高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (14)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(14)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.在三角形ABC中，AB=2,AC=1,乙4cB=；,。是线段BC上一点，且防=：配，F为线

(1)设而=4,前=B，=xa+yb＞求x-y；

(2)求斤的取值范围；

(3)若尸为线段A2的中点，直线C尸与AO相交于点求而.四.

2.在448C中，已知cosC=|(1)若而•襦=，求44BC的面积；

(2)设记=(2sing,值),n=(cosB,cos|),且沆〃五,求sin(B-4)的值.

3.已知瓦，石是平面内两个不共线的非零向量，荏=2瓦＜+电,而=-瓦*+4电，正=-2瓦+宅,

且A,E,C三点共线.

(1)求实数;I的值；

(2)己知瓦＞=(2,1),石=(2,-2),点)(3,5),若A,B,C,。四点按逆时针顺序构成平行四边形,

求点A的坐标.

4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知26cosc—c=2a.

⑴求&

(2)若a=3,且AC边上的中线长为"，求c.

5.设向量五,b满足|五|=|b|=1及|3日-|=

(1)求五石夹角。的大小；

(2)求|3方+年的值.

6.如图，在菱形A8CD中，BE=^BC,CF=2FD.

(1)若前=K荏+丫而，求3x+2y的值；

(2)若|画=6,NBA。=60。，求而•掘.

(3)若菱形ABCZ)的边长为6,求荏•前的取值范围.

7.已知五，3是两个不共线的非零向量，|五|=2,\b\=1，且五与方的夹角是120。,

⑴求|五+2石|的大小；

(2)记函=五，OB=Ab<OC=2(a+b)>若正与短的夹角为锐角，求实数4的取值范围.

8.已知向量五=(cosx,sinx')lb=(sinx,cosx)>且xe[0,-],

(1)求五万的取值范围;

(2)求证|4+方|=2sln[x+^)；

(3)求函数/'(X)=百片一声|方+石|的取值范围.

9.已知五=(V^sinx,cosx+sinx),b=(2cosx,sinx-cosx)，/(x)=a-b-

(1)求函数/(x)的单调递增区间;

(2)当XG偿，争时，对任意t6R，不等式mt?+mt+3>/(x)恒成立，求实数的m取值范围.

10.如图，在△ABC中，已知48=2,AC=6,4BAC=60。,

分别在边4B,AC上，且荏=2而，AC=SAE，

(1)若酢=一;四+之前，求证：点尸为。E的中点;

、,410

(2)在(1)的条件下，求瓦彳•前的值.

11..如图△ABC为正三角形，边长为2,以点A为圆心，1为半径作圆，PQ为圆4的任意一条直径.

日若丽=!说，求|而团求的•浮的最小值.

12.在如图所示的平面直角坐标系中，己知点4(1,0)和点8(-1,0),|瓦|=1,且N40C=x,其中O

为坐标原点.

(1)若x兀，设点/)为线段0A上的动点，求|无+说|的最小值;

(2)若xe[0,,向量记=BC,n=(1—cosx,sinx—2cosx),求记■元的最小值及对应的x值.

13.在EJABC中，若4B=市^AC=b-BD=|BC.(1)用a，b表万BD'

(2)若4B=2,AC=3,^BAC=p五).访的值.

14.已知向量乙方的夹角为60。，且|肉=1,|石|=2.

⑴求|苍一石|与|2方-石|的值;

(2)求五一石与21一石的夹角仇

15.如图所示，△ABC中，AB=a，AC=b，。为AB中点，E为CD上一点，且DC=3EC,AE的

延长线与8C的交点为凡

c

ADB

(1)用向量,，石表示荏；

(2)用向量五，坂表示希，并求出AE：EF和BF：FC的值.

16.已知A04B的顶点坐标为0(0,0),4(2,9),8(6,-3),点P的横坐标为14,且而=2而，点。

是边AB上一点，且丽•都=0.

(1)求实数;I的值与点P的坐标；

(2)求点。的坐标；

(3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点，试求而-(RA+近)的取值范围.

17.已知向量1=(2+sinx,1),b=(2,-2)>c=(sinx-3,1)>d=(l,/c)>(x6R,ke/?).

(1)若％e[—且益〃(B+办求x的值；

(2)若函数f(x)=五.石，求/1(%)的最小值;

(3)是否存在实数左，使得0+办1@+0？若存在，求出％的取值范围；若不存在，请说明理由.

18.在44BC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量m=(2b+c.sinC),向量n=(sinB,2c+b),

且满足m-n=2asinA。

(1)求角4的大小；

(2)若44BC外接圆的半径是1,求当函数/(B)=cos2B-4cosAsinB取最大值时ZABC的周长。

19.如图在直角坐标系中，优弧AB的圆心角为半，优弧AB所在圆的半径为1,角。的终边与优弧

AB交于点C.

(1)当C为优弧A8的中点时，。为线段0A上任一点，求|云+3研的最小值；

(2)当C在优弧A8上运动时，D,E分别为线段0A,。8的中点，求方•屁的取值范围.

20.已知向量2=(msinx,cosx),b=(sinx,?nsinx),xe(0,2),

(1)若后〃Jtan%=[,求实数机的值：

(2)记/(切=；)，若/(幻2-寸亘成立，求实数m的取值范围.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知4(—1,—2),S(2,3),C(-2,-l).

(1)求以线段A8、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)若存在y轴上一点尸满足BCJL4P,求cos/BPC.

22.在团ABC中，a,b,c分别是角4B,C所对的边，已知a=l,m=(1,-V3)，元=(sinA,cos4),且

77l±7?.

(1)求角A的大小；

(2)若回ABC的面积为,，求b+c的值.

(3)求团ABC周长的取值范围.

23.如图所示，在平行四边形A3CD中，M,N分别为DC,BC的中点,

已知力B=c，AD=d'试用3，2表示宿，MN，MB-

24.在2L4BC中，在60,AB=2,AC=1,'BD=2DC，~AE=AAC-AB.

(1)若而•荏=一4，求;l的大小；

(2)若非零向量而=%而+丫而，求需的最小值.

25.已知。为坐标原点，对于函数/(x)=asinx+bcosx,称向量丽=(a,b)为函数/(%)的伴随向量,

同时称函数f(x)为向量曲的伴随函数.

(1)设函数g(x)=V3sin(7i+%)-sing-％)，试求g(x)的伴随向量两；

⑵记向量而=(1,遍)的伴随函数为f⑺，求当f(x)=|且xC(-晨)时sinx的值；

(3)由(1)中函数g(x)的图象(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移等个

单位长度得到/i(x)的图象，已知力(—2,3),8(2,6),问在y=/i(x)的图象上是否存在一点P,使得

而，前若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

26.定义非零向量丽=(a,b)的"相伴函数”为/(x)=asinx+bcosx(xeR),向量而7=(a,b)

称为函数/。)=asinx+bcosx(xeR)的“相伴向量”(其中0为坐标原点).记平面内所有向量

的“相伴函数”构成的集合为S.

(1)设/t(x)=V5cos(x+9+3cos(g-x)(x6R),请问函数/i(x)是否存在相伴向量而，若存

在，求出与丽共线且同向的单位向量；若不存在，请说明理由.

(2)已知点M(a,b)满足：(0,V3],向量丽的“相伴函数”/(%)在x=x0处取得最大值，求

tan2x0的取值范围.

27.我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式解决问题，这种思维方

法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，是一种重要的数学思想。如：如图，在ZL4BC中，

。为BC的中点，则而=超+前,工0/+3方，两式相加得，2而=南+而+元+而,

因为。为8c的中点，所以而+而=6，故可得2而=荏+就.

请用“算两次”的方法解决下列问题：

(1)如图，在任意四边形A8C。中，E,F分别为A。，BC的中点，求证：2品=四+配.

C

BF

(2)在四边形ABC。中，E,尸分别在边AO,BC上，且4E=^4。，BF=^BC,

①试用超,反表示前；

②若ZB=3,DC=2,荏与比的夹角为60°,求同•前.

28.在锐角三角形ABC中，a=2g,.

(1)求角4的大小：

(2)求44BC的周长/的取值范围.

在下面三个条件①沆=(-cosg,sin今，元=(cos?,sin今，且记.记=-g,@(26-c)cosA=

acosC,③/(x)=cosxcos(x-g)-/(4)=；中任选一个补充在上面的横线中，并对其进行

求解.

29.设方=(sinx,cosx),6=(COSY,cosx)xeR，函数/'(x)=丘•0+b).

(1)求函数/(x)的最小正周期及最大值；

(2)求/(x)的单调递增区间.

30.已知落K.3是同一平面内的三个向量，其中不=(1,2).

⑴若|3|=24,且)〃石，求石的坐标:

(2)若|小=同，且24+不与44-3及垂直，求弓与表的夹角仇

【答案与解析】

1.答案：解：(1):而=近+诟=前+2区=配+三(荏一於)=工前+2亚=33+2乙

333333

211

:,x=一,y=-,­••x—y=-

3/3J3

(2)设方=4屈，(0<A<1)

因为在三角形A8c中，4B=2,AC=1,^ACB=p^CAB=30°,

■■■CF-FA=(AF-AC}■(-AF)=(AXB-IC)(-AAB)=-4A2+A-lx2x^=-4A2+V3A

=-4(，-等)2+G[-4+V3,^]

ololo

⑶•••?1,M,。三点共线，二可设由=丫8？+(1-%)而=%8？+(1-％)看而，

••,尸为48的中点，；.萧=[石5+：而，

又C,M,尸三点共线，.,.存在teR使得而=t谓，

•'•xCA+~(1-%)CB——tCA+-1CB,

—,—,2—.2—,—,2―,2—,2―.—•>4―.—.2—.2

CM-AB=(-CA+-CB)-AB=(-CA+-CA+-AB)-AB=-CA-AB+-AB

JJJJJJJ

4V3284V3

=-xlx2x(-T)+-x4=---

解析：(1)将前化成前和近后，与已知比较得x=I，y=§可得x—y=/

(2)设由:=2而，(0<A<1),将疗，同化成就，荏后，再相乘可得；

(3)先根据向量共线和三点共线得到国=|C4+fee,再与荏相乘可得.

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题.

2.答案：解：(1)由方=£得abcosC=|

又因为COSC=|

所以所盛甘

又C为的内角,

所以sinC=

所以△ABC的面积S=^absinC=3.

(2)因为沅〃元,

_BB_

所以2s讥5COS]=VScosB,EPsinB=遍cosB，

因为cosBH0,

所以tQ718=汽,

因为8为三角形的内角,

所以〃..

所以4+C="

J

所以A=与27r―C

<5

所以sin(B-A)=sdn(^-4)

=sin(C——)=-sinC—^^cosC

3122

_1*4%3_4-3』

252510

解析：本题考查三角恒等变换、向量的数量积、向量平行和三角形的面积公式，属于中档题.

⑴利用而求出外的值，然后求解AABC的面积;

(2)通过沅〃元,求出tanB的值，推出3,转化sin(B-A)

=sin©—A)=sin(C利用两角和与差的三角函数求解即可.

3.答案：解：(1)荏=荏+而

=(2百+^7)+(一百+a^7)

=浣+(1+4)宅.

•••4E,C三点共线,

••・存在实数k,使得荏=kEC，

即匹+(1+1)3=k(-2可+器)，

得(1+2外瓦=(fc-1-A)e^.

••・久，瓦是平面内两个不共线的非零向量，

.•・｛：+?=1°，解得卜=心，A=-|.

U=fc-122

(2)元=丽+正=_3百孩

=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).

•••4,B,C,。四点按逆时针顺序构成平行四边形，

AD=BC-

设4(x,y),则而=(3—x,5-y),

BC—(—7,—2)>

H；：7°

即点A的坐标为(10,7).

解析：本题考查了向量共线和向量的坐标运算，本题属于中档题.

(1)可以利用三点共线，得到向量的线性关系，解出；I的值，即可得到结果；

(2)由已知条件得到死的坐标，再由同=能，得到A点的坐标，即可得到结果.

4.答案：解:(1)由正弦定理得2sinBcosC=2sin4+sinC,

又由sinA=sin[7r—(8+C)]=sin(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC,

可得2cosBsinC+sinC=0,

因为0VCV7T,所以sinCHO,

所以cosB=—

因为0<8<兀，所以B=g.

(2)设。为4c的中点，所以瓦？+就=2而，

所以(瓦5+瓦》=(2阮y,

又B=—,所以BA-Bd=c-a-cos=-；ac,

332

可得M+C2—ac=19,

因为a=3,

得c2-3c-10=0,

解得c=5或c=-2(舍去).

故c=5.

解析：本题考查的是正弦定理、两角和的正弦公式和数量积的运算，属于中档题.

(1)由已知和正弦定理得2sinBcosC=2sin力+sinC,由sinA=sin(B+C),化简即可得到

2cosBsinC+sinC=0,即可得到cosB=-g,结合角的范围进而得到角B；

(2)设。为AC的中点，所以瓦？+元=2前，所以(而+砒)2=(2前产，利用数量积运算可得a?+

c2—ac=19,将a=3代入，即可求解c的值.

5.答案:解：(1)由|3五一21|=夕，

得(3日一23)2=7，即9|五『一12五不+4|弓『=7,

,,—♦,—>7*1

|a|=|/?|=1>•-a-b=-.

|a|•|b|cos0=I，cosd=I，

又•••06[0,柯，.•.区石夹角。=g；

(2)v(3a+6)2=9|a|2+6a-K+|K|2

=9+6x*1=13.

2

|3a+K|=713.

解析：本题考查了向量的夹角，向量的模以及向量的数量积运算，熟练掌握向量的数量积运算性质

是解题的关键，是中档题.

(1)把已知的等式|3五-2另|=VT两边平方，把向量模的平方转化为向量的平方，代入数量积公式求

得向量。方夹角。的大小；

(2)把|3方+9|的平方转化为向量的平方，展开后代入向量的数量积运算，然后开方即可.

6.答案：解：(1)因为前=3而，方=2万，

所以前=EC+CF=-BC--DC=-AD--AB,

2323

又因为丽=%荏+了而，

所以X=-|,y=

故3x+2y=3x(-|)+2x1=-l.

(2)---AC=AB+AD，

12

■■■AC-IF=(AB+AD)-(-AD--^4F)

1»22---*2i--»---»

=-AD--AB--AB-AD,

236

•••四边形A8CD为菱形，

■.\AD\=\AB\=6,

■.AC-IF=-y\AB\2-y\AB\2cos乙BAD

66

ill

=—x36—x36x-=-9,

662

即宿方=-9.

(3)-AE-EF=6cos(AB,AD)-15

又cos颂，硒G(-1,1)

:.AE-的取■值范围为(-21,-9).

解析：本题主要考查向量的加法、减法、数乘运算，平面向量基本定理及平面向量的数量积问题,

属于中档题.

(1)利用平面向量基本定理，取荏，亦为基底，利用向量加减法可解；

(2)把所有的向量用基底而，而表示后，计算》•前即可.

(3)根据数量积公式以及cos(AB,AD)e可得亚•前的取值范围.

7.答案：解：(1)由|4+2b|=+2b)2

=Ja2+4a-h+4b2

=，4—4+4=2.

(2)ab=2x1xcos120°=—1，

AC=0C-OA=a+2b>

BC=OC-OB=2a+(2-A)b'

ACBC=(a+2b)-[2a+(2-A)b]

=2\a\2+2(2-A)|K|2+(6-A)a-b

=8+4-22-6+2=6-A,

v而与阮的夹角为锐角，

•1•cos<Tic,BC>=濡潟1>0,且cos<AC.'BC>K1.

••AC-BC>0=>6—A>0=>A<6>

又落方是两个不共线的非零向量，

二由而与睨不同向共线可得：;*一，即2,

综上所述当实数;I<6且4丰-2时，向量而与元的夹角为锐角.

解析：本题主要考查了向量的夹角，向量的数量积，考查学生转化能力与计算能力，属于中档题.

(1)根据模长平方化简计算即可得到结果；

(2)根据向量夹角为锐角必须有两向量的数量积大于零，且不共线，由此得求解即可

8.答案：解：⑴•・•2・b=sinx•cosx+sinx•cosx=2sinx-cosx=sin2x

■.■xe[0^],

:.2xe[0,n]

a-bE[04]

(2)证明：va+b=(cos+sinx,sinx+cosx)

/.|a4-b|=J2(cos-+sin./

=j2[V2sin(x+^)]2=2|sin(x+

xe[0,J

?叫号，

・••sin(x+：)>0,

・，•2|sin(x+E)l=2sm(x4-：),

TT71

A|a4-6|=2sin(x+-).

(3)v%e[0,5，

71713TT

••-X+4e[4*T]

/(%)=a-b->/2\a+b\

=sin2x—2企sin(x+：)

=2sinxcosx—2(sinx+cosx)

=sin2x—2V2sin(x+—)

=—cos[2(x+-)]—2V2sin(x+£)

=2sin2(x+3)-2V2sin(x+；)—1

V2n

—<sin(x+-)<1

**•f(x)£[-2,1—2V2].

解析：本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查了平面向量数量积的运算，三角函数的化简求

值与二次函数在闭区间上的最值，综合性强，难度较大，属于难题.

(1))利用向量的坐标运算公式可求得有小=sin2x，又TW[0(]，从而可求万方的取值范围；

(2)由G+b=(cos+sinx,sinx+cosx)由向量模的概念结合辅助角公式即可证得|a4-K|=

2sin(x4-J

(3)将/(%)=a-b—y/2\a4-K|化简为:f(x)^2sinxcosx—2(sinx+cos%),

=sin2x—2V2sin(x+：)=2sin2(x+?)-2V2sin(x+力—1,求得sin(x+：)的范围即可.

9.答案：解：(1)已知，a=(y[3sinx,cosx4-sinx),另=(2cos%,si?i%—cosx)，

贝I：/(%)=a-b=2yj3sinxcosx+(cosx+sinx)(sinx—cosx)

=V3sin2x—cos2x

=2sin(2x—£),

令2kn—，42%——<2/CTT+(fc6Z),

262

解得：一^+々7rW%49+k兀，

63

所以：函数/Xx)的单调递增区间为：[-£+kn(+k〃](kez).

(2)当x6[手复时，牌2”一花拳

V2<2sin(2x--)<2,

6

对任意t6R,不等式血/4-mt+3>/(%)恒成立.

只需满足：小产+mt+3Nf(x)7na%成立即可.

BPmt2+mt4-1>0即可.

①当TH=0时，恒成立

②当mH0时，只需满足｛々；0°

解得：0VmW4

综合所得：0WmW4.

解析：(1)首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调

区间.

(2)根据函数与的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出，〃的取

值范围.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的单调区间，恒

成立问题的应用.属于基础题型.

io.答案：解：⑴•••瓦=-=荏+高宿

：.AF='BF-BA=-AB+-AC,

410

又荏=2而，AC=5AE，■■AF=^Ab+^AE,

F为。E的中点.

(2)由(1)可得前=|ED=|(AD-A&),

-：AB=2AD，AC=5AE,EF={AB--^-AC.

410

—>—»—>1—>1—»1—>21—•—»

・•・BA-EF=-AB-(-AB--AC)=--AB+—AB-AC

k410J410

II7

=--x4+—x2x6xcos600=

4105

解析：本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，属于中档题.

(1)用而，荏表示出刀，即可得出结论；

(2)用荏,而表示出丽，再计算丽•前.

11.答案：解：.-.CD=|ce

1111

，,>>,,■•1-•一3.>

・•・AD=AC+CD=4C+-CB,

3

A\AD\=J(4C+|CB)23=JAC2+^CB2+IAC-CB=J4+JX4+|X2X2Xcosl200=第=

2忆

(2)而屈=(瓦?+AP)(CA+AQ)=(BA-AQ)(CA+AQ)

=BA-CA+AQ(BA-CA)-AQ2=2X2XCOS600+AQ-BC-1=1+2cos。(其中。为而与玩的

夹角).

所以当且仅当0-7T,即血与死反向时，前•衣的最小值为-1.

解析：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及向量的模和向量的基本运算，同时考查了转化的

思想，属于中档题.

(1)先将向量而用向量尼与而线性表示，然后根据同=J辟I进行求解；

⑵前.诙可转化成丽•丽=(BA+AP)(CA+AQ),然后展开化简，可得而.衣=1+AQ-~8€=

1+2cos。(其中。为而与死的夹角)，最后根据三角形函数求出最值.

12.答案：解:(1)设。(t,O)(O《t4>),

又C(-今争,

所以元+而=(-y+t,y),

所以|元+至『=|-V2t+t2+|=t2-V2C+1=(t-y)2+|(0<t<1)，

所以当t=当时，|灵+而|最小值为当.

1

⑵由题意得C(cw.siu/),市发：(COST+l.siiu),

则疗•”：1—cC+sin2x—2sinz<x)«jT

=1—sin2x-cos2x

1—v^2sin(2j：+工)，

因为XE[O(],

所以+g4生

444

所以当2x+3=*即x=g时，$训2]+：)取得最大值1,

428

所以x=2时，示•”1-v%in(2工+；)取得最小值I一乱

所以布•元的最小值为1一衣，此时x=g.

O

解析：本题考查平面向量的模、数量积的坐标运算和三角函数的恒等变换，最值等，属于基础题.

(1)设。(t,0)(04t41),则沅+而=(一①+t,立)，得至IJI双+丽|2=：一鱼t+t2+],配方即

22NN

可求I沆f+的最小值；

(2)由平面向量的数量积的坐标运算和三角恒等变换得：示•记1-v^sin(2z+：),结合xe[0,J

易求得最小值.

13.答案：解：(1)而=话+前=荏+|或=四+|(前一荏)=：五+|反

BD=AD-AB=^AB+^AC-AB=^-1a.

—,——»1—,2―>2—»2―>4―>22—a2—»―♦

(2)AD-BD=(-AB4--AQ-(-AC--AB)=-AC--AB--AB-AC

JJJJ✓✓✓

vAB=2,AC-3,Z-BAC=p

...而・丽=*/x4，x2x3x*短

解析：本题主要考查了向量的加法，减法，数乘运算法则，数量积运算，属于中档题.

(1)利用向量的加法，减法，数乘运算法则表示；

(2)由(1)的结果以及向量的数量积运算法则计算出结果.

14.答案:(1)由题向量)日的夹角为60。,所以五•b=|G|•b|cos600=1,

\a-h\=yla2+b2—2a-b=V1+4-2=百，

|2a-h|=V4a2+Z72—4a•6=，4+4—4=2；

/一、八(a-d)(2a-b)2a2+b2-3ab3\^3

(2)cos9=■|g-gjj2a.g|="2后F=Z

所以0=£

o

解析：此题考查平面向量数量积，根据定义计算两个向量的数量积，求向量的模长和根据数量积与

模长关系求向量夹角.

(1)由向量的数量积，先求出7T•石|7T|-Ti«wW)1，从而由向量的模长公式计算即可;

(2)利用(1)的结论，由向量的夹角公式即可求出五-方与2五+3的夹角。的余弦值.

15.答案：解：(1)而=亚+屁=而+|(前一/)=:亦+|前

=""荏+|前=软+能;

(2)设=4,

则荏=半荏=?(益+泞)=誓为+空抖反

AA636A3A

设"：依=出则一=击荏+毒前二专小含左

1+A_1

"i"1+\,解得4=5,〃=4,

[3A-1+g

因此衣=巳为+AE：EF=5,BF：FC=4.

解析：本题考查了向量的运算和平面向量的基本定理，是中档题.

(1)先由荏=而+屁逐步由向量的运算，由向量落方表示而即可；

1+A_1

1+\

(3A-1+g

可得；I和以的值，即可得出结果.

16.答案：解:(1)设P(14,y),则赤=(14,y),同=(-8,-3-y)，由而=4而，得(14,y)=

2(-8,-3-y),解得4=-(,y=-7,所以点P(14,-7),

(2)设点Q(a,b),则丽=(a,b)，又9=(12,-16)，则由的.标=0，得3a=4b①又点。在边

A8上，所以为=*，即3a+b—15=0②

联立①②，解得a=4"=3,

所以点Q(4,3)(3)因为R为线段。。上的一个动点，故设R(4t,3t),J&0<t<1,则而=(-4t,-3t)，

雨=(2-4t,9-3t)，而=(6-4t,-3-3t)，RA+^B=(8-8t,6-6t)>则称两+而)=

-4t(8-8t)-3t(6-6t)=50t2-50t(0<t<1),

故而•(成+而)的取值范围为[一§,0].

解析：本题考查了向量的坐标运算，根据相关的运算法则进行计算即可；

⑴设P(14,y),则赤=(14,y),而=(-8,-3-y)，由而=4而，得(14,y)=4(—8,-3-y),可

得答案，

(2)设点Q(a,b),则的=(a,b)，又品=(12,-16)，则由丽•胧=0，得3a=4b①又点。在边

A8上，所以笠=今|,即3a+b—15=0②联立①②，解得a=4/=3,可得答案.

17.答案:解：(1)•.・b+口=(sinx—1,—1)，

又有〃@+?)，

:.-(2+sinx)=sinx—1,即sin%=—

又XG[一M》

(2),・,a=(2+sinx,1),b=(2,—2)，

/(%)=五♦方

=2(24-sinx)-2=2sinx+2.

又％ER,.•・当sin%=-1时，f(%)有最小值，且最小值为0.

(3)va+d=(34-sinx,1+k)，h+c=(sinx—1,-1),

若0+d)1(b+c))则Q+d)-(b+c)=0>

即(3+sinx)(sinx—1)—(14-fc)=0,

k=sinx+2sinx-4=(smx+1)--5.

由sin久G[—1,1],得kG[—5,—1].

二存在kG[—5,—1],使得0+d)l(b+c).

解析：本题主要考查向量的数量积，向量的坐标运算，以及向量平行的充要条件，属于中档题.

(1)先求出方+乙再根据丘〃(石+丹找到向量坐标满足的关系式，根据x的范围，就可求出X的值;

(2)根据向量的数量积求出f(x)=2sinx+2,然后根据正弦函数的图象和性质即可求出f(x)的最小

值；

(3)先假设存在实数k,使(2+41(方+办，则0+2).@+1)=0，再利用向量数量积的坐标公式

计算，若能解出左的值，则存在，否则，不存在.

18.答案：解：(1)由已知布,云=2asin4,得2asin4=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,

再根据正弦定理有：2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=炉+c2+be,

由余弦定理得：a2=b2+c2—2bccosA,可得cos4=—5

因为46(0,兀)，所以4=拳

2

(2)由(1)知f(B)=cos2B+2sin8=1-2sin2^+2sinB=—2(sinB-]+|，

因为()<Z?<",所以sinBe(0,—)»

«)2

因此当sinB=泄，/(B)有最大值I，

此时a=2Rs\nA=V3,b=c=2RsinB-1,

故AABC的周长是2+g.

解析：本题主要考查向量的数量积，正余弦定理的运用，属于中档题.

⑴由沅•五=2asinA代入数据可得等式，结合正余弦定理可得cosA=/即可求出A的大小.

(2)由(1)可化简/(B),结合二倍角公式，以及二次函数性质，可求得/(B)的最大值，再根据正弦定

理求出三边，即可得周长.

19.答案：解：以。为原点，以次为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，

(1)设C(t,0)(0WtWl),C(-今日)，

所以沅+而=+当)，

2

所以I正+前|2=|-V2t+t24-1=t2-V2t+1=(t-y)+|(0<t<1)，

当t=¥时，I元+而I的最小值为争

(2)设5?=(cosa,s讥a),0<a<

PPJCF=OE-=(°,一—{cosa,sina)=(—cosa,—1—sina),

又因为D&0),

所以屁=(W)，

所以方•OF=：(cosa+1+sina)=sin(a+1)+；，

因为OWaW?,所以+

2444

则当sin(a+9+江b?怖+外

所以方.而曰,；+曰］.

解析：本题考查向量的数量积，向量的表示方法，三角运算，考查转化思想，计算能力.

(1)以。为原点，以0A为x轴正方向，建立图示坐标系，设D(t,O)(OWtW1),求出C坐标，推出

元+而=(t一今务然后求出模的最小值；

(2)0C=(cosa,sina).0<a<y,求出2f•屁的表达式，即可求出屈,屁的取值范围.

20.答案：解:(1)因为五//K，所以病5访解—sinxcosx=0,^sinx(m2sinx-cosx)=0,

因为工€(0《)，所以s出％>0,

故m2s比％—cosx=0,

当m=0时，显然不成立,

11

故m丰0,tanx=—m2=4

解得m=-2或2,

所以实数机的值为-2或2.

1—cos2xsin2x

(2)/(%)=msin2x+msinxcosx=汉一+亍)

nm

=­42ms•in—(2x-x-).+y

Vxe(0,^),2x-^esin(2x-^)e(-y,l].

因为/(x)2-共亘成立，所以f(x)mm2一：，

当mN0时，/(%)>0,显然成立；

当血<0时，fMmin=^p,

解得m>1—\/2,

1•11—V2<m<0.

综上可得实数m的取值范围是[1-V2,+00).

解析：本题考查了向量共线、数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

(1)根据向量共线，可得n^sinx-cosx=0：结合tanx=[,即可求解机的值:

(2)整理函数解析式，转化为求其最小值，即可求解结论.

21.答案：解：(1)由题意荏=(3,5)，AC=

\AB+AC\=|(2,6)|=V22+62=2国，

\AB-AC\=|(4,4)|="2+42=472；

所以所求对角线长为2m和4位；

(2)设P(O,y),由8CJ.4P,得配•存=0,

所以(一2—2,—1—3),(l,y+2)=0,

所以一4一4(y+2)=0,解得：y=-3.

即P(0,-3),

则而=(2,6)，PC=(-2,2),

~PBPC_-4+12_x/5

所以COS4BPC=

|PB||PC|-zVioxzVz-5

解析：本题考查了向量的模，向量的数量积和平面向量的坐标运算，属于中档题.

(1)由题意得所求对角线长为|AB+ACI和I而-前I，由向量的坐标运算即可得出结果；

(2)由8CJ_4P,则数量积为零求出y=-3,得P(0,-3),求出而，PC，即可求得cos乙BPC.

22.答案：解:(1)由沆=(1,一次)，n=(sinA,cosA),且沆1元,

得沅-n=sinA—\[3cosA=0，

AtanA=V3;

又4G(0,兀),

(2)由余弦定理得a?=b24-c2-2bccosA,

Bpi=b2+c2-2bccos^,

・•・b2+c2-be=1；

又〉ABC的面积为S=-besinA=-besin-=—»

2234

・•・be=1,

・・・(b+c)2=匕2+c2+2bc=2+2x1=4,

・•・b+c=2.

,7T„,bca12

(3)由(1)知A=],Q=1,则/方=嬴=诉=砾=而，

:・b='sinB,c=^=sinCfC=TI-A-B=y-B,BE(0,y)；

222n

•J=Q+b+c=l+—sinB4-—sin(--B)

=1+专(|sinB+ycosB)=14-2sin(JB+-),

又B€(0,算二8+音第汾

•••2<1+2sin(B+-6)<3,

△4BC周长的取值范围(2,3].

解析：本题考查平面向量垂直的应用，三角形正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，考查三角恒

等变换以及三角函数的图象与性质，考查运算能力，属于中档题.

(1)运用向量计算化简整理，结合同角三角函数关系，求得tanA,即可得到NA；

(2)由面积公式求出6c,再由余弦定理求出炉+c2,即可解得b+c.

(3)运用正弦定理可得b=2sinB，c=*sinC，再由C=?-B,运用两角差的正弦公式，化简计

算结合三角函数的图象和性质，即可得到范围.

23.答案：解：由已知在平行四边形ABCO中，M,N分别为。C,8C的中点，已知

AB=c,AD=d，AM=AD+1DC=AD+^AB=d+^c,

MN=MC+CN=^(DC+CB)=^(AB+DA)=^(c-d),

MB=h1C+CB=-2DC+DA=2-c-d.

解析：本题考查了平面向量的三角形法则的运用；考查平面向量基本定理；注意平面向量的运算与

向量的方向.

利用平行四边形的性质以及平面向量的三角形法则解答.

24.答案：解：(1)而=布+前

一2一

=AB+-BC

2

=AB+-(AC-AB}

=-3AB3+-AC,

Vb4B|=2,\AC\=1.AB-AC=1<

：.AD-AE

]__2_____.

=q丽硝.Q前一初

A.—>—»1—»22—»22—>—>

=-ABAC+-A/4C--i4C-/IF

3333

=A—2=—4,

・•・A=-2;

(2)|m|2=(%荏+y而产

=x2AB+2xyAB•前十y2前

=4/+2xy4-y2,

ImI4x2+2xy+y2I_x""x""

-W=J——寸寸+2小

小+'+?

・•・当3=-加y=-4x时，罂取得最小值，最小值为乌

y45|y|2

解析：本题考查向量的运算法则，考查向量的数量积运算和向量的模，属于较难题.

(1)用荏，而表示而，再利用向量的数量积运算求解即可；

(2)由题意得至1」|沅|2=4/+2盯+y2,所以需=J4(渭)2+：,利用二次函数性质求解即可.

25.答案：解：(1)g(x)=V3si