高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (17)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（17）

一、单项选择题（本大题共11小题，共55.0分）

1.在三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SAJ•底面ABC,若三棱锥的外接

球的体积为36兀，则S4=（）

A.26B.4V6C.6V6D.1276

2.一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为2,若四面体容器内完全放进一个球，

则该球的半径最大值为（）

A.V2-1B.2-V2C.1D.2

3.已知正方体2BCD—4&GD1中，点P在线段上运动（不含端点3,C），点。是线段CC1的

中点，若平面APQ截正方体ABCD—4B1C1D1所得的截面为四边形，则线段段的取值范围为

A.（0点B.（0,1]C.（0,1]D.（0,|]

4.下列命题中，真命题的个数是（）

①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；

③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；

④侧面都是长方形的棱柱叫长方体.

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.在四面体4-BCD中，AB=AD=BC=BD=DC=2网,AC=373.则该四面体的外接球半

径为（）

A.7B.3C.V7D.V3

6.四棱锥P-4BCD的底面ABC。是边长为6的正方形，且P4=PB=PC=PD,若一个半径为1

的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是

A.6B.5C.fD*

7.在三棱锥P-ABC中，二面角P-48-C、。一4。一8和2一8。-4的大小均等于半

AB：AC：BC=3：4：5,设三棱锥P-4BC外接球的球心为O,直线PO与平面ABC交于点Q,

C=（）

A.-B.2C.3D.4

4

8.正三棱锥P-HBC的底面边长为1cm,高为hem,它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者

侧面与底面）之和记为氏则在九.从小到大的变化过程中，。的变化情况是（）

A.一直增大B.一直减小

C.先增大后减小D.先减小后增大,

9.在△ABC中，已知L4B=2b，BC=2乃，AC=2回力是边AC上的一点，将△ABC沿8。折

叠，得到三棱锥A-BCD,若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上,设BM=X,

则x的取值范围是（）

A.（0,2V3）B.（V3,V6）C.（76,273）D.（2V3,2V6）

10.如图，P是正四面体V—ABC的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则

动点尸的轨迹是（）

A.直线

C.离心率为这的椭圆D.离心率为3的双曲线

3

11.已知点4B,C,D在同一个球面上,4B=2显,AC=4,ABAC=30。.若四面体体积的最大值

为4,则这个球的表面积为（）.

二、多项选择题（本大题共5小题，共20.0分）

12.对于四面体ABC£>,以下命题中正确的是（）.

A.若48=AC=AD,则4B,AC,4。与底面所成的角相等

B.若ABLCD,ACLBD,则点A在底面BCD内的射影是/BCD的内心

C.四面体A8C。的四个面中最多有四个直角三角形

D.若四面体A8CQ的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为?

O

13..如图，矩形ABC。中，M为BC的中点，将团4BM沿直线4M翻折成回力GM,连结B/,N

为&D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）

A.存在某个位置，使得CNL4B.

B.翻折过程中，CN的长是定值.

C.若AB=BM,贝MM1BXD.

D.若AB=BM=1,当三棱锥&-AMD的体积最大时，三棱锥/一AMD的外接球的表面积是

14.下列命题错误的有（）

A.棱柱最多有4个面是矩形；

B.有两个面平行且相似，其余面是梯形的几何体是棱台；

C.连结圆台两底面圆上各一点的线段是它的母线；

D.任意一个平面截球所得的图形是小圆；

E.经过三点确定一个平面

15.下列说法中错误的有（）.

A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线.

B.一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.

C.圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形.

D.三棱锥的四个面中最多只有三个直角三角形.

16.如图，线段A8为圆。的直径，点E,F在圆。上，EF//AB,

矩形ABCD所在平面和圆。所在平面垂直，且48=2,EF=

AD=1,则下述正确的是（

A.OF〃平面BCE

B.BF1平面尸

C.点A到平面CDFE的距离为每

D.三棱锥C-BEF外接球的体积为遥兀

三、填空题（本大题共9小题，共45.0分）

17.如图，正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为1,线段当义上有两个动点E,F,且EF=争现有

如下四个结论：

①AC1BE;

②平面EFC〃平面4BD

③异面直线AE,2F所成的角为定值;

④三棱锥力-BEF的体积为定值，

其中正确结论的序号是

18.一个半径为6的球内切于一个正方体，则这个正方体的对角线长为__________.

19.如图，在直三棱柱4BC-&B1G中，底面为直角三角形，AC=6,^ACB=90°,

BC=CG=V2-P是BCi上一动点，贝IJCP+P必的最小值是

20.某儿何体的三视图如图所示，正视图为腰长为1的等腰直角三角形，侧视图、

俯视图均为边长为1的正方形，则该几何体的表面积是.

裕视图

21.点M,N分别为三棱柱ABC—4B1G的棱8C,的中点，设的面

积为S],平面&MN截三棱柱ABC-&BiCi所得截面面积为S,五棱锥&一

CC/iNM的体积为匕，三棱柱人"一月出口的体积为匕则?=,

也=________

22.已知棱长为2的正方体内接于球0,点P是正方体的一个顶点，点。是正方体一条棱的中点，

则直线PQ被球。截得线段长的最大值为.

23.棱长为/的正四面体4BC。内有一个内切球。，M为CO中点，N为8M中点，连接AN交球。

于P,Q两点，则球。的表面积为,PQ的长为.

24.如图所示，在正四棱锥P—4BCC中，底面ABC。是边长为4的正方形，E,尸分别是A8,CD

的中点，cos4PEF=立，若A,B,C,D,P在同一球面上，则此球的体积为.

2

p

25.在三棱锥P-ABC中，P4J■平面ABC,4B4C=120°,AP=VIaB=2,M是线段8c上动点，线

段尸”的长度最小值为百，则三棱锥P-力BC的外接球的表面积为.

四、多空题(本大题共1小题，共4.0分)

26.在三棱锥S-ABC中，AB=2,BC=2,AC=2y/2,SB=V2,SBiffiABC,则三棱锥S-ABC的

外接球半径为_(1)_，三棱锥S-力BC的内切球半径为_(2)_.

五、解答题(本大题共4小题，共48.0分)

27.在直棱柱ABC-aB1G中，AC=BC=2,AAt=2衣，乙4cB=90°,M是441的中点，N是BC1

的中点.

(1)求证：MN〃平面4/16.

(2)求点G到平面BMC的距离；

(3)求二面角B-GM-4的余弦值.

28.如图，在直棱柱ZBC-AB'C'中，底面是边长为3的等边三角形，44'=4,M为44'的中点，P

是BC上一点，且由尸沿棱柱侧面经过棱CC'到M的最短路线长为内，设这条最短路线与CC'的

交点为M求：

(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;

(2)PC与NC的长；

(3)三棱锥C—MNP的体积.

29.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(1)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论；

(2)已知正方体棱长为2,P是EF的中点，在正方体中，过点E作与面P8G平行的截面，求此

截面的面积.

30.如图，AABC中，4B=8,BC=10,AC=6,DBI5?®ABC,Q.AE//FC//BD,

BD=3,FC=4,AE=5,求此几何体的体积.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查三棱锥的外接球，球的体积公式及三棱锥、球的结构特征，是中档题，解题时要认真审题，

注意空间思维能力的培养.

求出三棱锥的外接球的半径R=3,过A作4EJ.BC,交8c于E,过球心。作。01ABC于Q,则D64E,

且E是AABC的重心，三棱锥的外接球的半径R=OS=04=3,AC=次，求出SA=2否.

解:如图，

三棱锥的外接球的体积为*R'36TT,

•••三棱锥的外接球的半径R=0S=0A=3,

•••在三棱锥S-ABC中，底面A8C为边长为3的正三角形，侧棱SA1底面4BC,

过4作4E1BC,交8c于E,过球心。作0。148C于O,

则D64E,且E是△ABC的重心，

22

•••AD=-AE=-y/AB-BE=V3,

33

22

0D=-JOA-AD=V6>

。到SA的距离为4Z)=V3，

22

•••SA=OD+yj0S-AD=2V6

故选A.

2.答案：A

解析：

本题考查简单几何体的结构特征，考查四面体的内切球，属于中档题.

根据四面体的形状通过等积法计算其内切球的半径的大小可得结果.

解：如图，在四面体ABCD中，力。_1平面88,BO1BC时满足各面均为直角三角形，

此时只能是4。=BD=BC=2,则ZB=CD=2或，AC=2g,

要满足题意则当球与四面体各面均相切时半径最大，

此时设球心为0,则原四面体可看成以。为顶点，其余各面为底面的4个四面体组合而成,

且这4个四面体的高均为内切球的半径，

设内切球半径为广，

由等积法有；x23=；r(2x2+2x2+2x2&+2x2夜)，

66

解得r=V2—1，

即满足题意的内切球的最大半径为a-1.

故选A.

3.答案：B

解析：

本题考查线段的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档

题.

当点P为线段BC的中点时,截面为四边形APQ0],从而当0〈BPW1时,截面为四边形，当：<BP<1

时，截面为五边形，由此能求出线段8尸的取值范围，从而可得线段段的取值范围.

解：设正方体4BCD-4B1GD1的棱长为1,点P在线段BC上(点P异于B,C两点),

点Q为线段CG的中点，平面APQ截正方体ABCD-aB1GD1所得的截面为四边形,

・•・依题意，当点尸为线段BC的中点时，

截面为四边形4PQD1，

从而当0<BPwg时，截面为四边形,

当:<BP<1时，截面为五边形，

故线段BP的取值范围为（0,勺,

线段案的取值范围为（0,斗

DCZ

故选B.

4.答案：A

解析：

本题考查棱锥，棱柱，棱台定义的应用，考查空间想象能力，基本知识的考查，利用棱柱，棱锥，

楼台的定义判断选项的正误即可.

解：①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；不满足棱柱的定义，所以

不正确；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；不满足棱锥的定义，所以不正确；

③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；没有说明两个平面平行，不满足棱台定义，

所以不正确；

④侧面都是长方形的棱柱叫长方体.没有说明底面形状，不满足长方体的定义，所以不正确；

正确命题为0个.

故选A.

5.答案：C

解析：

本题考查球体半径的计算，解决本题的关键主要在于找出球心的位置，考查计算能力与推理能力，

属于中档题.

设。为四面体ABCO的外接球球心，易得=120。,易证平面AFCJL平面B尸C,过点。作OGJLAE

于点G,设球的半径为R,可得久2+22=R2,(|+1)2+(手_X)2=RZ,解出即可.

解：如图所示，设。为四面体A8CQ的外接球球心，等边三角形BCC的中心为O,8。的中点为尸，

连接AF,CF,00',OB,O'B,OA,由48=AO=8C=BO=OC,得4R_LB。，CF1BD,

易求得4F=CF=3,而AC=3g，所以cos乙4FC=-%

则乙4FC=120。，又4尸。。尸=尸,4片。尸＜=平面4尸(7,；.8。1_平面4/(7,BDu平面BFC,

所以平面AFC1平面BFC,

所以点A在平面BFC上的射影E在直线CF上，

过点。作。G14E于点G,则四边形。'EG。是矩形，

则O'B=8Csin60°x|=2,O'F=^0'B=1,

AE=4Fsin60°=EF=4Fsin30°=

22

设球的半径为R,00-=x,

则由。。'2+042=0B2,AG2+GO2=0A2,

2

得/+22=R2,(|+i)+(当一X)=R2,

解得x-V3,R-V7.

故选C.

6.答案：D

解析:

本题主要考查了学生对球和四棱锥、轴截面等有关知识的应用能力，由球的球心在四棱锥P-ABCD

的高上，把空间问题平面化，作出过正四棱锥的高作组合体的轴截面，利用平面几何知识即可求出

raj.

解：由题意，四棱锥P-4BC。是正四棱锥，球的球心。在四棱锥的高PH上；过正四棱锥的高作组

合体的轴截面如图所示:

其中PE,P尸是斜高，M为球面与侧面的切点，

设PH=九，由几何体可知，Rt^PMO-Rt^PHF,

OM_P013tli_"I

""FH~'Pp'囚3-Vh2+32，

解得/I=；.

4

故选。.

7.答案：D

解析：

本题主要考查了三棱锥的外接球，考查了三棱锥的结构，属于难题.

解决本题的关键是根据题意找出。点及。点的位置.

解：解：依题意，点P在平面A8C内的射影为三角形4BC内切圆的圆心N,

设内切圆的半径为r，

x3x4=|x(3+4+5)r,解得r=1,

又一面角P-AB-C,P-AC-B和P-BC-4的大小均等于；，

故PN=rxtang=1xV3=V3,

设4BC的外接圆圆心为M,易知0M1平面A8C,又PN，平面ABC,

故OM〃PN,则点O,M,P,N四点共面，且平面ABCn平面。MPN=MN,

又Q在平面ABC内，且Q在平面OMPN内，

所以。在MN上，即。，M,N三点共线；

现在研究的长度，如图，

BE

M

易知，BE=2,EM=BM-BE=^-2=^,故MN=

故NM=OF=匹,设。M=x,由OP=。8,即，+。?2=70Mz+二“2可

解得x=立

PO4

=-=4

OQ1

8.答案：D

解析：

本题考察了多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，属于基础题.

解：当力趋近于0,有。趋近于3乃；

当力趋近于正无穷，有。趋近于?；

当的刚好使得正三棱锥变为正四面体时，二面角之和记为。2,则cosg=：

于是3包=二＞2,

2922

故选。.

9.答案：C

解析：

本题以平面图形的折叠为载体，求线段8M的取值范围.着重考查了空间垂直位置关系的判定与性质、

余弦定理解三角形等知识，同时考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题.

作图，利用极限和余弦定理求解.

解：

因为将△力BC沿B。折起，得到三棱锥A—BC，且点A在底面BCD的射影M在线段BC上，

所以在图2中，4MJ■平面BCQ,MN、AN都与BO垂直

因此，折叠前在图1中，AM1BD,垂足为N.

在图1中过4作力Mi1BC于Mi，运动点。可得当。点与C点无限接近时，折痕BO接近BC,止匕时

M与点Mi无限接近；

在图2中，由于AB是的斜边，是直角边，所以

由此可得：BMr<BM<AB,

因为在△ABC中，已知AB=2百，BC=2#,AC=2V3

由此可得RMAMiC中，BAfi.4/?<«vl5瓜,

：.y/6<BM<2>/3,由BM=x,可得x的取值范围为（右,2⑹.

故选C.

10.答案：C

解析：

本题考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化

归与转化思想，属于难题.

由题设条件将点p到平面4BC距离与到点丫的距离相等转化成在面VBC中点尸到y的距离与到定

直线BC的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状.

解：•.•正四面体U-4BC

.♦.面VBC不垂直面ABC,过P作P。1_面ABC于。，过。作OH1BC于H,连接PH,

nIWBC1®DPH,P”u面OPH,所以BC_LPH,

故4PHe为二面角V-BC-A的平面角，令其为0

则HtAPDH中,\PD\：|PH|=s讥火。为U-BC—4的二面角的大小）.

又点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，即|PV|=\PD\

.­.\PV\：\PH\=sin9<1,即在平面VBC中，点P到定点V的距离与到定直线8c的距离之比是一

个常数sinJ,

又在正四面体V-ABC,U-BC-A的二面角的大小。满足：sin。=速<1，

3

由椭圆定义知P点轨迹为椭圆在面Y8C内的一部分.

故选：C.

11.答案：B

解析：

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属于中

等题.

由余弦定理求出BC,可得△ABC是直角三角形，于是得出△ABC外接圆的圆心为斜边AC的中点E,

求出AZBC的面积，利用点。、球心、E三点共线且。、E位于球心的异侧时，四面体ABC。的体积

取最大值，利用锥体体积公式可算出此时OE的值，然后可计算出三棱锥ABC的侧棱长，射影定

理求出外接球的半径，代入球的体积公式求解.

解：由AB=2V3

,AC=4,/.BAC=30°,

D

得BC=yjAB2+AC2-2AB-AC-cos^BAC=2)

.-.AB2+BC2=AC2,二乙4BC=90。，

则△ABC的外接圆的直径为2r=AC=4,外接圆圆心为线段AC的中点E,

如下图所示，

当点。、球心。、E三点共线且当。、E位于球心的异侧时，

四面体A8CD的体积取最大值，此时，OEJ•平面ABC,

SMBC=-BC=|x2V3X2=2V5,,

四面体ABCD的体积为与比TBC=^SAABC•DE=4,

解得DE=2V3.

由勾股定理得D4=DB=DC=\IDE2+EA2=4，

••・四面体ABCD的外接球的直径为2R=延=华=随，

DE2V33

则四面体ABCD的外接球的半径为史I

3

因此，四面体ABC。的外接球的表面积为4兀/?2=4兀x(公产=丝兀.

k373

故选B.

12.答案：ACD

解析：

本题考查了空间几何体的结构特征，球的表面积，空间中线线，线面的位置关系，属于中档题.

对于A,根据线面角的定义即可判断；对于B,根据线面垂直的判定和性质可知，0是4BCD的垂心，

对于C在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数，对于。作出正四面体的

图形，找到球的球心位置，说明0E是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积.

对于A选项，因为48=AC=4。，设点A在平面BC。内的射影是0,

因为sin"B。=—,sin〃CO=—,sinzXDO=—,

ABACAD

所以sinz_4B0=sin/AC。=sin/.ADO,

则AB,AC,AO与底面所成的角相等，故A正确；

对于2选项，设点A在平面88内的射影是O,

则AO_L平面BCD,CDu平面BCD,

故A。JLCD,乂4B1CD,

AOHAB=A,AO,48u平面AB。，

故CZ1L平面ABO,又OBu平面ABO,

则CD1OB,

同理可证BDIOC,所以。是△BCD的垂心，故B不正确：

如图：直角三角形的直角顶点己经标出，直角三角形的个数是4.故C正确;

所以AE=匹,

\33

因为BO?-0E2=BE2,所以(9-0E)2-0E2=(y)2,

所以。E=渔，所以球的表面积为47r-0E2故。正确.

126

故选：ACD.

13.答案:BD

解析：

本题考查几何体的翻折问题，考查空间中直线与直线的位置关系，球的表面积计算，考查空间想象

能力，属于中档题，对选项逐一判断其正确性即可.

解：对于A,取4。的中点为E,连接CE交于点F,如图1,

图1

贝UNE///!%,NF"MB\

如果CNIABi，则EN_L.CN,

由于力/1MB1，则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点，

故这是不可能的，故不正确；

对于B,如图1,由4NEC=4MABi,

UNE=^ABltAM=EC,

.•.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC•cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

对于C,如图2

M

图2

取AM中点为0,­：AB=BM,即力Bi=则AM1B10

若AMIB】D,由于当0nBi。=B],

且u平面ODB「

AM_L平面OOB「ODu平面OOBi，

ODLAM,则AD=MD,

由于/WKMD,故AM1&D不成立，故不正确：

对于D，根据题意知，只有当平面BiAM，平面AMQ时，

三棱锥当一4”。的体积最大，取AO的中点为E,

连接。E,B】E,ME,如图2

•••4B=BM=1,则佃==1,

且AB[1B]M,平面BiAMCI平面AMD=AM

：.当。1AM,Bi。u平面B遇”

Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD

B101OE,

则4M=&,BiO=14M=/，

OE=-DM=-AM=—，

222

从而飒=J囹+囹=],

易知EA=ED=EM=1,

.•.4。的中点E就是三棱锥&-AMO的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4乃，故。正确;

故答案为：BD.

14.答案：ABCDE

解析：

本题考查了简单多面体、旋转体及其结构特征和平面的基本性质及应用，根据题意逐一判定即可得

出结论.

解：对于A,正六棱柱，有6侧面是矩形，故A错误；

在8中，有两个面平行，其余各面都是梯形，且侧棱的延长线交于一点的几何体叫棱台，故8错误；

对于C,在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆台的母线，故C错误；

对于。，经过球心的截面得到是大圆，故。错误；

对于E,只有经过不共线的三点才能确定一个平面，故E错误，

故选ABCDE.

15.答案：ABD

解析：

本题主要考查圆柱、圆锥及三棱锥的结构特征，属于基础题.

根据圆柱、圆锥及三棱锥的结构特征对选项一一判断即可.

解：A不正确，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；

B不正确，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台；

C正确，因为母线长相等，得到圆链的轴截面是一个等腰三角形；

。不正确，三棱锥的四个面中可以有四个直角三角形.

故选ABD.

16.答案：ABC

解析：

本题考查简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体

积，球的表面积和体积，

线面平行的判定，线面垂直的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题.

由线面平行与垂直的判定定理，等体积转化，球的体积公式对选项逐一判定可得结论.

解：

对于4,连接OF,•••EF//AB,AB=2,EF=1,...EF=OB'

则四边形。BEF是平行四边形，:OF〃BE,rBEu平面BCE,

OF仁平面BCE,OF〃平面BCE,故A正确；

对于B,由题意，平面ABC。J_平面ABEF,平面ABC。n平面4BEF=AB,

ADLAB,ADABCD,ADABEF,BFu平面ABEF,二AD1BF,

又•••AB是圆O的直径，BFLAF,4FC4。=A,AF,ADu平面ADF,

BF1平面4DF,故B正确；

对于C,设点A到平面CDFE的距离为h,即点A到平面CDF的距离为h,

•••由A可得，四边形A8EF是等腰梯形，AB=2,BE=AF=EF=1,取AO的中点G,

过点G作GM〃AD,与CD交于点M,连接GF,MF,则GFJ.40,

又平面ABC。1平面ABEF,平面ABCDC平面4BEF=48,GFu平面ABEF,

：.GF，平面ABCD,且易得G尸=—，

2

-AD1A0,..MGLAO,MGnGF=G,MG、GFu平面MGR

・・・AOL平面MGRMFu平面MGR・•・4。1MF,则CO1MF,

且MF=、MG2+GF2==

,:匕-CDF=VF-ACD9,*3x2CD,MF。h=-x-CD-ADaGF,

AMF-h=AD-GF解得h=号/=叵，故。正确；

fv77

V

对于。，VB.E,尸在圆。上，则圆。是ABEF的外接圆，

则aBEF的外接圆为r=1,

则三棱锥C-BEF外接球的半径为/?=J(y)2+r2=Ji+1=y.

••・三棱锥C-BEF外接球的体积为37rx(遗户:也7T，故。错误.

故选ABC.

17.答案：①②④

解析：

本小题主要考查线线、面面的位置关系，考查锥体体积计算，属于中档题.

通过证明异面直线垂直证得①成立，通过证明面面平行证得②成立，作出异面直线力民3歹所成的

角，由此判断异面直线4民8斤所成的角是否为定值，利用锥体体积公式计算出三棱锥力-的

体积.

解：①设力。与8。相交与G根据正方体的性质可知AC1BD,AC1BB1,

而BDcBB]=B,BD,SB】u平面BDD/i，所以4CJ_平面3£>£）固，

BEu平面BDD/i，所以/C_L3从故①正确.

②根据正方体的性质可知A.BHD.C,//仁平面Bg,

D£u面B]CD「所以％BH平面BQ、.

同理可证BO〃平面4cA，而4BcBD=B,&B,BDU平面A/D,

所以平面平面B,CD,,也即平面EFC〃平面/田。.故②正确.

③由于正方体的边长为1，所以BD=BQ】=y/i,BG=也，而即=也,

1122

根据正方体的性质可知EF//BG.所以四边形8GER是平行四边形，

所以BF//GE，所以4EG是异面直线4耳3尸所成的角，

所以tanN/£G=—色，其中/G为定值，GE长度不固定，

GE

所以4EG不是定值，所以③错误.

④由①可知AC_L平面BDDtBt,

ii(i)/o1

所以匕=§xS,破,x/G=§x-x—xlx/~=w•为定值,

所以④正确.

故答案为：①②④

Di

DA

18.答案：12V3

解析：解：一个半径为6的球内切于一个正方体，

可得正方体的棱长为：12,

这个正方体的对角线长为：V122+122+122=12V3.

给答案为：12遍.

求出正方体的棱长，然后求解正方体的对角线长即可.

本题考查几何体的内切球，几何体的空间距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力.

19.答案：5V2

解析：

本题考查棱柱的结构特征及两点之间的距离，属于基础题，沿BG将ACBG展开与△&BC1在同一个

平面内，不难看出CP+P4的最小值是&C的连线.

解：由题意，不难验证AaGB是直角三角形，沿BG展开，ACGB是等腰直角三角形，

作CEJLAiG，CE=CIE=1,

2

ArP+PC=41c=V7+1=5V2.

故答案为5位.

20.答案：&+|+日

解析：

本题考查几何体的三视图和棱锥的表面积与体积问题，根据三视图复原几何体的形状是本题的关键

难点，属中档题，难度较大，解决此类问题，常常可以在正方体（或长方体）中根据三视图探究几何

体的形状，然后根据面积和体积公式计算即可.

解：在正方体中探究可知几何体的形状是如图所示的四棱锥4-BCD.A,.

5

全面积S=SZUBC+S^ABAi+Szuag+SzUCDi+S矩彩BgA

1111Lr~痘L

=-xlxl+-xlxH--xlxH--xV2xV2x—+V2xl

22222

/5,3V3

=V2+-+y,

故答案为企+三+更.

22

21.答案：g|

解析：

本题考查平面的性质、棱柱、棱链的结构特征和面积、体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，

属中档题.

设四边形BCGa的面积为S',A到面BCG&的距离为儿，根据已知利用平面几何易得五边形

CGBiNM的面积&C出NM=沁〜出=甜，利用体积转化得到三棱柱ABC-41B1G的体积为，=

1S'h,求出五棱锥的体积即可求孑；延长NM与GC的延长线交于P,连接P4,交AC于Q,截面为

A.MNQ,利用棱柱的上下对应的棱平行得|=券=/即可求出SMMQ皆SMMP=：SI，进一步

即可求出截面4MNQ的面积得到答案.

解：因为点M,N分别为三棱柱48。一力中传1的棱8C,的中点，

设四边形BCG/的面积为S',A到面BCC1B1的距离为h,

则五边形CC】BiNM的面.积SCQ/NM=g^BCCjBj=,

三棱柱ABC-的体积为V=应7=3匕L%qc=3X[XisBCC1Bi-h=\s'h,

又五棱锥为-CGBiNM的体积为匕=-xSCJBNM•九=，x-Srh=-S'/i,

延长NM与GC的延长线交于P，连接交AC于0,如图:

p

则四边形ANMQ为平面4MN截三棱柱ABC-4181cl所得截面，

因为M,N分别为BC,BBi的中点，则CP=BN,PM=MN,

所以M是NP的中点，则S/AiMP=SAA[MN=S],

因为CP=BN=；BBi，?=

2"J，

由4C//4Q则喘=詈=?

所以Sg]MQ=gS-iMP=

故平面4/八截三棱柱48。一48心所得截面面积为5=5沙W川+5./畋=51+|1=|51，

则”

故答案为V;|.

22.答案:y

解析:

本题考查空间几何体的特征，球与多面体的问题.

解：要使直线PQ被球。截得的线段长最大，则需要P。到球心0的距离最小，则P,。应该在如图

所示的相对位置.

作OM1PQ于点M,易知OIQ=品PQ=3,OP=V3,AOPQ的面积为；xOQx1=OMxPQ,

所以0M=4如=析而="

所以此时PQ被球。截得的线段长为2Mp=学.

故答案为弓.

772闻

23.答案:6'-

解析:

本题考查了等体积法的应用，正四面体特征，几何体内切球的性质，属于中档题.

先求出正四面体的高，再用等体积法求出内切圆的半径，即求球的体积，解直角三角形AOE可求内

切球O至必N（即PQ）的距离d,利用球的弦长公式可求PQ的长.

解：设内由题意可知，正四面体的高为A。,=h=jp-（/j

设正四面体的内切球半径为。0'=r,由等积法可知：

Lr-4x立x/=）.立xN解得「=4=在，

3434412

则球。的表面积S47rr-47rx]—

如下图OEJ.AN于E,在三角形4N。'中，A0,=立,AO=-A0r

344

O'N=MN—O'M=-x—--x—=—,

223212

V3

故tanZ_O'AN=券=全，则sinNO'AN=南，

3

在直角三角形AOE中OE=A0xsin匕O'AN=乎x盍=焉，即内切球O到4V（即PQ）的距离d=

V2

4Vii

则PQ=2万胃=2J（令一（编》=善=蜜.

故答案为:，旭.

633

A

D

B

24.答案:367r

解析:

本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题.由

已知求得正四棱锥P—ABC。的高，可知正四棱锥P--48CD的外接球的球心在它的高POi上，记球心

为0,利用勾股定理列式求得四棱锥外接球的半径,再由球的体积公式求解.

解：由题意得，底面A8C。是边长为4的正方形，cOSZ.-nPErFr=——.，

2

;2A

COSZ.PE0=孝，:40EP=45°,故高P。I=E01

正四棱锥P-的外接球的球心在它的高POi上,

记球心为0,A：

则4。1=2^2,P0—AO=R,P0]=2,。。1=2—R或。。「”2(丝二吨;叱

A---------------------

此时。在POi的延长线上)，

在直角△力Oi。中，R2=AOl+00f=(2V2)2+(2-R)2,解得R=3,

球的体积为V=x33=367r.

故答案为：367r.

25.答案：18%

解析:

本题考查三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式，属于较难题.

首先确定三角形ABC为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积.

解：如图所示，

在三棱锥尸中，P4上平面4BC,4P=也,4B=2，

在M是线段3C上一动点，线段0A/的长度最小值为

则当PM1BC时，线段PM达到最小值，

由于尸/_1_平面43。，AM、BCu平面ABC,

所以PA_LAM,PA1BC,

所以夕才+/知2=。例2,解得力〃=i，

又因为PMnP4=P,PM、PAu平面APM,

所以8c1平面APM,又AMu平面APM,

所以BC14M,

所以Z?"=x/J，贝i」NB4M=60°，

由于NB/C=120°，

所以NM4C=60°，

则△/z?c为等腰三角形，

所以8c=2百，

在A/Z?。中，设外接圆圆心为O1,外接圆的直径为2r=26=4,则r=2,

sin120°

即。/=2,

过。作Q°///P，aO=/0=；/P，其中Q为AP中点,

则O/=O4=OC=OP,

即O为棱锥外接球球心，

丫

(519

所以外接球的半径R=22+—

I2J

9

即S=4•%•一=18%.

2

故答案为：18%.

26.答案:早

4—V2

~7~

解析：

本题考查三棱锥的结构特征，三棱锥的体积及其外接球和内切球，考查分析能力，空间想象能力，

属于中档题.

借助长方体，三棱锥S-4BC的外接球即为底面边长为2,高为鱼的长方体的外接球，由此可得外接

球的半径；设内切球的球心为0,半径为广，根据等体积法，将三棱锥S-ABC的体积分成四个小三

棱锥的体积和，建立方程即可求解.

解：借助如图所示的长方体，三棱锥S-ABC的外接球

即为底面边长为2,高为近的长方体的外接球，根据

长方体的体对角线长为外接圆的直径，

设外接球的半径为七则

2R=卜+22+(V2)2=V10-

R0

2

设内切球的球心为。，半径为八则由%=

^O-SAB+^O-SAC+^O-SBC+得1,1x2x2-V2=1-r-^2-1x2xV2+1x2x2+^x

2V2xJ22+(V2)2-(V2)2^

整理得(4位+2)r=2V2,解得r=学,

故答案为叵，丝?

27

27.答案：解：(1)如图a所示，取占6的中点。，连接ND,AXD,

•••DN11BBi〃AAlt

又DN=3BBi=^AAX=力iM,

•••四边形&MND为平行四边形，

•••MN//AXD,

乂MN<t平面&BiG，&Du平面&BiG，

•••MN〃平面&BiG；

(2)如图b所示如图建立直角坐标系，8(2,0,0),4(0,2,0),。式0,0,2/)，”(0,2,e),

设记=(x,y,z)是平面BMC的法向量，点G到平面BMC的距离为/?.

由于丽=(0,2,V2)，CB=(2,0,0)，且｛4,，二］,

叱:+V2Z=0T取y=1,得记=(o,l,-V2)，

由于领=(0,2,-V2).

.••点G到平面BMC的距离八=隼现=出等=晅.

|n|V33

(3)可知方=(2,0,0)是平面G&M的一个法向量.

设沆=Oi，yi，Zi)是平面BMG的法向量，

由于直耳=(2,0,—2鱼)，C\M=(0,2,一鱼)，

由露窗:。取…得肉

设。是为二面角B--4的平面角，

则际。|=卑=里

11|CF||7n|7

又因为二面角B-GM-①的平面角是钝角,所以co