人教版九年级数学下册《锐角三角函数（第3课时）》示范教学设计

锐角三角函数（第3课时）教学目标1．通过探究三角尺的边角关系，推导并掌握特殊角（30°，45°，60°角）的正弦值、余弦值、正切值．2．会运用特殊角的锐角三角函数值进行有关计算，会根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状或求特殊角．教学重点掌握特殊角（30°，45°，60°角）的正弦值、余弦值、正切值．教学难点会灵活运用特殊角的三角函数值解决问题．教学过程知识回顾如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝＝；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝＝．【设计意图】回顾上节课学习的“锐角的余弦、正切”，为本节课的学习内容作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】如图，两块三角尺中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是多少？【师生活动】教师引导学生思考、交流，得出：两块三角尺中有3个不同的锐角，分别是30°，45°和60°角．教师提示：设图中两块三角尺较短的边长分别为a，d，利用勾股定理和锐角三角函数的定义可以求出这些锐角三角函数值．教师先带领学生求出30°和60°角的正弦值、余弦值和正切值，再让学生独立求出45°角的正弦值、余弦值和正切值．解：如图，设BC＝a．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2a．由勾股定理得AC＝＝．∴sin30°＝＝＝，cos30°＝＝＝，tan30°＝＝＝．∴sin60°＝＝＝，cos60°＝＝＝，tan60°＝＝＝．如图，设EF＝d．在Rt△DEF中，∠F＝90°，∵∠D＝∠E＝45°，∴DF＝EF＝d．由勾股定理得DE＝＝．∴sin45°＝＝＝，cos45°＝＝＝，tan45°＝＝＝1．【新知】30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角A锐角三角函数30°45°60°sinAcosAtanA1【设计意图】让学生通过自主探索，求出特殊角的三角函数值，进一步体会锐角的度数与比值之间的对应关系，加深对锐角三角函数概念的理解，提高分析问题、解决问题的能力．二、典例精讲【例1】求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°； （2）－tan45°．【师生活动】教师提示：sin260°表示(sin60°)2，即(sin60°)·(sin60°)．学生根据提示，独立完成，教师指导、讲解．【答案】解：（1）cos260°＋sin260°＝＋＝1；（2）－tan45°＝÷－1＝0．【归纳】有关特殊角的三角函数值的计算，先直接写出三角函数值，将运算转化为实数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算．【设计意图】通过例1，考察学生是否会运用特殊角的锐角三角函数值进行计算．【例2】（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，求∠A的度数；（2）如图（2），AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO＝OB，求α的度数．【师生活动】学生小组讨论，尝试作答，教师指导、讲解，并给出提醒：当A，B均为锐角时，若A≠B，则sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB．【答案】解：（1）∵sinA＝＝＝，∴∠A＝45°．（2）∵tanα＝＝＝，∴α＝60°．【归纳】由锐角三角函数值确定特殊角的一般步骤：第1步：通过边之间的关系或者其他关系得到锐角三角函数值；第2步：根据特殊角的锐角三角函数值，确定锐角的度数．【设计意图】通过例2，让学生学会根据特殊角的三角函数值求特殊角．【例3】已知△ABC中的∠A与∠B是锐角，且∠A与∠B满足(1－tanA)2＋＝0，试判断△ABC的形状．【师生活动】学生小组讨论，尝试作答，教师指导、讲解．【答案】解：∵(1－tanA)2＋＝0，∴tanA＝1，sinB＝．∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°．∴△ABC是锐角三角形．【设计意图】通过例3，让学生学会根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状．