高考数学一轮复习：任意角和弧度制及任意角的三角函数

任意角和弧度制及任意角的三角函数高考数学一轮复习1.角的概念的推广2.弧度制的定义和公式3.任意角的三角函数教材研读考点一象限角及终边相同的角考点二扇形的弧长及面积公式考点三三角函数的概念及应用考点突破教材研读1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成是平面内的一条射线绕着它的①

端点

从一个

位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类

(3)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·

360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于④

半径长

的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧

度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|=

(l表示弧长,r表示半径长)角度与弧度的换算1°=

rad;1rad=⑤

°

弧长公式l=⑥

|α|r

扇形面积公式S=⑦

lr

=

|α|r23.任意角的三角函数知识拓展1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.2.若α∈

,则tanα>α>sinα.任意角的三角函数的定义(推广)设P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点,其到原点O的距离为r,则sinα=

,cosα=

,tanα=

(x≠0).1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)小于90°的角是锐角.

(✕)(2)三角形的内角必是第一、第二象限角.

(✕)(3)不相等的角终边一定不相同.

(✕)(4)若点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在第二象限.(√)答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√

2.角-870°的终边所在的象限是

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

C

C3.与角

的终边相同的角可表示为

()A.2kπ+45°(k∈Z)

B.k·360°+

π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z)

D.kπ+

(k∈Z)答案

C

π=

×180°=360°+45°=720°-315°,∴与角

π的终边相同的角可表示为k·360°-315°,k∈Z.弧度制与角度制不能混用,故A,B不对.C4.若sinα<0,且tanα>0,则α是

()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案

C由sinα<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上;

由tanα>0知α的终边在第一或第三象限,故α是第三象限角.故选C.C5.已知θ的终边过点P(12,-5),则cosθ的值为

.答案

解析由题意知x=12,y=-5,所以r=

=13,所以cosθ=

=

.6.已知扇形的圆心角为60°,其弧长为2π,则此扇形的面积为

.答案6π解析设此扇形的半径为r,由题意得

r=2π,所以r=6,所以此扇形的面积为

×2π×6=6π.

象限角及终边相同的角考点突破典例1(1)已知角α的终边在第二象限,则

的终边在第

象限.(2)终边在直线y=

x上的角的集合是

.答案(1)一或三(2)

解析(1)因为角α的终边在第二象限,所以

+k·2π<α<π+k·2π,k∈Z,所以

+kπ<

<

+kπ,k∈Z.所以当k=2m(m∈Z)时,

+m·2π<

<

+m·2π,此时

的终边在第一象限;当k=2m+1(m∈Z)时,

+m·2π<

<

+m·2π,此时

的终边在第三象限.综上,

的终边在第一或第三象限.(2)∵在(0,π)内终边在直线y=

x上的角是

,∴终边在直线y=

x上的角的集合为

.◆探究1(变条件)本例(1)中,若把第二象限改为第三象限,则结果如何?解析由角α的终边在第三象限,可知π+2kπ<α<

+2kπ,k∈Z,所以

+kπ<

<

+kπ,k∈Z.当k=2m(m∈Z)时,

+m·2π<

<

+m·2π,此时

的终边在第二象限;当k=2m+1(m∈Z)时,

+m·2π<

<

+m·2π,此时

的终边在第四象限.综上可知,

的终边在第二或第四象限.◆探究2(变问法)若本例(1)的条件不变,试判断2α为第几象限角.解析因为α是第二象限角,所以

+k·2π<α<π+k·2π(k∈Z),则π+2k·2π<2α<2π+2k·2π(k∈Z),所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴

非正半轴上的角.规律总结1.终边相同的角的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这

个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数赋值来求得

所需角.2.象限角的两种判断方法(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接

判断已知角是第几象限角.(2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.3.求

或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示.(2)两边同时除以n或乘n.(3)对k进行讨论,得到

或nθ(n∈N*)所在的象限.▶提醒

注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°

可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在的直线上的角.1-1设集合M=

,N=,那么

(

)A.M=N

B.M⊆NC.N⊆M

D.M∩N=⌀.解析

M=

={…,-45°,45°,135°,225°,…},N=

={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有M⫋N.故选B.B1-2在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为

.答案-675°或-315°解析所有与45°角终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),则令-720°≤45°+k×360°≤0°(k∈Z),得-765°≤k×360°≤-45°(k∈Z),解得-

≤k≤-

(k∈Z),从而k=-2或k=-1,代入得β=-675°或β=-315°.扇形的弧长及面积公式典例2已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长l;(2)已知扇形的周长为10cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角;(3)若扇形周长为20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面

积最大?解析(1)α=60°=

rad,所以l=α·R=

×10=

(cm).(2)由题意得

⇒

(舍去)或

故扇形圆心角为

.(3)由已知得l+2R=20,所以S=

lR=

(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以当R=5cm时,S取得最大值25cm2,此时l=10cm,α=2.规律总结弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配

方法使问题得到解决.2-1已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长

是

()A.2

B.sin2C.

D.2sin1C答案

C如图,∠AOB=2弧度,过O点作OC⊥AB于C,并延长OC交

于D.则∠AOD=∠BOD=1弧度,且AC=

AB=1,在Rt△AOC中,AO=

=

,即r=

,从而

的长l=αr=

,故选C.2-2若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是

.答案

解析设圆的半径为r,则圆内接正方形的对角线的长为2r,∴正方形的

边长为

r,∴圆心角的弧度数是

=

.

三角函数的概念及应用命题方向一三角函数定义的应用典例3(1)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-

,则m的值为

()A.-

B.

C.-

D.

(2)设θ是第三象限角,且

=-cos

,则

是

()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角BB答案(1)B(2)B解析(1)∵r=

,∴cosα=

=-

,∴m>0,∴

=

,即m=

.(2)由θ是第三象限角知,

为第二或第四象限角,∵

=-cos

,∴cos

<0,∴

为第二象限角.命题方向二三角函数线的应用典例4函数y=lg(2sinx-1)+

的定义域为

.答案

(k∈Z)解析要使原函数有意义,必须有

即

如图,在单位圆中作出相应的三角函数线,

由图可知,原函数的定义域为

(k∈Z).规律方法1.利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终

边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.2.根据三角函数定义中x,y的符号来确定各象限内三角函数的符号,理解

并记忆:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.3.利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍,结合三角函数

的周期性正确写出角的范围.3-1已知角α的始边与x轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,角α的终边

上的一点P到原点的距离为

,若α=

,则点P的坐标为

()A.(1,

)

B.(

,1)C.(

,

)

D.(1,1)答案

D设点P的坐标为(x,y),则由三角函数的定义得

即

D3-2已知角α的终边上一点P(-

,m)(m≠0),且sinα=

,求cosα,t