调二元函数连续与偏导数之间关系,以及与一元函数两个概念之间关系的差异和形成差异的原因.连续未必偏导不存在偏导存在未必连续例函数f(x,y)= x2+y2在点(0,0)处连续，但偏导数不存在.解 因为 lim x2+y2=f(0,0)(x,y)→(0,0)故f(x,y)在点(0,0)处连续；而(Δx)2+02−0 Δxlim =limΔx Δx极限不存在，所以偏导数不存在.例函数f(x,y)=1 xy≠0在点(0,0)0 xy=0处偏导数存在，但不连续.解 因为 lim f(x,y)不存在，所以(x,y)→(0,0)f(x,y)在点(0,0)处不连续，而f(0,0)==lim0−0=0Δxf(0,0)==lim0−0=0Δy故f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在说明：连续只说明以任何方式(x,y)→(x0,y0)时，f(x,y)→f(x0,y0)但不保证沿坐标轴方向变化率存在说明：偏导存在只说明沿坐标轴方向x,yx0,y0时变化率存在，但不能保证其它方向f(x,y)→f(x0,y0)三、例题与练习例1求z=xy的偏导数∂z，∂z．∂x ∂y 2求zexy在1,1处的偏导数． 3fx,y)=1xy)y，求fx,yf1,1x y 四、偏导数简单应用xy总成本为C(x,y)=3x2+7x+1.5xy+6y+2y2(1)求两种不同产品的边际成本；