高中数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计（表格）

《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计

课题6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时第一课时

本节内容是分类加法计数原理与分步乘法计数原理，由使用字母或数字为教室座位编号情

教材

境导入，学习分类加法计数原理、分步乘法计数原理这些知识点，为分类加法计数原理与

分析

分步乘法计数原理的运用做铺垫.

1.数学抽象：通过具体案例将分类加法与分步乘法具体化；

2.逻辑推理：通过新知导入逐步培养学生的逻辑思维能力；

教学

3.数学建模：掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相关知识，为排列组合的学习

目标

打好基础的同时，也能学习利用计数原理解决实际问题；

与核

4.直观想象：通过分类与分步的直观动画，展示完成一件事需要的过程：

心素

5.数学运算:能够正确判断分类与分步问题，并进行计算；

养

6.数据分析:通过经历提出问题一推导过程一得出结论一例题讲解一练习巩固的过程，让学

生认识到数学知识的逻辑性和严密性.

重点分类加法计数原理；分步乘法计数原理.

难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理计算.

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课新知导入：

情境一：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字

给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的

号码？

答：因为大写英文字母共有26个，阿拉伯数字共有学生思考问设置问题情

10个，所以总共可以编出26+10=36个不同的号码.题，引出本境，激发学生

节新课内容.学习兴趣，并

情境二：从甲地到乙地，可以乘火车或乘汽车或乘引出本节新课.

轮船.其中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3

班.那么从甲地到乙地共有多少种不同的方法？

答：从甲地到乙地可以乘火车（4班）、乘汽车（2

班）、乘轮船（3班），所以从甲地到乙地共有4+

2+3=9种方法.

思考：你能说出上述两个问题有什么共同特征吗？

答：要完成上述两件事情（给座位编号、从甲地到

乙地），都有不同的方案（每种方案包含多种方法）

可以独立完成需求.

思考：你能举出生活中类似的例子吗？

答：如一个班学生站成一排照相，有多少不同的站

法？

学校食堂打菜，总共5个菜，每人选3个不同的

菜，有多少种不同的选择？

情境三：用前6个大写英文字母和1〜9九个阿拉伯

数字，以A”A2,...»B.,B2,...的方式给教室里

的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？

答：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个

数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不

同，因此共有6义9=54个不同的号码.

思考：该问题与前一个问题有什么区别？

答：该问题中，要完成编号，既要有大写英文字

母，又要有阿拉伯数字，只有两者同时存在，才能

完成座位编号；上一问题中，只要有英文字母或者

数字中的一个即可完成座位编号.

思考：你能说出上述问题有什么特征吗？

答：要完成上述事情，既要找出大写英文字母又要

找到阿拉伯数字，然后结合这两步才能将这件事最

终完成.

问：你能通过这些得出分类加法计数原理与分步乘法

计数原理的计算方法吗？

讲授新课新知讲解（一）：分类加法计数原理学生根据不利用不同的情

定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案同的情境问境问题，探究

中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同题，探究分分类加法计数

的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方类加法计数原理的计算方

法.原理.法，培养学生

说明：每类中的任意一种方法都能独立完成这件事探索的精神.

情.

课堂练习：

（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法加深学生对基

可以相同.（X）利用例题引础知识的掌

（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能导学生掌握握，并能够灵

直接完成这件事.（V）并灵活运用活运用基础知

分类加法计识解决具体问

例题讲解：例1在填写高考志愿表时，一名高中毕数原理.题.

业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强

项专业，具体情况如下：

A大学B大学

生物学数学

化学会计学

医学信息技术学

物理学法学

工程学利用不同的情

答：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在学生根据不境问题，探究

A大学中可以选择5种专业，在B大学中可以选择4同的情境问分步乘法计数

种专业，根据分类加法计数原理，共有5+4=9种专题，探究分原理的计算方

业可以选择步乘法计数法，培养学生

原理的计算探索的精神.

思考：如果完成一件事有三类不同的方案，每类方方法.

案中又分别有m,n,k种不同的方法，那么完成这件

事共有多少种不同的方法？

答:N=m+n+k

思考：如果完成一件事，有n类办法.在第1类办

法中有加种不同的方法，在第2类办法中有3种不加深学生对基

同的方法，……，在第n类办法中有m0种不同的方础知识的掌

法，则完成这件事共有多少种不同的方法？握，并能够灵

答：N=mi+m2+"*+m„利用例题引活运用基础知

导学生掌握识解决具体问

新知讲解（二）：分步乘法计数原理并灵活运用题.

定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种分步乘法计

不同的方法，做第2步有n种不同的方法则完成这数原理

件事共有2mXn种不同的方法.

说明：只有各个步骤都完成才算做完这件事情.

课后练习：（1）在分步乘法计数原理中，每个步骤中

完成这个步骤的方法是各不相同的.（V）

（2）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，

其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.（X）

例题讲解：例2设某班有男生30名，女生24名.通过练习，巩

现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，固基础知识，

共有多少种不同的选法？发散学生思

答：第一步，从30名男生中选出1名，有30种不通过课堂练维，培养学生

同选择；第二步，从24名女生中选出1名，有24习，检验学思维的严谨性

种不同选择.根据分步乘法计数原理，共有30X生对本节课和对数学的探

24=720种不同的选法.知识点的掌索精神.

握程度，同

例题讲解：例3书架上第1层放有4本不同的计算时加深学生

机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有对本节课知

2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书,有多少识点的掌握

种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取及运用.

1本书,有多少种不同取法？

答：（1）从书架上个任取一本书，可以有三种方案：

第一种方案从第一层取一本计算机书，有4种方

法；第二种方案从第二层取一本文艺书，有3种方

法；第三种方案从第三层取一本体育书，有.2种方

法.根据分类加法计数原理，共有4+3+2=9种.

（2）分3步完成：第一步从第一层取一本计算机书，

有4种方法；第二步从第二层取一本文艺书，有3

种方法；第三步从第三层取一本体育书，有2种方

法.根据分步乘法计数原理，共有4X3X2=24种.

课堂练习：

1、完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第

一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9

个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有

（C）

A.5种B.4种C.9利।D.20种

2、我校教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一

楼到五楼共有（B）种走法

A.10种B.16种C.25种D.32种

3、某公司利用业余时间开设太极、书法、绘画三个

培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报

名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名

方法种数为54.

4、现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部

分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则

不同的涂色方法有—180—种.

A

BCD

拓展提rWi一：

5、现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其

中高一年级13人，高二年级12人，高三年级9人.

(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？

(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？

(3)选两人作为代表，要求这两人来自不同的年级，

有多少种不同的选法？

答：(1)13+12+9=34

(2)13X12X9=1404

(3)分三种情况讨论：①若选出的是高一、高二学

生，有13X12=156种情况;②若选出的是高一、高

三学生，有13X9=117种情况;③若选出的是高

二、高三学生，有12X9=108种情况.

由分类加法原理可得，共有156+117+108=381种选

法

链接高考：

6、某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照

乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9

站的地铁票价如下表所示，现有小华、小李两位乘

客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁

都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能

性是相同的.

乘坐站数0<xW33<x^66<xW9

票价234

（元）

（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李

下地铁的方案共有多少利1?

（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李

先下地铁的方案共有多少种？

答：（1）小华、小李两人共付费5元，所以小华、小

李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站

数有1,2,3三种选择，付费3元的乘坐站数有4,

5,6三种选择.如果小华付费2元，小李付费3元，

有3+3=6种方案；如果小李付费2元，小华付费

3元，也有3+3=6种方案.所以小华、小李下地铁的

方案共有6+6=12种

（2）小华、小李两人共付费6元，所以小华、小李一

人付费2元一人付费4元或两人都付费3元.

①如果小华、小李一人付费2元一人付费4元，且

要满足小华比小李先下地铁，只能是小华付费2元

（乘坐站数有1,2,3三种方法），小李付费4元

（乘坐站数有7,8,9三种方法），所以共有3X3=9

种方法;②如果两人都付费3元，且要满足小华比小

李先下地铁，则可能有：小华坐了4站，小李坐了5

或6站2种方法；小华坐了5站，小李坐了6站1

种方法.共有2+1=3种方法.所以，共有9+3=12种方

案.

课堂小结1.分类加法计数原理学生回顾本让学生掌握本

2.分步乘法计数原理节课知识节课知识点，

点，教师补并能够灵活运

充.用.

板书§6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、新知导入三、例题讲解

二、新知讲解四、课堂练习

1.分类加法计数原理五、拓展提高

2.分步乘法计数原理六、课堂总结

七、作业布置

《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计

课题分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时第二课时

理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

学习

会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.

目标

重占分类加法计数原理；分步乘法计数原理.

难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的计算.

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课新知导入：

情境一：班上有25名男生，20名女生，要从中选择1

人担任班长，一共有多少种不同的选法？

答：可以从25名男生中选择一位担任班长，共有25

种不同的选法；也可以从20名女生中选择一位担任班学生思考问设置问题情

长，共有20种不同的选法。所以共有25+20=45种不题，引出本境，激发学生

同的选法。节新课内学习兴趣，并

谷。引出本节新

情境二：要完成一项工作，有两种方法可以完成，有课。

5个人只会用第一种方法，另外4个人只会用第二种

方法，从这9个人中选择一人来完成这项工作，有多

少种不同的选法？

答：会使用第一种方法的有5个人，所以可以有5种

选法；会使用第二种方法的有4个人，可以有4种选

法。所以，要完成该项工作，总共可以有5+4=9种不

同的选法。

思考：上述两个问题有什么共同特征？

答：要完成上述两件事情（选出班长、完成一项工

作），都有不同的方案（每种方案包含多种方法）可以

独立完成需求.

情境三：新学期开学，甲、乙、丙3位同学从5个宿

舍中挑选一个入住（可以选择相同的宿舍），可以有多

少种不同的入住方法？

答：甲同学可以从5个宿舍中挑选一件入住，有5种

方法；乙同学也可以从5个宿舍中挑选一件入住，有

5种方法；丙同学也可以从5个宿舍中挑选一件入

住，有5种方法。共有5x5x5=125种不同的方

法

情境四：班上有25名男生，20名女生，要分别从男

生和女生中各选择1名担任数学课代表，一共有多少

种不同的选法？

答：从25名男生中选择1位担任数学课代表，有25

种不同的选法；从20名女生中选择1位担任数学课代

表，有20种不同的选法.故共有25x20=500种不

同的选法。

思考：上述两个问题有什么共同特征？

答：要完成上述两件事情（选宿舍、选课代表），要将

每一位学生都安排好宿舍或者要从男生和女生种都选

择一位数学课代表，那么这件事情才算完成

讲授新课新知讲解（一）：分类加法计数原理

完成一件事，有n类办法.在第1类办法中有皿种不

同的方法，在第2类办法中有叱种不同的方

法，……，在第n类办法中有小种不同的方法，则完

成这件事共有：N=m,+m2+—+种不同的方法

说明：每类中的任意一种方法都能独立完成这件事利用不同的情

情。学生根据不境问题，探究

同的情境问分类加法计数

新知讲解（二）：分步乘法计数原理题，探究分原理与分步乘

完成一件事，有n个步骤.在第1步中有加种不同的类加法计数法计数原理的

方法，在第2步中有m种不同的方法，……，在第n原理与分步计算方法，培

步中有种不同的方法，则完成这件事共有：N=tn,x乘法计数原养学生探索的

m2X---x种不同的方法理.精神.

说明：只有各个步骤都完成才算做完这件事情

例题讲解：

例4要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分

别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不加深学生对基

同的挂法？利用例题引础知识的掌

答：从3幅不同的画中选出2幅分别挂在左、右两边导学生掌握握，并能够灵

墙上，要分两步完成：（1）从3幅画中选出一幅挂在并灵活运用活运用基础知

左边墙上，有3种选法（2）从剩下的2幅画中选出1分类加法计识解决具体问

幅挂在右边墙上，有2中选法。根据分步乘法原理，数原理.题.

共有3x2=6种不同的挂法。

例5给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字

符要求用字母A~G或U~Z,后两个要求用数字1〜9,

问最多可以给多少个程序命名？

答：首字符共有7+6=13种不同的选法，中间字符和

末位字符各有9种不同的选法，根据分步计数原理，

最多可以有13X9X9=1053种不同的选法。

例6电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与

底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因

此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的

计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需

要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节

来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单

位，每个字节由8个二进制位构成

（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字

符？

答：1个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分

步乘法原理，一个字节最多可以表示不同字符的个数

是2x2x2x2x2x2x2x2=2^=256

（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉

字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，

每个汉字至少要用多少个字节表示？

答：由（1）知，1个字节所能表示的不同字符不够

6763个，考虑2个字节能够表示多少个字符。前一个

字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256

种表示方法，根据分步乘法计数原理，2个字节可以

表示不同的字符个数为：256x256=65536,该值大于

汉字国标码包含的汉字个数6763.因此要对这些汉字

进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示。

例7计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进

行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路(即程

序从开始到结束的线)，以便知道需要提供多少个测试

数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成，它

的一个具有许多执行路径的程序模块。

(1)这个程序模块有多少条执行路径？

(2)为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次

数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试

次数吗？

答：(1)由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、

子模块3中的子路径条数共有18+45+28=91条；子模

块4、子模块5中的子路径条数共有38+43=81条；由

分步乘法计数原理，整个模块执行路径条数为：91x

81=7371条。

(2)在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成

一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的

方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测试

5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共

需要的测试次数为18+45+28+38+43=172,再测试各个

模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3

x2=6。如果每个子模块都正常工作，并且各个子模

块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正

常。这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178

（次）

例8通常，我国民用汽车号牌的编码由两部分组

成：第一部分为由汉字表示的省、自治区、直辖市简

称和用英文字母表示的发牌机关代码，第二部分为由

阿拉伯数字和英文字母组成的序号。其中，序号的编

码规则为：①由10个阿拉伯数字和除0、I之外的24

个英文字母组成；②最多只能有两个英文字母。

如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个

发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？

答：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放

的最多号牌数就是序号的个数。根据序号编码规则，5

位序号可以分为三类：没有字母，有一个字母，有两

个字母。（1）当没有字母时，序号的每一位都是数

字。确定一个序号可以分五个步骤，每一步都可以从

10个数字中选1个，各有10种选法。根据分步乘法

计数原理，这类号牌张数为：10x10x10x10x

10=10000；（2）当有一个字母时，这个字母可以分

别在序号的第一位、第二位、第三位、第四位或第五

位，这类序号可以分为5个子类；当第一位是字母

时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第一

步，从24个字母中选一个放在第一位，有24种选

法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位

置，各有10种选法。根据分步乘法计数原理，号牌张

数为：

24x10x10x10xlO=240000c同样，其余四个

子类号牌也各有240000张。根据分类加法计数原理，

这类号牌张数一共有：240000+240000+240000+

240000+240000=1200000；(3)当有2个字母时，

根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分

为十个子类：第一位和第二位，第一位和第三位，第

一位和第四位，第一位和第五位；第二位和第三位，

第二位和第四位，第二位和第五位；第三位和第四

位，第二位和第五位；第四位和第五位。当第1位和

第2位是字母时，分五个步骤确定一个序号中的字母

和数字：第广2步都是从24个字母中选1个分别放在

第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从

10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选

法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为：24x24

x10x10x10=576000；同样，其余九个子类号牌

也各有576000张。则这类号牌张数一共有：

576000x10=5760000张。综合(1)(2)(3),根据分

类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号

牌数为：100000+1200000+5760000=7060000

课堂练习：

1、用0,1,…，9十个数字，可以组成有重复数字的

三位数的个数为(B)通过课堂练通过练习，巩

A.243B.252C.261D.279习，检验学固基础知识，

2、如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,生对本节课发散学生思

B,C,D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂知识点的掌维，培养学生

法有(A)握程度，同思维的严谨性

A.72利।B.48种C.24种D.12种时加深学生和对数学的探