线性代数习题

第一章行列式

A基础题

判断题

10G+411=0；错

1.—=

1

01r,+r21

3^z1131213a\\a\24|3

2.

3。213a223。23二3Cl21。22。23=3x8=24；错

3〃313。323。33。31。32。33

«1|。12+瓦2〃13+如a\\a\2“13如仇3

对

3.^22b?3

a2\+。21。23+”23=。21a22。23人22

32+”3233+”33“32“33

%+砥。。。31。32。33r3i

4

4..“2=44…4"错

2xX12

1X1-1中/与1的系数.

*5.计算:/(x)=

32X1

111X

由题得:/1)=2/+x+4—4—3x?—x+2x~——2x，—x~一3,所以，/与彳4的系数分别为0、2.

二.填空题

(2564、

1002

41x2

(0161)那么矩阵行列式网中的元素》的代数余子式为

1.设

-151

811-X

9

2.写出行列式24中的元素（—X）的代数余子式

3.设

6-584

9752

D=

abc\

-48-8—3

行列式0的代数余子式记为'=123,4）,则4仆+2&2+A,2-3A42

0003

00-10

4.0400

2000

-314

503

5.行列式2.1中元素-2的代数余子式等于

kk

6.方程1k1=0的实根个数为o

1k2

三.计算下列行列式:

0111

5-13a-5-24

1011

3212.—2ci—223.

1101

2952019742a-5

1111

10-2441-2-31201\aba

4.-37215.-2-3646.13507.a0ab

21-5-33-4520156ba\a

0-4111252371234aba0

11110a00

a-bah

2345000/?

8.9.—a—4+2a10.

22324252c000

b-b-a-b

2333435300J0

四.计算行列式。的值:

231509750829

43211-1001axa+x

4

-14378968321401-122

4.1aya+y

00210001

2143abc122

000341aza+z

1432

00102

babx+yXXX

%-\5a\\~4

Xx-2yXX

5.%一442—42—a2一。4

XXx+2yX

%一4。3~b2a3~3%4

%~~b?a—bax-3y

.4434一“4XXX

6-584

9752

D=

c1

五.设一彳8-8-3

行列式。的代数余子式记为4/'/=123,4),求下列各式的值:

(1)9A2]+7A22+5A23+244.(2)9A31+7A32+5A33+2A34.

(3)4A12+2A22+432-3442;(4)4Al3+2A23+&3-3443.

2xi+3X2+11匕+5X4=2,

2+x+5X+2X=1,

六.用克拉默法则解线性方程组《234

-2X^+2%4=-4.

七.下列齐次线性方程组有非零解吗？

x+3X-9X+7X=0,

—X]+2/+2%3=0,x234

一3Xj一%—8工3—X4=0，

（1）4(2)4

4X1+x2-2X3=0,

x}-3X2+5X3-x4=0,

x2+4X3=0;

元1+x2+2X3+3X4=0.

xt4-x2+kx3=0,

八.左取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零解：+kx2+x3=0,

Xj-x2+2x3=0.

B选择题

1.5阶行列式的全面展开式共有多少项

A.10项8.25项C.60项D.120项

2.设行列式D的元素都是正整数,则。的值是

A.正整数8.整数,即还可能是负整数或0

C.有理数,即还可能是分数D.实数,即还可能是无理数

b\2%4〃iq

=2

D=b22a24a2-3b2c2

4%-3b3c

3.设4，则2a33

A6B.2C-12D-48

4.下列哪个行列式的值一定为零

00%“4q0o

00&a耳00o

00o004

Gc2。

000

A4d2Bod,

a2%400〃30

b100000b4

c200000

4乩00D0d,00

-314

503

2-2

5.行列式中元素-2的代数余子式等于

429B-29C58D-58

0001

a00

020-1

6.已知0°1T=1,则〃=

B.0.5C.-2D.2

7.设n阶行列式D=l%I,却是au的代数余子式，则

1

AD8.0C~D。.难以确定其值

。内+blx2+cl=0

4=1

ax+bx+c=0

8.已知的b2,则方程组2{222的解是

=0

kxx+2X2+X3

+kx2=0

9.在下列何种情况下,齐次线性方程组%-%+七=0仅有零解

A.KW-28.KW3°.!(2-2或1(£3D.KW-2且KW3

C自我检查题

一、填空题

(1)计算：(课堂补充例题)

10000

121000

at+l11

012100a+1

①口…001200一递推法②121，其中aj工0,

0000­••2111%+1

000012

(2)如果n阶行列式中每一行上的n个元素之和等于零，则£>〃=

12345

22211

已知

(3)D5—31245=27,则A4I+A42+&3=^44+As=

11122

43150

abc

(4)设a、b、c为一元三次方程尤3+px+g=0的三个根，则cab

bca

(5)已知4阶行列式D中第二行上的元素分别为一L0,2,4,第四行上的元素的余子式分别为5,10,

a,4,JJliJa=o

Ax,+x2+=0

(6)线性方程组,w+g+G=0有非零解，则左=

2xt-x2+x3=0

000100

000120

000123

(7)6阶行列式=720。

004000

050000

670000

5x123

xxi2

(8)行列式f(x)则f(x)中/的系数为_____10d的系数为-4

12x3,

x122x

二、选择题

1q

-1\-a}a2

-1]一%%

(1)行列式..的值为()。

11-*%

T1-4

A.0B.1C.anD.空2…仆

(2)设A为n阶方阵，如果A经过若干次初等变换成矩阵8,则成立().

A.|A|=|B|B.若网=0,则必有忸|=0

C.同。冏D.若网＞0,则必有冏＞0

x-2x—1x-2x-3

2x—22x—12.x—22x—3

(3)已知f^x)=,则/(x)=0的根的个数为)o

3x-33x-24%-53x-5

4x4x-35x-l4x-3

■B.2C.3D.4

(4)设行列式=3,2=m,a'3〜=n,则行列式"+a]3等于(

a21a22a23a2)a2la22+a23

A.m+nB.-(m+n)C.n—inD.m-n

abed

cbda

(5)设=，且〃w0,则Aj4+&4+&4+Au=()O

dbca

abdc

A.0B.1C.(a+Z?+c+d)~D.(a"+b~+c?+d~)~

（6）设3阶方阵方=[%,%0]，则网=（）o

A.I%%,金B.|一1/1,一a”一

C.做+4,%+%,%+ajD.!«1,«1+a2,txl+%+«3|

三、计算下列行列式的值

31-12abcd

-513-400ef

(1)(2)

201-100gh

1-53-300kI

1111

a-b-c2a2a

cosacosacosacosa

⑶2bb-c-a2b;(4)]234

cos2alcos2acos2acos2%

2c2cc-a-b23

cos3qcos3a2cos3%cos3%

四、证明下列各等式成立

l+x111

a-xa-ya-z

1l-x11

(1)b-xb-yb-z=0：(2)=x2y2

111+y1

c-xc-yc—z

111l-y

21

a+4a1

CTa

]_

b

~bI

(3)若abed=1,则0；

,11

1

c

1

屋+;d1

d-~d

2cos<91

12cos61

(4)12cos6sin(〃+l)。6Wk7T、(k=0,±l,・・・)。

sin。

1

12cos。

五、计算下列n阶行列式

75

x—123n111•・1

275

x-122223..T

(1)(2)27(3)

n2n

x-n75n•n

27

199…9

a}x■■■x

929...9xa.y•••x

(4)993...9(77>9)(5).其中=2,…，n»

xx■­■a„

999…n

110010

1G0010

a1411q1

六、计算6阶行列式,其中0为1的虚立方根。

a2b21arc2co

2

a3h3\coc3co

1疗00co0

xab

七、求解下列方程的全部根:xcb

=0；

bCXa

ba,v

八、证明

⑴设f(x)=Co+qx+…+c“x",用克莱姆法则证明:f(x)有〃+1个不同的根,则/(x)是零多项式。

1998

2196

(2)已知1998,2196,2394,1800都能被18整除,试证也能被18整除。

2394

1800

ax}+hx2+cx3+dx4-0

c、d不全为零，试证线性方程组"%+也-5=0只有零解。

⑶设a、b、

cx{-dx1-ax3-\-bx4=0

dx】+cx2-bx3-ax4=0

1x-12x-l

(4)设/(幻=1X2-23X-2,证明必存在一点££(0,1),使/'(0=0成立。

1r—34x—3

第二章矩阵

A基础题

一.判断题

1.若矩阵乘积AB=4C,则3=C。

2.矩阵A',A可交换。

3,若W+M=O,则A=_g

4.若A是可逆矩阵，则矩阵AX=8的解是X=历产

5.矩阵A8满足AB=O,则A=0,或B=0。

6.对于矩阵AB一定有可比

7若A可逆，则也可逆。

8.任一矩阵A经若干次初等行变换可化成阶梯形矩阵。

9.若矩阵AB，。满足AB_AC=O,且AHO,则有§=C

10.n阶方阵A,3,一定有A8=8A

11.若矩阵Aw°,Aw°,则可能有A6=°

12若网=网，则A=g

13.矩阵A的秩（A）等于A中不为零的子式的阶数

14.若矩阵A，3可作乘积运算A5,则1钻1=同悯

15.对任意〃阶方阵A,3,总有（AB）r=ATB7

ana12a13a21a22a23

a

16.设人=a21a2223，B=alla12a13

.a31a32a33._a31+alla32+»12a33+a13

一ol-o

1oOP100

Pl=oo12010,必有P2P[A=B

，101

101

0-10

17.001不是初等矩阵.

18.若AB=O且AWO,则必有B=0；

19.n阶矩阵A,B均可逆，则A+B不一定可逆;

20.等式225=25成立;

21.n阶方阵A为0矩阵的充分必要条件是|A|=0；

22.A为任意矩阵，则ATAAT为对称矩阵。

23.若n实对称矩阵A满足=°，贝1」人=0。

二、填空题

A0、

1.设A,5是两个可逆矩阵，则0B,

2.设4为三阶矩阵,且网=3,则|（-A）'|

，1一2川=

3.若网=5,则；若矩阵A，8均可逆，且AXB=C,则乂=

4.已知〃阶方阵A,满足A2-A-E=O,E为单位阵，则A-1

123

5..设矩阵A0-10，A*为A的伴随阵，贝I（A*）T

00

1-12

6.设A23若3阶非零方阵8满足A8=0,则/=

021

det[（一工幺）-1+/♦]

7.设A为n阶方阵，且detA=2,则3

8.设3阶方阵A按列分块为工=（%，。2，。3）（其中如是A的第I列），且detA=5,又设

B=Q1+2a2,3%+4a3，5。2),则detB=

100

A220

33j的伴随矩阵为d,则（A*）-1

9.设3

11

10.00（n为正整数）

-1-1,

A=。1]’则3)

11.设

12.若n阶矩阵A尻©满足ABC=I,I为n阶单位矩阵，则C-1=

13.若48为同阶方阵，则（』+3）（5-3）=工2-3*的充分必要条件是

14.设A是〃阶方阵，且|A|=2,A*是A的伴随矩阵，则|3A[=

15.设q,a2,%,都是三维列向量,A=[al,a2,a3],8=[4,%4]且.=1，同=2,则

[A+耳=。

6设A-B2AB=

3

O

1设A=220A

7.343

18.设A是mxl矩阵，则ATA是阶矩阵。

19.设A是〃阶方阵，且网=3,则|(2A)T卜o

20.设A、8是三阶方阵，/是三阶单位阵，同=2且A2+A8+2/=0,则|A+.=

一100-

230

21.C*=456,则C=_________

22.设A是mxn矩阵，B是mxp矩阵，则A】B是阶矩阵

140x：,则AX=B所表示的方程为

23.已知A=15,B=1

012x3

,12-2,

A=4a1

24.设3-11B为三阶非零矩阵，且工3=0,则a=

25.设A为3阶方阵，且|A|=3,则|“小=|2A-'|=||A|A*卜—

26.［历乃2，…,A,J=-------------------

-5200

2100.

27.设A=,则

001-2

0001

101

28.若4=020,则(A+31)T(A2-9/)=

001

三.计算：

1.设矩阵

-300

A=3-30计算(A+2E)T(A2-4E).

33-3

2.设BC=(l2I),A=BC(1)求A；(2)求4°。

3.求满足下面方程的矩阵X,

(11-n

4.设4=-111,AX=/r+2X,其中A是A的伴随矩阵，求X。

1-117

120200

5.设方阵A-1-10,B=010又已知AX=5A,求A-'X以及X5.

001002

6.求下列矩阵的逆矩阵：

(1)(2)

'30-14'<123、

A-1201A=221

-2003

、22-18,、343,

-420O'

2000

A=

00-73

7.设［。057,

且胡=j+3,求矩阵B

101

A=020

8.已知L301J满足班-2E=B-2/2,求矩阵B

100叼电b?b3b4

010a3a45c2c3c4

9.若A=,B=d,求AB。

001a5a6id2d3d4

000k00010

0000k0001

300

10.设3阶方阵A,B满足关系式A-iBA=6A+BA,其中A=020，求矩阵B.

004

11.已知向量组a1=(1,2,1),a2=(2,3,2),a3=(1,4,0),a4=(2,5,0),求该向量组的秩及

一个极大线性无关组并判断其线性相关性。

四、证明题

1.矩阵A满足A2-A-2E=O,证明：(A-3E)可逆，并求出其逆矩阵。

2.设方阵A满足=0,证明(1+A+A2)(I-A)=I

(A丁=白

3.设A是n阶可逆矩阵，试证它的伴随矩阵A*可逆，且网。

4.设A是n阶方阵，且满足人丁A=1,闷=-1,求证“+人|=0

B选择题

1.设A与B均为n阶方阵，则下列结论中()成立。

A.det(AB)=0,则A=0,或B=0；

B.det(AB)=0,则detA=0,或detB=0；

C.AIM),则A=0,或B=0；

D.ABH0,贝I」detAH0,或detBH0。

2.设均为n阶可逆矩阵，则下列结论成立的是()

A.AB-BA-

B.存在可逆矩阵尸，使尸T5尸=8；

C.存在可逆矩阵尸和。，使PAQ=B

D.存在可逆矩阵C,使CrAC=B

3.设43都是n阶矩阵，且工3=0,则下列一定成立的是()

A.A=0或B=0B.A3都不可逆

c.A3中至少有一个不可逆[).4+8=0

4.设A为3阶方阵，网=3,则12Al的值为()

A.5B.6C.12D.24

5.A,8为同阶方阵，且AB=O,贝I()

A.A=O或3=0B.网=0或同=0

C.|A+@=OD.A+3=O

6.对任意〃阶方阵A,3,总有()

A.|A+川=网+网B.(AB)，=ATBT

C.(A+5)2=A2+2AB+B2D.|蝴=|班

A.|A+B|=|A|+|B|B.|A-B|=|B-A|

c||胭=|忸|A|D.\AB\=\BA\

C自我检查题二

一、填空题

(1)设〃阶矩阵A的伴随矩阵为A*,若⑶=0,则|A*卜

(2)设A=(101,则个=___________o

U1)

00…0

00a2…0

(3)设q/0,i=1,2,…，〃且A=,则4一

000…an-\

%00•­•0

423

(4)设A=110,且AB=A+2B,贝!|B=

-123

2-12-1

(5)设X=X,则乂=

-12-12

101

(6)设A=020,KN2为正整数，则2Al=

101

01

2

n-\

(7)n0=。

(8)已知A为n阶矩阵，A可逆，则[/+(/—A)(/+A)T](/+A)=

(9)若对任意的nXl矩阵x均有Ax=0,则A=

二、选择题

(1)设A、B均为n阶方阵，则下面结论正确的是()

A.若A或B可逆，则AB必可逆

B.若A或B不可逆，则AB必不可逆

C.若A、B均可逆，则A+B必可逆

D.若A、B均不可逆，若A+B必不可逆

(2)设A、B均为n阶方阵，若且3*0,则必有()

A.A,B均为不可逆阵B.A为不可逆阵

C.(A+5)2=A2+B2D.A=O

(3)设n阶方阵A、B、C满足A8C=/,则必有()。

A.CAB=IB.CBA=I

C.BAC=ID.BCA=I

（4）若n阶矩阵A、3都可逆,且AB=BA,则下列（）结论错误。

A.A-'B=BA：'B.AB-'=B''A

C.A-'B'=B''A：'D.BA：'=AB'

0

0,设有64A=3,

1

则鸟=（）。

10-1101100100

A.010B.010c.010D.010

001001-101101

（6）设A为n阶可逆矩阵，则（）。

A.若AB=CB,则A=C

B.A总可以经过初等变换化为/

C.对矩阵（A"）施行若干次初等变换，当A变为/时，相应的/变为Ai

D.对矩阵施行若干次初等变换，当4变为/时，相应的/变为Ai

（7）、设A、8为同阶可逆矩阵，则（）。

A.AB^BA

B.存在可逆矩阵P,使

C.存在可逆矩阵C,使C'AC=8

D.存在可逆矩阵P和。，使B4Q=8

（8）、设A、8、A+5、4-1+5一|均为n阶可逆矩阵，则（47+57尸=（）。

A.AT'+B'B.A+B

C.A(A+BY'BD.(A+B)-'

（9）、A、3都是n阶可逆矩阵，且满足（AB）2=/,则下列不成立的是（）»

A.A^B-'B.ABA=B-'

C.BAB=A-1D.(BA)2=I

三、计算证明题

（1）4个食品店均要进同样的两种货物,这两种货物的单价分别为4，b2,已知各食品店进货的批量,

试用矩阵计算出各种进货的总价是多少？

一21()一-31-2

(2)已知A=112,B=3-24,求A2-B2.

-121-35-1

123

(3)已知x是3X1矩阵，且A=x/=246,求(1)/*；(2)4"(n为正整数)。

369

'200'

(4)设4=120,求4"。

012

(5)设A为n阶矩阵，4,四，…，其为力的列向量，试用四，不，…，瓦，表示“A。

(6)设A、8为n阶可逆矩阵，且满足

X+[fi2(Arfi)-IAr]-1=X[A1(BTAy'BT]-\A+B^)

求X。

(7)设A、B是n阶方阵，C=ST(A+/l/)B,B彳O。

(1)证明当A为对称矩阵时，C也为对称矩阵；

(2)若A为反对称矩阵，则X取何值时，。也为反对称矩阵。

(8)已知n阶方阵A满足43=4/,证明A—/,A—2/均可逆。

(9)设A、8均为n阶方阵，且8=8?,A=I+B,证明A可逆，并求其逆。

100

(10)已知T=A,2A-B—AB=/,试证A—5可逆,若胃=03-1,求矩阵B。

06-2

⑴)设/(x)=aox"'+a，i+…+以1%+酸，又A为n阶矩阵，如果/尸0,且/(A)=O,证明

A可逆，并求A-,

(12)已知n阶方阵A可逆，。、A均为n维列向量，且1+夕,小:工0,证明A+勾犬可逆，且

42夕才

(A+a/?T)=A'

1+尸7一%

(13)若n阶矩阵A、6满足A+8=A8,证明4B=B4。

第三章向量与线性方程组

A基础题

一、判断题

1.若向量组线性相关，则部分组也线性相关。

2.矩阵的行秩不一定等于列秩。

3.含有零向量的向量组必线性相关。

4.零向量是任意一组同维向量的线性组合

5.若齐次线性方程组AX=0只有零解，则A的列向量组线性无关。

6.设四,。2，。3是3阶方阵A的列向量组，且Ax=O只有零解，则可