高考数学一轮复习：变化率与导数、导数的计算

变化率与导数、导数的计算高考数学一轮复习1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率2.函数y=f(x)在x=x0处的导数3.函数f(x)的导函数教材研读4.基本初等函数的导数公式5.导数的运算法则考点一导数的计算考点二导数的几何意义考点突破教材研读1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为①

,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为②

.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

=

为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'

,即f'(x0)=

=

.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f‘(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点③(x0,f(x0))

处的④

切线的斜率

.相应地,切线方程为⑤

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)

.▶提醒

(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为k=f'(x0)的切线,是唯一的一条切线.(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P,点P可以是切点,也可

以不是切点,而且这样的直线可能有多条.(3)函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和倾斜

角,这三者是可以相互转化的.3.函数f(x)的导函数称函数f'(x)=

为f(x)的导函数,导函数有时也记作y'.4.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=C(C为常数)f'(x)=⑥

0

f(x)=xα(α∈N*)f'(x)=⑦

αxα-1

f(x)=sinxf'(x)=⑧

cosx

f(x)=cosxf'(x)=⑨

-sinx

f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=⑩

axlna

f(x)=exf'(x)=

ex

f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=lnxf'(x)=

5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]‘=

f'x)±g'(x)

;(2)[f(x)·g(x)]'=

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

;(3)

'=

(g(x)≠0).知识拓展1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是

周期函数.2.[af(x)+bg(x)]'=af'(x)+bg'(x).3.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映

了变化方向,其大小|f'(x)|反映了变化快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同.

(✕)(2)f'(x0)是导函数f'(x)在x=x0处的函数值.

(√)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.

(√)(4)因为(lnx)'=

,所以

'=lnx.

(✕)答案(1)✕(2)√(3)√(4)✕

2.下列求导运算正确的是

()A.

'=1+

B.(log2x)'=

C.(3x)'=3xlog3eD.(x2cosx)'=-2sinx答案

B

'=x'+

'=1-

;(3x)'=3xln3;(x2cosx)'=(x2)'cosx+x2(cosx)'=2xcosx-x2sinx.故选B.B3.有一机器人的运动方程为s(t)=t2+

(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为

()A.

B.

C.

D.

答案

D由题意知,机器人的速度方程为v(t)=s'(t)=2t-

,故当t=2时,机器人的瞬时速度为v(2)=2×2-

=

.D4.函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可

能是

()

D

答案

D由y=f'(x)的图象知y=f'(x)在(0,+∞)上单调递减,所以函数y

=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故排除A、C.又由图象知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,所以y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的

切线的斜率相同,故排除B.5.若f(x)=x·ex,则f'(1)=

.答案2e解析∵f'(x)=ex+xex,∴f'(1)=2e.6.曲线y=1-

在点(-1,-1)处的切线方程为

.答案2x-y+1=0解析∵y'=

,∴y'|x=-1=2.故所求切线方程为2x-y+1=0.导数的计算考点突破典例1求下列函数的导数.(1)y=x2sinx;(2)y=lnx+

;(3)y=xsin

cos

.解析(1)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.(2)y'=

'=(lnx)'+

'=

-

.(3)∵y=xsin

cos

=

xsin(4x+π)=-

xsin4x,∴y'=-

sin4x-

x·4cos4x=-

sin4x-2xcos4x.方法技巧1.求导数的总原则:先化简函数的解析式,再求导.2.具体方法:(1)遇到连乘的形式,先展开化为多项式形式,再求导;(2)遇到根式形式,

先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂的分式,先将分式化简,再求导;

(4)遇到三角函数形式,先利用三角恒等变换对函数变形,再求导;(5)遇到

复合函数,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元.▶提醒

对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似f(x)=f'(x0)g(x)+(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f'(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f'(x),令x=x0,即可得到f'(x0)的值,进而得到函数解析式,求得所求导数值.1-1

f(x)=x(2018+lnx),若f'(x0)=2019,则x0等于

()A.e2

B.1

C.ln2

D.e答案

B

f'(x)=2018+lnx+x·

=2019+lnx,故由f'(x0)=2019,得2019+lnx0=2019,则lnx0=0,解得x0=1.B1-2若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)=

.答案-2解析

f'(x)=4ax3+2bx,∴f'(x)为奇函数,又f'(1)=2,∴f'(-1)=-2.1-3已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+lnx,则f'(1)=

.答案-1解析∵f(x)=2xf'(1)+lnx,∴f'(x)=2f'(1)+

,∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.

导数的几何意义命题方向一求切线方程典例2(1)(2018课标全国Ⅰ,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇

函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为

(

)A.y=-2x

B.y=-x

C.y=2x

D.y=x(2)已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l

的方程为

.D答案(1)D(2)x-y-1=0解析(1)本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义.∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,∴a-1=0,得a=1,∴f(x)=x3+x,∴f'(x)=3x2+1,∴f'(0)=1,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方

程为y=x,故选D.(2)因为点(0,-1)不在曲线f(x)=xlnx上,所以设切点坐标为(x0,y0).又因为f'(x)=1+lnx,所以

解得

所以切点坐标为(1,0),所以f'(1)=1+ln1=1.所以直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.命题方向二求切点坐标典例3

设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=

(x>0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为

.答案(1,1)解析∵函数y=ex的导函数为y'=ex,∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=

的导函数为y'=-

,∴曲线y=

(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-

.易知k1k2=-1,即1·

=-1,解得

=1,又x0>0,∴x0=1.又∵点P在曲线y=

(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).命题方向三求参数的值典例4

已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于

点A(1,3),则b的值为

(

)A.3B.-3C.5D.-5答案

A解析由题意知,3=k+1,∴k=2,又(x3+ax+b)'|x=1=(3x2+a)|x=1=3+a,∴3+a=2,

∴a=-1,∴3=1-1+b,即b=3.A命题方向四两曲线的公切线典例5已知曲线f(x)=x3+ax+

在x=0处的切线与曲线g(x)=-lnx相切,求a的值.解析由f(x)=x3+ax+

得,f(0)=

,f'(x)=3x2+a,则f'(0)=a,∴曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-

=ax.设直线y-

=ax与曲线g(x)=-lnx相切于点(x0,-lnx0),又g'(x)=-

,∴将②代入①得lnx0=

,∴x0=

,∴a=-

=-

.命题方向五导数与函数的图象典例6(1)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是

()

B(2)已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,

令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=

.答案(1)B(2)0解析(1)由y=f'(x)的图象是先上升后下降可知,函数y=f(x)图象的切线

的斜率先增大后减小,故选B.(2)由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-

,∴f'(3)=-

.∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),∴g'(3)=f(3)+3f'(3),又由题图可知f(3)=1,∴g'(3)=1+3×

=0.规律总结导数的几何意义的应用及求解思路(1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,

曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);求过某点的

切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.(2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让

导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析

式求出切点的纵坐标.(3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切

线斜率的方程.(4)函数图象在某一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点

处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降得快慢.(5)求两条曲线的公切线的方法:①利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求