高中数学学案2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 用空间向量研究距离、夹角问题

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

【学习目标】

课程标准学科素养

1.理解线线、线面、面面夹角的概念.（难点）1、直观想象

2.会用向量法求线线、线面、面面夹角.（重点）

乙9、物女乂学子;云心笛昇

3.理解点到平面、线面、面面距离的概念.（难点）

4.会用向量法求点面、线面、面面距离.（重点）3、空间想象

【自主学习】

1.空间距离的求法

（1）点"到面的距离d=|两|cos6（如图）就是斜线段腑在法向

量3方向上的正投影.

由小而7=131.I丽71.cos。=|疝/

得距离公式：d

\n\

（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；

（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量3和连接两异面直线上两点的向量加，

再代上面距离公式.

2.空间三种角的向量求法

空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们

的取值范围可以用向量法进行求解.

角的分类向量求法范围

设两异面直线所成的角为它们的方向向量分

异面直线所13f

成的角别为a,b,则cosS-cos〈a,b）—

设直线，与平面。所成的角为夕，/的方向向量为

直线与平面a,平面a的法向量为n,则sin0=cos{a,ri）JI

o,—

所成的角a,n\

\a\\n\

设二面角a—£为。，平面a,£的法向量分

二面角[0,n]

别为〃1，z?2,则COS0—COS<Z71，Z2)—IIII

21A11Z?21

1

【小试牛刀】

1.判断正错.

（1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.（）

（2）直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.（）

（3）二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.（）

（4）若二面角两个面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°.（）

2.已知4（3,2,1）、BC,0,4）,则线段48的中点坐标和长度分别是,.

【经典例题】

题型一利用空间向量求距离

例1（线面距离）设/（2,3,1）,B（4,1,2）,C（6,3,7）,。（一5,—4,8）,求〃到平面4比1

的距离.

［跟踪训练］1如图，在长方体力夕切一中，/氏44=1,4左2,点£在棱上移动.当

£为4?的中点时，求点£到面力切的距离；

例2（线线距离）如图，已知四边形ABCD、仍飒和3F都是边长为

的正方形，点A。分别是硕和的中点

求：（1）夕点到平面夕历的距离；

（2）异面直线9与刀0的距离

［跟踪训练］2（面面距离）已知正方体ABCD—ABCD的棱长为1,求

平面ABK与平面ACD间的距离.

2

题型二利用空间向量求夹角

例3（线线角）如图所示，在正方体465—44G〃中，已知〃，"分别

是物和的中点，则与aV所成角的余弦值为（）

如J30J30逗

10153015

［跟踪训练］3如图，在长方体/四一464〃中，AD=AAX=1,AB=2,点£是棱丝上的动点.若

异面直线与星所成角为60°,试确定此时动点£的位置.

例4（线面角）已知正三棱柱力的底面边长为a,侧棱长为噌a,〃为4a的中点，求

况;与平面力他所成角的正弦值.

［跟踪训练］4如图所示，在直四棱柱ABCD—ABCM中,AD//BC,/BADSAB=木,

BC=1,AD=AAi=3.

（1）证明：AC工BQ

⑵求直线4G与平面ACR所成角的正弦值.

3

例5（面面角）如图所示，在几何体S—465中，平面S7,6（人平面5ZN,AD=DC=2,

BC=3又SD=2,NSDC=120°,求平面玄〃与平面弘6所成的锐二面角

的余弦值.

[跟踪训练]5如图所示，正三棱柱2比一44c的所有棱长都为2,D

为CG的中点，求二面角14"的余弦值.

【当堂达标】

1.已知向量血〃分别是直线/的方向向量和平面。的法向量，若cos〈血ri）=一；,贝I]]

与a所成的角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

JI.

2.已知二面角a—/一£的两个半平面。与£的法向量分别为a,b,若〈a,b>=—,则二

o

4

面角a—/—£的大小为()

几2nJI、JI

c.f•或不-以至或勺

oo

3.正方体/%9—48K〃中，能与平面力内所成角的余弦值为()

A也R更2亚

c.33口r，3U・3

4.已知两平面的法向量分别为7=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为

()

A.45°B.135°

C.45°或135°D.90°

5.在长方体相5一48K〃中，已知%=〃C=4,如尸3,则异面直线48与所成角的余弦

值为.

6.如图，三棱柱中，已知ABCD是边长为1的正方形，四边形4rB方是矩形，

平面AA'3'B±平面ABCD。

'Z

(I)若A4'=l,求直线AB到面D4'C的距离.

(II)试问：当A4,的长度为多少时，二面角/LAX_Q

O—AC—A的大小为60。？J-二

5

【参考答案】

【小试牛刀】

1.XXXV

2.(2,1,9),d卡而

2

【经典例题】

例1解：9：A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),〃(-5,-4,8),

AAD=(-7,-7,7);

设平面力8C的法向量为二(x,y,z),则为•而二0,n•AC=0,

f3

r(%,y,z)•(2,-2,1)=0r2%-2y+2=0%=--z,

.・.<即<=><2

(x,y,z)•(4,0,6)=0,4x+6z=0—

\y—~z.

令交一2,贝ij为二(3,2,-2).由点到平面的距离公式：

|AD-H||3X(-7)+2X(-7)-2X7|4949后

d-=.-______---------------=/=--------.

'I«I^+22+(-2)2V1717

点D到平面ABC的距离为竺晅.

17

［跟踪训练］1解：以〃为坐标原点，直线加，用功分别为x,、z轴，建立空间直角坐标系,

设力£=y,则4(1,0,1),〃(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0)C(0,2,0)

因为£为4?的中点，则£(1,1,0),

从而率=(1,1-1),AC=(-1,2,0)，ADt=(-1,0,1)，

设平面N3的法向量为五则［不与y轴垂直,可设

1(。,Lc),则2£=°，

n•AD1=0,

也即尸+2=°,得(。=2,从而7=(2,1,2),

-〃+c=0［〃=c

，点£到平面/〃。的距离：

,\l\E-n\2+1-21

n==---------=—.

\n\33

例2解：建立空间直角坐标系，则。(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、0(0,a,0)、

〃(0,0,a)、E(a,0,a)、F(0,a,a),则由中点坐标公式得尸(里,0,巴)、Q,-,0)

2222

(1)设为=(x,y,/)是平面药方的法向量，即为，平面同况：.n±EF,n±BE.

…―-―-、［-ax+ay=0

又EF=(—a,a,0),EB-(0,a,—a),即有《=>%=y=z,

ay-az=0

6

取x=l,则为=(1,1,1).•••PE=(-,0,-).设所求距离为d,则d=El=

a.

22\n\

(2)设沅=(苞，y1,1)是两异面直线的公垂线的方向向量，

aa

1

贝I」由两二(一巴_，0,1_),FQ=(q_,一巴_,一己)，得、]22——.ZAi_—_—V._-i1,

而而=(0,a,0)所求距离加=四"I=[a.

\m\3

［跟踪训练］2解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(l,l,0),C(0,1,0),

D(0,0,0),D(l,0,1),Bi(1,1,1),D(O,1,1),Di(0,0,1).

设平面ACD的一个法向量为

n=(x,y,l),则｛___.

〃DC]=0

J(x,y,1),(1,0,1)=0Px+l=OJx=-1,

,1(x,y,1)•(0,1,1)=0=[y+l=0=[y=-1.

故n=(—1,—1,1),所以平面ABC与平面ACD间

的距离为d=i」(u°，o).匕出7.

In|J(-l)2+(-1)2+123

例3A解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,则

5(2,2,2),"(1,1,0),〃(0,0,2),Ml,0,0),-1,-2),仄N

_______-1+4^30

=(1,0,-2),/.cos(百M,前)

―、l+l+4X、l+4-101

［跟踪训练］3解以为所在直线为x轴，以〃C所在直线为y轴，以

期所在直线为2轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

设EQ,t,0)(0WtW2),则4(1,0,0),。(0,0,0),〃(0,0,1),。(0,2,0),

放=(1,0,-1),宓=(1,t-2,0),

根据数量积的定义及已知得：1+0X(t-2)+0=^2X^l+t-22-cos60°,

所以2=1,所以点£的位置是四的中点.

例4解建立如图所示的空间直角坐标系，则力(0,0,0),欣0,y［2a),

G(~pa(pa),B(0,a,0),故花=(一?a,y［2a),

7

~AM=(0,I，y/2a),葩=(一乎a,

元,n=0,

设平面AMQ的法向量为n=(x,y,z).贝广—

~AM*n=0,

、叵

令y=2,则z=一半，^=0..,.n=(0,2

「—/a,f、bCi,n—a—aZA/b

又BC、=l一七~a,yJ2a),cos(BQ,n)=--------=--------.

22年㈤maX飞§

设/与平面力制所成的角为夕，则sinJ=|cos〈反:，玲1=半.

［跟踪训练］4⑴证明以力为原点，以前，AD,筋曲方向分别为x轴、y轴、z轴的正方

向建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),。(十，1,0),民他,0,3)"(0,3,0),C(小，1,3),〃(0,3,3).

易知衣=(嫡，1,0),协=(一十，3,-3),

...衣•幻=0,:.ACL&D.

⑵解设平面ACDi的法向量为m=(x,y,z),

-l—m,AC=0,h/§x+y=0

AC=(J3,1,0),4〃=(0,3,3),贝时即彳丫

K•诿=0,M+3Z=0,

令x=l,贝！!尸一小，z=小,

平面/勿的一个法向量为R=(l,—木,木).

设直线£解与平面力内所成的角为e,：就;=(0,1,0),...sin

I丽I㈤7

•••直线8K与平面所成角的正弦值为率.

例5解如图，过点。作火的垂线交SC于反以。为原点，以DC,DE,

力所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

8

\'ZSDC=12Q°,：.ZSDE=3Q°,又勿=2,.,.点S到y轴的距离为1,到x轴的距离为十，

则有。(0,0,0),5(-1,小，0),4(0,0,2),<7(2,0,0),5(2,0,1),设平面必。的法向量为R

=(x,y,z),

'：AD=(0,0,-2),左=(-1,y[3,—2),

—2z=0,

•••,r-取十=斓，得平面必。的一个法向量为0=(#,1,0).

、-JT+A/3y—2z=0,

又恭=（2,0,-1）,设平面分6的法向量为A=（a,b,c）,

n•恭=0,2a~c=0,

则,即.r令a=木,贝UA=(/,5,2^/3),

n・AS=Q,、一a+yj3b—2c=0,

m•n______8_____

cos〈必,n)

\m\\n\2^/10X25

故平面必。与平面分8所成的锐二面角的余弦值是理.

［跟踪训练］5解如图所示，取比1中点。，连接4。因为是正三角形，所以力。，8。,

因为在正三棱柱力为4/心中，平面力比」平面久?。劣，所以力平面

不

取8K中点为。，以。为原点，0B,而,泊为X,乃Z轴的正方向建立空间直角坐标系，则

6（1,0,0）,〃（一1,1,0）,4（0,2,十）,4（0,0,十），旦（1,2,0）.

设平面儿仞的法向量为A=（X,为Z）,功=（—1,1,一事）,M=（0,2,0）.

,,n•通=0,7=0,

因为n±AA1,得<所以

n・荔=0,x=-y13z.

令z=l,得n=（一木,0,1）为平面44〃的一个法向量.

又因为葩=（1,2,―木）,砺=（—2,1,0）,荫=（—1,2,小）,所以油•砺=—2+2+0=0,

慈•夙i=—1+4—3=0,所以次，诙，ABrlBAr,即力3,劭，AB.VBA,,

又BDCBA\=B,BDCL平面A.BD,BAc平面A.BD,所以45，平面A.BD,

9

n•AB_一—

所以乃是平面4初的一个法向量，所以cos〈，葩〉X

~\n\2-2^24

又因为二面角力一为锐角，所以二面角A—4。一6的余弦值为乂金

【当堂达标】

1.A解析设/与。所成的角为。且夕©[0,90°],则sinS—\cos(m,ri)\=1.夕=

30°.

2.C解析由于二面角的范围是[0,n],而二面角的两个半平面a与£的法向量都有两个

兀2Ji

方向，因此二面角a—/—£的大小为不或不一，故选C.