高中数学【数列求和及综合应用】练习

高中数学【数列求和及综合应用】专题练习

真题感悟

1.数列｛而｝是递增的整数数列，且0+02+03+…+。”=100,则〃的最大

值为（）

A.9B.10

C.llD.12

答案C

解析要想〃最大，前面的项应该越小越好，3,4,5,6,7,8,9,10,11,

12,13,14这12项的和为102,超过了100,故〃的最大值为11.如3,4,5,

6,7,8,9,10,11,12,25.故选C.

2.已知数列｛m｝满足a1=1,…同心*）,记数列■〃｝的前“项和为s,

则()

3

A，2<5IOO<3B.3<5IOO<4

99

--

22

:)A0<

答案

解析因为m=1,Cln+\—,所以。“>0,。2=2,

1

所以510()>。1+〃2=7.又-

2Cln•1

两边同时开方可得**+*则当心2时，击

所以

由累加法可得J—<—=+,=1+3,

\]an+i7alz2

所以/忘1+气所以诉》言p

所以Cln+\—

MW，由累乘法可得当心2时，a“=(wnn—1n—2

〃+2n+1

所以

(〃+2)(〃+1)〃+171+2Sioo<l+

=1+60土)<1+2=3,故选A.

6l3-4+4-5HHTOT-H)2

3.(多选)设正整数〃=oo・2°+ai・2H----卜〃1・2&1+ak-2k,其中。6｛0,1｝(/=0,

1,2,3,…，Z),记以〃)=々)+。1+・・・+或，贝ij()

A,co(2n)=co(n)B0(2〃+3)=①(〃)+1

C&(8〃+5)=①(4〃+3)D&(2"-1)=〃

答案ACD

解对于A选项，G(〃)=ao+ai+…+以，2〃=O・2°+ao"+ai・22+…+以_].2"+

。上2"一I所以口(2〃)=0+〃0+。1+~+以=g(〃)，A选项正确；

对于B选项，取丁=2,则2〃+3=7=1・2°+1・2叶1・22,A(y(7)=3,而2=0・2°

+1.21,则①(2)=1,即①⑺WG(2)+1,B选项错误；

对于C选项，8n+5=«o-23+^p24+-+rf+3+5=b2°+O-2,+l-22+^23+

6ZI-24++以・2%13,所以以8〃+5)=2+。()+。1+…+以，4H+3=ao-22,+ai-23

TFa^2^+2+3=l-20+l-21+ao-22+ai-23+***+a^2^+2,所以eo(4〃+3)=2+ao

+。1+…+以,因此①(8〃+5)=①(4〃+3),C选项正确；

对于D选项，2〃­1=20+21+…+2〃一1故①(2〃-1)=小D选项正确.故选ACD.

4设团“｝是首项为1的等比数列,数列｛瓦｝满足如=等.已知ai,3a2,9a3成等差

数列.

(1)求｛%｝和｛瓦｝的通项公式;

(2)记S,和T”分别为｛m｝和｛儿｝的前n项和.证明：T,磊.

⑴解设｛如｝的公比为G则a〃=q〃r.

因为0,3.2,9〃3成等差数列，

所以l+9q2=2X3q,解得q=§,

士a!_,_n_

nxCln_yi~\>Dn一yr

123n小

(2)证明^=3+32+33H------①

J1,2,3,।〃一11n

$十三十十…十3〃十3〃+］，②

①一②得，=g+*+*-l------!■《;一#",

3

-2〃+3

4

4X3"

\32〃+3

则2-21小于故T,我.

考点整合

5i(〃=1),

1.⑴数列通项z与前〃项和S”的关系，“〃=。。/

,OH-dn-l(〃与2).

(2)应用a”与S“的关系式犬a”，S“)=0时，应特别注意n=\时的情况，防止产生

错误.

2.数列求和

⑴分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适

当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.

(2)错位相减法：主要用于求数列｛&”％｝的前〃项和，其中｛z｝,｛儿｝分别是等差

数列和等比数列.

(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加

抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如［［片］(其中仅〃｝是各项均不为

UnCln^\］

零的等差数列，C为常数)的数列.

温馨提醒裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.

3.数列与函数、不等式的交汇

数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通

常利用点在曲线上给出S”的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决

这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列

与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.

热点聚焦分类突破研热点析考向

...............................................................................….................................................T

热点一数列求和

考向1分组转化法求和

【例1】已知在等比数列｛小｝中，0=2,且内，磁，。3—2成等差数列.

(1)求数列｛。"｝的通项公式；

(2)若数列｛d｝满足为=*+21og2a"-1,求数列｛仇｝的前〃项和Sn.

解(1)设等比数列｛m｝的公比为“，

由ai,ai,43—2成等差数列，得2a2=ai+。3—2,

则4g=2+2/一2,解得q=2(q=。舍去).

则知=。q"一|=2",〃GN*.

(2)%=\"+2k)g2aL1=^+21og22n—1=^+2n~1,

则数列｛儿｝的前〃项和

S"=(g+(+…+/)+(1+3+…+2〃-1)

2l2")]i

=----j—+(1+2〃-1)=1一5+/.

1-2

探究提高1.分组转化求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，

从而求得原数列的和.注意在含有字母的数列中对字母的讨论.

2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组.(2)若数列｛c”｝的通项公式为c”

an,〃为奇数，

=\,二乩且数列｛0〃｝，｛儿｝可分别求和，则采用分组求数列(0,｝的前〃

bn,〃为偶数，

项和.(3)若数列的通项式中有(一1)"等特征，根据正号、负号分组求和.

考向2裂项相消法求和

【例2】数列｛z｝的前〃项和为S,且S=—y—,等比数列｛仇｝满足左=。2,

Z?3=々6.

⑴求数列｛〃〃｝与｛瓦｝的通项公式;

⑵若Ca=10g25,求数列［£］的前n项和.

解(1)当〃=1时，ai=Si=3.

当时，Cln~~Sn—S〃一1=〃+2.

又a\适合上式，Aan=n+2.

•.•岳=。2=4,历=。6=8,

设出"｝的公比为4，则4=*=2,

2

/.bn=b2-q『2=4X2"~=2"(nGN*).

(2)Cn=log2bn=n,

_1_=―!-3—-M

anCnn(〃+2)2(〃n+2/

设数列［的前〃项和为Tn,

\UnCnJ

则T”=畀1—｛Kg—(|+…+后一言+小忐］

』十匕『忐

32〃+3

42(〃+1)(〃+2)•

探究提高1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂

开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.

2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒

数第几项.

【训练1】已知各项均为正数的等差数列｛z｝满足出=1,届+1=忌+2伍”“+公）.

⑴求｛跖,｝的通项公式；

⑵记历尸孤+而'求数列｛加｝的前〃项和S”.

解（1）由晶+1=届+2（。篦+1+〃〃）,

得(。〃+1+卜1-an)=2(。〃+1+an).

乂,知Cln+1+W0,

所以。〃+1—Cln=2.

因此数列｛〃〃｝是首项为1,公差为2的等差数列，

所以an=a\+2(n—1)=2〃-1.

⑵由⑴知

b_1________1_______

y[an+「为+1y]2n—1+yj2n+1

_____________孔+1-yj2n-1______________

(y]2n+1+y)2n—1)(42〃+1­.2〃11)

=的2〃+1).

所以Sn=b\+b2-\---Ybn

=3[(小-1)+(小-小)+(5-小)+…+(=2〃+1—y]2n—1)]

考向3错位相减法求和

【例3】已知｛.”｝为等差数列，｛加｝为等比数列，｛即的前〃项和为S”，且0=

力1=1,。2=。3-加,43=S3+历.

(1)求数列｛斯｝,｛瓦｝的通项公式;

⑵设c“=普次,T"为数列｛的｝的前"项和'求数歹”盖汗的前〃项和SJ.

解(1)设等差数列｛雨｝的公差为d,等比数列｛为｝的公比为(

・。1=/71=1,〃2=〃3〃3,a3=S3+62,

l+d=l+2d—丁，①=2,「夕=0，

J—一工2,解得//或，八(舍去)・

｛\+2d=\+q+q1+q,[d=4,1d=0

・・Cln=-4〃3,hn—2"L

(2)•.•｛〃〃｝是等差数列,an+an+2=2an+1.

又由(1)知bn+2=2bn+l,

.Clnbn^X(2〃〃+l-。〃+2)bn+12bn\I。〃+1bn+2bn+1

CnCln+14〃+2Cln-r1。〃+2。?+2Cln+\。〃+2。〃+1

・54〃+5

-2=2/1

则S/=9X(y+13x(，+…+(4九+5)(，,①

；SJ=9X(；)+13X@)+…+(4〃+5)(£|'②

①一②，得

9"'=9'出+4怎)+G)+…+©]―(4〃+5)住)=5X《)+

(4〃+5)a=|+21一(4〃+5)自13

T

(4〃+13)出

•—?一(4〃+13)(；)

探究提高1.一般地，如果数列｛“”｝是等差数列，｛儿｝是等比数列，求数列

｛G•儿｝的前〃项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数

列｛d｝的公比，然后作差求解.

2.在写“S”与"公『的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准

确地写出“S“一qS”的表达式.

【训练2】已知等差数列｛痴｝的前〃项和为S”，且55=学52,。2〃=2④+1,nGN*.

(1)求数列｛幻｝的通项公式；

(2)若仇=2"“+1,令cn=a“bn,求数列｛€•”｝的前〃项和7k

解(1)设等差数列｛m｝的公差为力

*.,S5=^S2,。2"=2<7"+1,〃£N*.

5ai+l(W=1(2ai+d),tzi=1>

解得＜

d=2.

tzi+(2〃—1)d=2ai+2(n—1)d+1.

an—In—1,n£N'.

(2)由⑴及d=2"-i+L得以=(2〃-1)2门+(2〃一1),

012,,-1

.•.LJ=1X2+3X2+5X2+-+(2H-1)-2+[1+3H-----F(2〃一1)],

设M=1+3+54-----卜(2〃-1)=/,

A=1X2°+3X21+5X22H-----^(2〃-1)2门，

则2A=1X2+3X22+5X23H-----卜(2〃-3)・2广1+(2〃-1)-2",

两式相减得

-A=l+2X(2'+22+234-----F2"~')-(2n-l)-2"

2(1—2「|)-

=1+一(2〃-1)-2,,=2,,-(3—2/?)—3.

A=2"(2〃一3)+3.

7；=A+M=2”(2〃-3)+3+/.

热点二出与S”的关系问题

［例4］设数列｛斯｝的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+l成

b］J

立，仇=—1—log2“数列｛加｝的前〃项和为T”,Cn=7V一.

LnLn+\

(1)求数列■"｝的通项公式;

(2)求数列｛c“｝的前n项和An,并求出An的最值.

解(1)因为z=5S"+l,〃6N*,

所以a«+i=55/1+1+1.

两式相减，得a”+i=—/"，

又当〃=1时，ai=5ai+l,知ai=一

所以数列｛&｝是公比、首项均为一(的等比数列.

所以数列｛&｝的通项公式a”=(一.

⑵由⑴知bn=~1Tog21azi1=2〃-1,

数列｛仇｝的前〃项和乙=〃2,

bn+1____2〃+1______]_]

C"TnTn+\/(〃+1)2"2("+1)2，

所以4=(1—&+&T)+…+9-7^77^

(n+1)2・

因此｛4｝是单调递增数列，

13

---

所以当〃=1时，A”有最小值4=144A*没有最大值.

探究提高1.给出S"与的递推关系求常用思路是：一是利用S“一S1=

出(〃22)转化为z的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S”的递推关系，先

求出S与〃之间的关系，再求a),.

2.由S,求小时，一定注意分〃=1和〃22两种情况，最后验证两者是否能合为

一个式子，若不能，则用分段形式来表示.

【训练3】已知正项数列｛斯｝的前〃项和为S”，满足品=S"+Si(〃22),a\=

1.

(1)求数列｛“”｝的通项公式；

(2)设加=(1一Z)2—。(1一小)，若｛瓦｝是递增数列，求实数。的取值范围.

解(D-=S”+SAI522),

6!n-l=Sn-1+Sn-2(H23),

相减可得晶一届-1=小+。"-1,

♦。”>0,小-1>0,••Un—=

当〃=2时，cA=a\+ai+ai,

••cH=2H-U2>且。2>0,••<22=2.

因此刀=2时,如一4"-1=1成立.

...数列｛。,｝是等差数列，首项为1,公差为1.

••<2«=1+〃-1n.

22

(2)Z?n=(l—an)-a(l-4")=(〃-l)+a(n—1),

•••｛九｝是递增数列，

bn+\—bn=n2an—(n-I)2—«(«—1)

=2〃+。一1>0,

BPa~>\—2〃恒成立，'.a>—1,

二实数a的取值范围是(一1,+8).

热点三与数列相关的综合问题

【例5】已知函数/U)=logKX(左为常数，A>0且AW1),且数列伏如)｝是首项为4,

公差为2的等差数列.

(1)求证：数列｛a〃｝是等比数列；

(2)若b”=a”+j(a"),当仁盅时，求数列｛加｝的前〃项和S”的最小值；

(3)若c«=a„lga,„是否存在％e(0,1),使得数列｛c〃｝是递增数列，若存在，试

求实数上的取值范围；若不存在，说明理由.

⑴证明由题意得加“)=4+2(〃-1)=2〃+2,

即log*4"=2〃+2,所以a”=,

因为常数心>0且女工1,所以3为非零常数，

所以数列｛Z｝是以3为首项，d为公比的等比数列.

(2)解由(1)知，知=必"+2,所以当1=，^时,。"=2"+卜

因为大小)=2〃+2,所以儿=*+2〃+2,

=/+3〃+5—^7

因为〃2,所以*=〃2+3〃+:一,是单调递增的,

乙乙

I,1117

所以S〃的最小值为Si=l+3+]—w=N?

(3)解存在.理由如下:

结合(1)知，c〃=a〃lg=(2〃+2>斤"~,lg亿

由｛c〃｝单调递增,BPVnGN*,c〃vc〃+1,

所以(〃+l)lgZ<(〃+2)Flgk对恒成立.

当04<1时，lgA<0,要使〃+1>(〃+2)F对任意的〃©N*恒成立，只需

,(n+\

幺＜----

、〃+2ymin

因为y=1=1—+⑺eN*)单调递增,

所以当〃=1时，噜取得最小值，且［生口=1

〃十21〃十2ymin3

所以,结合Q<k<1,解得0<Z〈坐.

故实数％的取值范围是(o,坐).

探究提高1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：

(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列

最值或不等关系时要特别注意.

(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.

2.本题第⑵问求最值，其实质是利用函数的单调性.第(3)问把｛c.｝的单调性转化

为不等式C"<C”+1恒成立；分离参数，转化为求最值.

9

【训练4】已知数列｛斓的前〃项和为S”。1=一3且4S"+i=3S—9(〃£N*).

(1)求数列｛4,｝的通项公式；

⑵设数歹U｛仇｝满足3仇十(〃一4)斯=0(〃eN*),记｛仇｝的前n项和为7k若TS

对任意〃dN*恒成立，求实数2的取值范围.

解(1)因为4S.+i=3S"-9,

所以当〃22时,4S"=3S-i—9,

两式相减可得4a“+I=3。“，即等i=*

当〃=1时，4s2=4(—\+磁)=一1一9,

解得。2=一磊所以Ml

所以数列｛&”｝是首项为/9公比为飘3等比数列，

913个1

所以z=一4〃・

(2)因为3d十(〃-4)%=0,

所以包=（〃一4）0.

所以〃=—3X（—2义。-1义传）+0X。+…+（〃-4）用，①

所以1北=-3x（,1—2义修）—IX。+0X用H---F（〃-5）•修）+（〃-4>

9

+.-+

①一②得IT〃=—3X(+C)+隹)+•-7^--4

72

所以〃=—4〃0.

因为对任意〃eN*恒成立，

所以-4/rg）W2（〃-4）］1）恒成立，

即一3〃WA（〃一4）恒成立.

一3〃12

当〃<4时，尽力一3-三，此时Z1；

当〃=4时，一12W0恒成立;

—3鹿12

当〃>4时,》口=一3一口,止匕时会—3.

所以一3W/IW1,即实数2的取值范围为［-3,1］.

专题训练对接高考求落实迎高考

巩固提升

一、选择题

2

1.在数列｛a”｝中,已知an=n+2n,〃6N*,则%<欧”是“｛z｝是单调递增数

列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若在数列｛“”｝中，已知。产层+胧，〃SN*,ai<a2,则1+%<4+22,解得

2>—3.

2

若数列｛扇｝是单调递增数列，则对任意的〃eN*都满足tzn+1—=(»+1)+2(n+

1)一“2—2〃=2〃+1+2>0,

•'.2>—1~2n,即％>(—1—2〃)max=-3,

因此，％1<02”是“｛坳｝是单调递增数列”的充要条件.

2.数列｛<?"｝满足2斯+1=。1+。计2,且04,04040是函数於)=，-8x+3的两个零

点，则42022的值为()

A.4B.-4

C.4040D.-4040

答案A

解析因为。4,04040是函数凡^)=/—8x+3的两个零点，即。4,44040是方程

—8x+3=0的两个根，所以。4+。4040=8.

又2m+1=""+”"+2,所以数列｛Z｝是等差数列，

所以《4+。4040=2。2022=8,所以“2022=4.

3.在等差数列他”｝中，。3+。5=季+7,00=19,则数列｛斯cosmr｝(〃WN*)的前2

022项的和为()

A.lOilB.1010

C.2022D.2020

答案C

解析由题意得。3+。5=244=。4+7,解得04=7,

则的=〃4—3d=7-3X2—1,所以及一1,

hn=6Z/zCOS7771,

贝I历+/72=Q1COS冗+。2cos2兀=—。1+。2=2,

/73+Z?4=6?3COS3兀+SCOS4兀=一。3+。4=2,........,

：.数列｛Q〃COS〃兀｝5£N*）的前2022项的和

52022=（历+历）+（历+〃4）+…+（历021+历022）

=2X1011=2022.

fn2,〃为奇数，

4.已知函数火〃）=194./田.且。?=/5）十八〃+1），则。1+。2+曲+…+。8

1-H2,〃为偶数，

等于（）

A.—16B.-8

C.8D.16

答案C

解析当〃为奇数时，〃+1为偶数，

贝I〃“=/—(〃+1)2=—2〃-1,

所以0+43+45+07=—(3+7+11+15)=—36.

当〃为偶数时，〃+1为奇数，

则斯=一/+(〃+1)2=2〃+1,

贝I。2+。4+。6+。8=5+9+13+17=44,

所以GI+Z+GH-----k〃8=-36+44=8.

5.已知等差数列｛小｝的前〃项和为S,公差dWO,且号W1.记6=82,b〃+i=S2"

2—S2",〃GN*,下列等式不可能成立的是()

A.2〃4=a2+a6B.2b4=bz+bs

C,cA~~Cl2Cl^D.质=/?288

答案D

解析由题意，知。1=S2=41+。2,bn^\=Sln+2—Sln^

可得bn=S2LS2n-2=+。2〃-1(〃>1,〃£N").

由｛〃〃｝为等差数列，知｛为｝为等差数列.

由等差数列的性质，显然A,B成立；

选项C中，ai=a\+J,O4=ai+3d,Q8=〃i+7d.

若曷=。2。8,则(m+3力2=3]+①(a]+7①，

化简得。落=岸，

又由d#0,可得m=d,符合号Wl,C成立；

若bi=b2b8,则(2ai+13602=(2ai+560(2ai+29tZ).

则2s=3d,.•.号=,与条件号W1矛盾，D不可能成立.

6.(多选)如图，已知四边形ABCD中，A(〃GN*)为边上的一列点，连接AF”

交8。于G”，点G"(〃eN*)满足箭"+2(1+④)麻=4"+i,，其中数列｛小｝是首

项为1的正项数列，S”是数列｛&”｝的前〃项和，则下列结论正确的是()

A.«3=13B.数列｛3+z｝是等比数列

C.a〃=4几一3D.S〃=2〃+i—3n

答案AB

解析由题意可知黄=一匚箭〃+2(1+9)_而,因为&R,。三点共线，

Cln+1Cln+1

所以+=19即1+2+2〃〃=。〃+1,即〃〃+1=3+2。〃，a〃+i+3=2(a〃

Cln+1。〃+1

+3),所以数列｛。”+3｝是以©+3=4为首项，2为公比的等比数列，于是为+3

=4X2"」=2"+i,所以引=2"】-3,所以4=24-3=13,所以A,B选项正

确，C选项不正确.又S2=ai+“2=l+5=6,而22+1—3X2=2,所以D选项不正

确,故选AB.

二'填空题

7.数列｛&｝的通项公式为如=/9/一，若该数列的前左项之和等于9,则攵

y]n+yjn+1

答案99

解析5方行=g-5'

故前〃项和S"=(啦—#)+(小—6)+♦♦♦+([〃+1—5)="\/〃+1—1.

令Sk=#Ti—1=9,解得％=99.

8.已知｛a〃｝是公差d不为零的等差数列，公=14,且ai,曲，an成等比数列，设

n+l

bn=(-l)an,数列｛仇｝的前〃项的和为的,则S2021=.

答案3032

解析由于。3,31成等比数列，

/.cA=a\-a\\,即(。5—2d)2=(t/5—4d)-(a5~^6d).

：.141=3"5".

又4W0,05=14,知d=3,

因此小=。5+(〃-5)X3=3〃-1,仇=(一1)#1(3〃-1).

•*.52021=/?1+在+加+…+〃2021=〃1+(/>2+匕3)+(84+b5)+♦♦♦+(匕2020+。2021)

3+3+-----3

=2+1oioba^3032.

9.把数歹I」｛2〃+1｝(〃6N*)中的各项依次按第1个括号一个数，第2个括号两个

数，第3个括号三个数，第4个括号四个数，第5个括号一个数，…，进行排

列，得到如下排列；(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),

(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第100个括号内各数

之和为.

答案1992

解析把每4个括号算作一组，由题意可知每组共有10个数，则第100个括号

为第25组中的最后一个括号，前24组共有240个数，第25组的前3个括号内

共有6个数，所以第100个括号内的数是数列｛2九+1｝的第247,248,249,250

项，则第100个括号内的各数之和为(2X247+1+2X250+1)X2=1992.

三'解答题

10.在①切+I(〃GN*,左为常数)，②m+i=z+d(〃WN*,d为常数)，

③+尸的,8>0,〃SN*,q为常数)这三个条件中任选一个，补充到下面问题

中，若问题中的数列存在，求数歹的前10项和；若问题中的数

CbiCln+\\

列不存在，说明理由.

问题：是否存在数列｛a"｝（〃6N*）,其前n项和为Sn,且ai=1,由=4,

（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.）

3Qi=Si,

解如果选择①*=心2—E+1（〃6N*,左为常数），则｛。

——03—M2,

[1=[T+1,

即1该方程组无解，

—3Z+1—3+2攵-1

、4="TI"f

所以该数列不存在.

如果选择②。〃+1=m+或〃£N*,d为常数），则数列｛如｝为等差数列，

由ai=1,。3=4,口]侍公差d=2=2,

31

所以。"=]〃一].

所以」一+」一+一+」一

Q1Q2C12C13aioaii

2（11,11,.11）

33Q202。300awj

/、（1）

=2f±__LV2I-3-----\=5

—3（aianj~37X11-5—8.

I，乙）

如果选择③。用=眄（夕＞0,"6N",4为常数）,则数列｛斯｝为等比数歹I」,

由。1=1,必=4,可得公比夕=5=2,

所以:=7（n22）,

。他〃+1an-\an4

所以数歹是首项为白，公比为:的等比数列，所以其前10项和为

[ClnCln\\\Z4

11.已知数列｛m｝的前n项和为Sn,且S"=5"2+]〃.

（1）求｛小｝的通项公式；

an,〃为奇数，

（2）设儿=c申圾求数列｛儿｝的前2〃项和乃".

12。”，〃为偶数，

解（1）因为=斗?2+;〃,

所以当"=1时，"1=51=1,

当心2时，a”=S”一肘-i=%+5一百/一1）2+\（〃-1）］="，

又〃=1时符合上式，所以&“=〃.

\n,〃为奇数，

⑵因为仇=忆£/申将所以对任意的ZGN,

12",〃为偶数，

biM—/?2i=(2氏+1)—(2&—1)=2,

贝(j｛历A-i｝是以1为首项，2为公差的等差数列；

力M722^+2

置=可=4,贝弘历攵｝是以4为首项，4为公比的等比数歹I」.

所以乃〃=(81+历+05+~+岳〃_1)+(〃2+加+〃6+3+历”)

=(1+3+54——F2n-l)+(22+24+26H——b22n)

n(1+2n—1)।4(1—4")、4n14

=2+]—4=丁t+亍一?

B能力突破

12.（多选）斐波那契螺旋线也称黄金螺旋线，是根据斐波那契数列画出来的螺旋

曲线.在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长作正方形，然后在剩

下小的矩形里以其宽为边长作正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出

一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”.达•芬奇的

《蒙娜丽莎》（如图），希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段

黄金螺线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为小（〃GN*）,数列｛痴｝满足⑶

=Q2=1,an=an-i+an-2（n3）,再将扇形面积设为瓦（〃£N*）,则（）

A.4s2020-历019)=兀。2018。2021

B.O1+02+03+・・・+。2019=42021-1

C.*++次H-----\-(A020=2a2019672021

D.ai()1902()21-(A020+«2()1802020~(A()19=0

答案ABD

解析由题意可知，氏瀛即4〃〃=兀届，

所以4(历020—历019)=兀(。=20—。之019)

=兀伍2020+。2019)伍2020—”2019)=兀〃2021。2018,故A正确；

因为。?=。〃_1+斯_2(〃23),所以。3=45-。4,1=46—。5,。5=。7-。6,…，42018

=。2()20-。2()19,02()19=42021—42()20,又。4=。3+。2=〃1+。2+。2=3,所以。1+。2

+6+…+。2019=42021—1,故B正确；

已知。1=42=1,。〃=。〃-1+。〃一2(心3),则。〃-1=。〃一。〃-2(九23),两边同乘以Z

-1得(A-\=anan-1-an-2an-1(n3),所以济…+■020=*+(。3。2—。2。1)

+(4403—。3。2)+…+(。2021。2020—。2020Q2()19)=况+Q2()21。2020—1=(1202102()2(),

故C错误；

因为m_1=。〃一。〃-2(〃23),所以4201942021一■02。+〃201842020—019=42019(。2021

一。2019)+fZ2020(fl2018—672020)=6120190202。+。202()(—42()19)=0,故D正确.故选

ABD.

13.已知等差数列｛斯｝与正项等比数列｛儿｝满足0="=3,且上一〃3,20,as+bi

既是等差数列，又是等比数列.

⑴求数列｛。〃｝和｛仇｝的通项公式；

⑵在①，”=」一+(—1)%”，②Cn=aM,③。尸2(处［3)一这三个条件中任选

anOn+lanan+ibn+i

一个，补充在下面问题中，并完成求解.

若,求数列｛以｝的前〃项和S".

(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)

解(1)设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列｛为｝的公比为q