高考数学一轮复习：充分条件与必要条件、全称量词和存在量词

充分条件与必要条件、全称量词和存在量词高考数学一轮复习1.充分条件与必要条件2.全称命题和特称命题教材研读考点一充分条件、必要条件的判断考点二充分条件、必要条件的探求及应用考点三全称命题与特称命题考点突破1.充分条件与必要条件(1)若p⇒q,则p是q的①

充分

条件,q是p的②

必要

条件.(2)若p⇒q,且q⇒/p,则p是q的③

充分不必要条件

.(3)若p⇒/q,且q⇒p,则p是q的④

必要不充分条件

.(4)若p⇔q,则p与q互为⑤

充要条件

.教材研读(5)若p⇒/q,且q⇒/p,则p是q的⑥

既不充分也不必要条件

.▶提醒不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为

真命题时,才有“p⇒q”.2.全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词(2)全称命题和特称命题知识拓展充分、必要条件与集合的关系1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.

(√)(2)q不是p的必要条件时,“p⇒/q”成立.

(√)(3)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.

(✕)(4)“∃x0∈M,p(x0)”与“∀x∈M,¬p(x)”的真假性相反.

(√)

答案(1)√(2)√(3)✕(4)√2.设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q的

(C)A.充分必要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件答案

C令A={x|x<3},B={x|-1<x<3}.∵B⫋A,∴p是q的必要不充分条

件.故选C.

3.命题“∃x0∈R,

-x0-1>0”的否定是

(A)A.∀x∈R,x2-x-1≤0

B.∀x∈R,x2-x-1>0C.∃x0∈R,

-x0-1≤0

D.∃x0∈R,

-x0-1≥0答案

A依题意得,命题“∃x0∈R,

-x0-1>0”的否定是“∀x∈R,x2-x-1≤0”,选A.

4.(教材习题改编)命题p:x2=3x+4,命题q:x=

,则p是q的

条件.答案必要不充分解析当x2=3x+4时,x=-1或4,当x=-1时,x=

不成立,即p⇒/q.当x=

时,x≥0,3x+4≥0,则x2=3x+4,即q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.5.命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是

.答案存在两个全等三角形的面积不相等6.若“∀x∈

,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为

.答案1解析∵0≤x≤

,∴0≤tanx≤1,∵“∀x∈

,tanx≤m”是真命题,∴m≥1,∴实数m的最小值为1.典例1(1)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是

“a,b,c,d成等比数列”的

(B)A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件充分条件、必要条件的判断考点突破

(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,则“sinA>

sinB”是“tanA>tanB”的

(

C

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案(1)B(2)C解析(1)本题主要考查充分条件与必要条件,等比数列的性质.由a,b,c,d成等比数列,可得ad=bc,即必要性成立;当a=1,b=-2,c=-4,d=8时,ad=bc,但a,b,c,d不成等比数列,即充分性不成立,

故选B.(2)因为△ABC是锐角三角形,所以sinA>sinB⇔

>A>B>0⇔tanA>tanB,所以“sinA>sinB”是“tanA>tanB”的充要条件,故选C.方法技巧判断充要条件的常用方法(1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.(2)利用集合间的包含关系判断:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的

必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.易错警示判断充要条件需注意以下三点(1)要分清条件与结论分别是什么;(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断;(3)直接判断比较困难时,可举出反例说明.1-1

已知p:-1<x<2,q:log2x<1,则p是q成立的

(B)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

B由log2x<1,解得0<x<2,所以-1<x<2是log2x<1的必要不充分条

件,故选B.

1-2设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的

(D)A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

D

a>b不能推出a2>b2,例如a=-1,b=-2;a2>b2也不能推出a>b,例如a

=-2,b=1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.

1-3

设x∈R,则“

<

”是“x3<1”的

(A)A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

A本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.由

<

得-

<x-

<

,解得0<x<1.由x3<1得x<1.当0<x<1时能得到x<1一定成立;当x<1时,0<x<1不一定成

立.所以“

<

”是“x3<1”的充分而不必要条件.典例2(1)不等式x2-x+m>0在R上恒定成

立”的一个必要不充分条件是

(C)A.m>

B.0<m<1C.m>0

D.m>1充分条件、必要条件的探求及应用(2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若“x∈P”是

“x∈S”的必要条件,则m的取值范围是

.

答案(1)C(2)[0,3]解析(1)若不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则Δ=(-1)2-4m<0,解得m>

,因此当不等式x2-x+m>0在R上恒定成立时,必有m>0,但当m>0时,不一定推

出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m>0.(2)由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,∴P={x|-2≤x≤10},由“x∈P”是“x∈S”的必要条件,知S⊆P.则

∴0≤m≤3.∴当0≤m≤3时,“x∈P”是“x∈S”的必要条件.◆探究(变问法)若本例(2)条件不变,问是否存在实数m,使“x∈P”是

“x∈S”的充要条件?并说明理由.解析不存在.理由如下:若“x∈P”是“x∈S”的充要条件,则P=S,∴

方程组无解,∴不存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件.方法技巧根据充要条件求解参数范围的方法解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件化为集合之间

的关系,然后根据集合之间的关系列关于参数的不等式(组)求解.易错警示求解参数的取值范围时,一定要注意对区间端点值的处理,尤其是利用

两个集合之间的包含关系求解参数的取值范围时,不等式中的等号能否

取得决定着端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.2-1使“a>0,b>0”成立的一个必要不充分条件是

(A)A.a+b>0

B.a-b>0C.ab>1

D.

>1答案

A由a>0,b>0⇒a+b>0,反之不成立,而由a>0,b>0不能推出a-b>0,

ab>1,

>1,故选A.

2-2若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,则a的最小值为

.答案3解析由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集,即a≥3,故a的最小值为3.典例3(1)命题“∀x>0,

>0”的否定是(B)A.∃x0<0,

≤0

B.∃x0>0,0≤x0≤1C.∀x>0,

≤0

D.∀x<0,0≤x≤1命题方向一含有一个量词的命题的否定全称命题与特称命题

(2)命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定形式是

(D)A.∀x∈R,1<f(x)≤2B.∃x0∈R,1<f(x0)≤2C.∃x0∈R,f(x0)≤1或f(x0)>2D.∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>2

答案(1)B(2)D解析(1)∵

>0,∴x<0或x>1,∴

>0的否定是0≤x≤1,∴命题“∀x>0,

>0”的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”,故选B.(2)特称命题的否定是全称命题,则原命题的否定形式为“∀x∈R,f(x)

≤1或f(x)>2”.命题方向二全称命题、特称命题的真假判断典例4(1)下列命题中的假命题是

(B)A.∃x0∈R,log2x0=0

B.∀x∈R,x2>0C.∃x0∈R,cosx0=1

D.∀x∈R,2x>0(2)下列命题中的假命题是

(B)A.∀x∈R,ex>0

B.∀x∈N,x2>0C.∃x0∈R,lnx0<1

D.∃x0∈N*,sin

x0=1

答案(1)B(2)B解析(1)对于A,令x=1,成立;对于B,x=0时,不成立;对于C,令x=0,成立;对

于D,根据指数函数的性质,成立.故选B.(2)对于B,当x=0时,x2=0,因此B中的命题是假命题.命题方向三根据命题的真假求参数典例5已知命题“∃x0∈R,2

+(a-1)x0+

≤0”是假命题,则实数a的取值范围是

(B)A.(-∞,-1)

B.(-1,3)C.(-3,+∞)

D.(-3,1)答案

B原命的否定为∀x∈R,2x2+(a-1)x+

>0,由题意知,其为真命题,即Δ=(a-1)2-4×2×

<0,则-2<a-1<2,即-1<a<3.

方法技巧1.对全称命题与特称命题进行否定的方法(1)改变量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义

加上量词,再对量词进行改变.(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.2.全称命题与特称命题的真假判断的方法(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验

证p(x)成立;要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,

使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一

个x=x0,使p(x0)成立即可,否则,这一特称命题就是假命题.▶提醒因为命题p与¬p的真假性相反.因此无论是全称命题,还是特称

命题,当其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.3-1已知命题p:∃x0∈R,log2(

+1)≤0,则

(B)A.p是假命题;¬p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0